§ 1. НЕЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И ФУНКЦИОНАЛЫ |
311 |
пространстве Lp. В связи с этим' налагаются ограничения на рост функции K(t, 5, х) по
Пусть
IK(t, S, х |
) \ s)(a + &|*l“°) |
(О ^ /, s < l , —<х>< х < оо),
где ссо ^ 0, а функция R(t,s) суммируема по совокупности пе ременных с некоторой степенью р0 > 1:
j |
s)f°d td s< ОО. |
о |
о |
Если
«О ^ Ро — 1>
то оператор Урысона действует и вполне непрерывен в каждом пространстве Lp, где р > 1 и
«оРо |
< Р о |
Ро- 1 < |
|
В некоторых случаях оператор Урысона удобно рассматри |
|
вать как оператор, действующий |
из одного пространства LPl |
в другое Lp„. |
в LVt и вполне непреры |
Оператор Урысона действует из LPl |
|
вен, если |
|
Р. > 1, |
К ' р 2< Р о . |
Условие ао ^ Ро— 1 здесь, естественно, не предполагается вы полненным.
Если функция K(tyStx) содержит существенно нестепенные нелинейности, то в ряде случаев оператор Урысона вполне не прерывен в некотором пространстве Орлича.
Как и в случае пространства С, производную оператора Урысона, действующего в пространстве Lp, естественно искать
в виде интегрального оператора с ядром Kx(ty sy *0(s)). Однако дифференцируемость оператора Урысона как оператора, дейст вующего в Lp, не вытекает из непрерывной дифференцируемости по переменной х функции K(tys, х). Например, оператор
Ах (t) = J sin(ех(s)) ds |
(0 ^ ^ |
1) |
0 |
|
|
действует и вполне непрерывен в любом LPf однако оператор 1
J ех*(s) cos ех°{s) h (s) ds
о
даже не определен на Lp, если функция e*o(s) несуммируетиа.
•312 |
ГЛ. VI. НЕЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ |
Для того чтобы интегральный оператор с ядром Kx [t,s, x0(s)] являлся производной Фреше оператора Урысона, действующего в пространстве Lv (р > 1), достаточно, чтобы функция
Кх (ty 5, |
х) была |
непрерывна |
по х и чтобы выполнялось нера |
венство |
|
|
|
\Kx{ty |
s, * ) | < |
а + 6 | х | р 1 |
( O ^ f , 5 < 1 , — о о < х < о о ) . |
Ли т е р а т у р а : [29], [31], [32], [33], [34].
4.Оператор /. Пусть функция f(t, х) определена при
—оо < х < оо. Всюду в дальнейшем предполагается, что функ
ция f(tyх) непрерывна по х и измерима по t при каждом х. Ра венство
fx(t) = f[t, x(t)]
определяет оператор f.
Если f(t, х) непрерывна по совокупности переменных, то опе ратор f действует в пространстве С, непрерывен и ограничен на каждом шаре.
Если оператор f действует из пространства L Px в простран ство Ь Р2, то он непрерывен и ограничен на каждом шаре. Для
того чтобы оператор f |
действовал из LPx в ЬРг, необходимо и |
достаточно, чтобы выполнялось неравенство |
|
If(t, |
x ) \^ a ( t) + b \ x f ' lp‘, |
-где a(t) е LPt.
Следует иметь в виду, что оператор f не обладает свойством
полной непрерывности |
(кроме тривиального случая, когда f(t, х) |
не зависит от х). |
х) вместе со своей производной f'x (t, х) |
Если функция f(t, |
непрерывна по совокупности переменных, то оператор f, рассмат риваемый как оператор в пространстве С, дифференцируем по Фреше. Его производная Фреше имеет вид
f'(x0)h(t) = f'x[t, x0(t)]h(t).
Пусть f действует из LPl в ЬРг. Из существования непрерыв ной производной /'(/, х) не вытекает дифференцируемости по
Фреше оператора f. Достаточным условием, при котором опера тор умножения на f' |7, х0(<)] является производной Фреше опе
ратора f, действующего из LPl в LPl, где pi > р2, служит нера венство
I K{t, л:)[ ^ а, (0 + I A;
где
314 |
ГЛ. VI. НЕЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ |
от операторов. Здесь этот вопрос выясняется на производной второго порядка.
