Материал: Функциональный анализ

276 ГЛ. V. л и н е й н ы е д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы е у р а в н е н и я

решение задачи Коши. Например, если резольвента оператора А определена при R e X ^ a и ее норма удовлетворяет неравенству

\\R(V\\<M(\ + | Я | )*

при некотором k ^ —1, то последняя формула определяет реше­ ние задачи Коши при любом х0е D (Л^+3) ([k]— наибольшее це­ лое число, не превосходящее k).

Для уравнения с комплексным параметром £

совокупность К а всех £, при которых задача Коши корректна, называется множеством корректности задачи Коши для опера­

группа Ut(t), дающая решения задачи Коши. Если обозначить

внекоторой полуплоскости.

Ли т е р а т у р а : [36], [38].

2.Равномерно корректная задача Коши. Корректно постав­ ленная задача Коши называется равномерно корректной, если для ее решений из хп( 0 ) 0 следует, что л;п(^)->0 равномерно по t на каждом промежутке [0, Т].

Полугруппа U(t), отвечающая равномерно корректной задаче Коши, обладает тем свойством, что U(t)xo—>Xo при любом

Хо^Е, т. е. удовлетворяет С0-условию (см. гл. III, § 3, п. 5). Обратно, если U(t) — полугруппа операторов с С0-условием,

то для уравнения

§- U ’ Q ) x

задача Коши равномерно корректна.

Если для уравнения х' = Ах задача Коши равномерно кор­ ректна, то замыкание оператора А совпадает с производящим оператором U'(0) полугруппы U(t) с С0-условием.

Необходимыми и достаточными условиями равномерной кор­ ректности задачи Коши для уравнения х' = Ах с замкнутым опе­ ратором А являются неравенства

Д/?Г(Л)Ц<-^е^ -^ (ReА > со) ( т = 1 , 2, ... ),

где М не зависит от т. Достаточным условием является нера­ венство

дифференцируемое на [О, Г], то задача Коши равномерно кор­ ректна. Более того, если при том же условии на оператор А при

Коши, то задача Коши равномерно корректна.

Аналогично тому, как делалось в предыдущем пункте, можно

ствующая полугруппа £/(£) будет аналитической внутри этого сектора, и справедлива оценка

l|t/(OII<Afe«ltl.

Следует отметить, что для того чтобы полугруппа [/(£) об­ ладала перечисленными свойствами в секторе ф1 < а ^ £ < ф 2, необходимо, чтобы задача Коши для уравнения х' = £Ах была равномерно корректной на лучах а ^ £ = ф! и arg £ = ф2.

Одним из простейших примеров равномерно корректной за­ дачи Коши является задача Коши для уравнения теплопровод­ ности:

состоящее из всех непрерывных ограниченных функций на оси

состоящем из всех дважды непрерывно дифференцируемых функций v(x), для которых O / G См (— оо, оо).

межутке [0,71 изменения t.

Соответствующая полугруппа U(t) ограниченных операторов задается интегральной формулой Пуассона

—оо

исостоит из сжимающих операторов. Другие примеры будут приведены в § 3.

Ли т е р а т у р а : [27], [36], [58].

3.Ослабленная задача Коши. Для многих приложений при­ ходится расширять понятие решения задачи Коши.

Ослабленным решением уравнения х' = Ах на отрезке [0, Т]

называется функция x(t)t непрерывная на [0, Г], сильно непре­

рывно дифференцируемая и удовлетворяющая уравнению на (0, Г]. Как видно из определения, здесь отказываются от того, чтобы уравнение удовлетворялось при t = 0.

Под ослабленной задачей Коши на [0, Т] понимают задачу о нахождении ослабленного решения, удовлетворяющего началь­ ному условию х(0) = Хо (элемент х0 может не принадлежать области определения оператора А).

Если отвлечься от вопроса о существовании решения за­ дачи Коши, то можно указать достаточно общие условия его единственности. Для единственности решения ослабленной зада­ чи Коши достаточным является условие

А,-> ОО

(написанный предел всегда неотрицателен). При этом решение единственно на [0, Г —h] и может разветвляться при t > Т — h. Если h = 0, то решение ослабленной задачи Коши на всей по­ луоси (0, оо) единственно. С другой стороны, для всякой функ­

существует дифференциальное уравнение х' = Ах с операто­ ром,Л, для которого ||/?ь(Л) || < р(Я), имеющее нетривиальное решение с начальным условием х(0) = 0.

Если оператор А замкнут и имеет регулярную точку Ко, то между обычным и ослабленным решениями уравнения х' = Ах