Оператор В(хХ,х2) (XI,X2^ E ) со значениями в простран стве Ei называется билинейным, если он является линейным •ограниченным оператором по каждому переменному. Билиней ный оператор В(хi,x2) называется симметрическим, если
В(х„ х2) = В (х2, х{).
Если в симметрическом билинейном операторе В{хь х2) по ложить хх— х2 = х, то получится оператор В2(х) = В(х,х), который называют квадратичным.
Оператор А, действующий из банахова пространства Е в банахово пространство Е\, называется дважды дифференци руемым но Фреше в точке х0, если
А (х0Н- К) + А (х0) = |
Вх(h) + Ч2В2 (К) + |
©2 (х0; К), |
|
где В\ = В\(ха)— линейный относительно h |
оператор, В = |
||
= В2(хо) — квадратичный относительно h оператор, а |
|||
Игл |
II ©а (х0; h) || |
= 0. |
|
НAII ->0 |
II h ||2 |
|
|
Квадратичный оператор В2(х0) называется второй произ |
|||
водной Фреше оператора А в точке х0: |
|
|
|
В2(Хц) = А" {х0). |
|
||
Выражение В2{х0) (h) называется |
вторым |
дифференциалом |
|
Фреше оператора А в точке х0.
Иногда рассматривают вторую последовательную производ ную Фреше. оператора А — производную Фреше от первой про изводной Фреше. Вторая последовательная производная Фреше
является |
билинейным оператором относительно приращений |
h и hi. |
|
Если непрерывная по совокупности переменных функция |
|
K(t,s,x) |
дважды непрерывно дифференцируема по х, то опера |
тор Урысона, действующий в пространстве С, имеет вторую
производную Фреше
I
A"{xo)h = \ К"г\и s, х0(s)j hHs) ds.
о
Вторая последовательная производная Фреше оператора Уры сона определяется формулой
Л" (лг0) (h{, h2) = J1Kx> [t, 5, xQ(5)] h{ (s) h2(s) ds: '
0
§ I. НЕЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И ФУНКЦИОНАЛЫ |
315 |
Квадратичный оператор B(x0)(h) называется второй произ водной Гато оператора А в точке х0, если для любого h ^ E
f r A(x0+ t h ) t=0 = B(x0)(h).
Выражение B(x0)(h) называется вторым дифференциалом Гато
оператора А в точке XQ.
Вторая последовательная производная Гато оператора А определяется как производная Гато от первой производной Гато. Она является билинейным оператором.
Следует иметь в виду, что из существования второй произ водной Фреше оператора А не вытекает, вообще говоря, суще ствования второй производной Гато. Например, скалярная функ
ция f(t) = t2c o s имеет в точке t = 0 вторую производную
Фреше, равную нулю, но не имеет в этой точке второй производ ной Гато.
Ли т е р а т у р а : [29], [34], [39], [100], [191].
7.Потенциальные операторы. Дифференцируемые функци оналы являются частным случаем дифференцируемых операто ров. Если Ф(х) — дифференцируемый по Фреше нелинейный функционал, определенный на банаховом пространстве £, то
Ф(х + h) - Ф(х) = I (h) + <*(х; h),
где / — линейный функционал, зависящий от х, а
"lim |
\<»(x;h)\ |
п |
|
m |
_ и |
Если функционал Ф(х) дифференцируем в каждой точке х некоторого множества Т а Е, то равенство
Г(х) = 1
определяет оператор, действующий из Г с £ в сопряженное про странство Е*. Этот оператор называют градиентом Фреше функ ционала Ф(х):
Ф(х + И) — Ф(х) =Г(х)(Л) + со(х; К).
Функционал Ф(х) называется равномерно дифференцируе мым на множестве Г, если стремление к нулю отношения ^Q|j^j|—
происходит равномерно относительно х е Г .
Примером дифференцируемого функционала в гильбертовом пространстве Я является норма
Ф(х) = |М1= |/(х, х).