§ 2. СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЙ |
321 |
Принцип Шаудера утверждает лишь существование решения и не дает метода для его нахождения. В случае, когда оператор А — линейный, можно указать способ нахождения решений.^На чиная с некоторого х0е Т, строят последовательные приближе ния хп = Axn-i (п = 1,2, ... ). В условиях принципа Шаудера последовательность элементов
N-1
л«=О
компактна и все ее предельные точки являются решениями уравнения х — Ах.
Можно сформулировать утверждение, частными случаями ко торого являются как принцип Шаудера, так и принцип сжатых отображений.
К о м б и н и р о в а н н ы й п р и н ц и п . Пусть определенный на ограниченном замкнутом выпуклом множестве Т оператор допу скает представление А = Л4-f Л2, где А\ вполне непрерывен, а А2 удовлетворяет условию Липшица с постоянной q < 1. Если оператор А преобразует Т в себя, то уравнение х = Ах имеет на Т по крайней мере одно решение.
Принцип Шаудера доказывается топологическими методами.
Эти же методы (см. п. 5) позволяют его усилить. |
вполне непре |
Ус и л е н н ый принцип Ш а у д е р а . Если |
рывный оператор А на границе Г ограниченного замкнутого вы пуклого множества Г, содержащего 0 в качестве внутренней точ ки, не имеет собственных векторов с собственным числом, боль- шим 1, то в Т существует решение уравнения х = Ах.
Таким образом, можно не требовать, чтобы граница области Г преобразовывалась оператором А снова в Т. Достаточно, что бы на ней только не было векторов, которые оператор А «растя гивает» (Ах — pxt р > 1). Последнее условие часто проверяется значительно легче. Если, например, для каждой точки х0 грани цы Г существует такой линейный функционал /о(*Ь что Ы*о) > 0 и fo(Axo) ^ fo(*o), то условие усиленного принципа Шаудера вы полнено. В частности, если вполне непрерывный оператор А определен на шаре S(0, г) гильбертова пространства Н и обла дает тем свойством, что
(Лх, *)< (*, х) (||х|| = г),
то для него справедлив усиленный принцип Шаудера.
Пусть М — ограниченное множество в метрическом простран стве R с метрикой p(xt у). Мерой некомпактности %(М) этого множества называется infimum тех е, при которых в М есть конечная е-сеть. Действующий в R . оператор А называется уплотняющим, если для каждого некомпактного ограниченного
322 ГЛ. VI. НЕЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ
множества М ^ R выполнено неравенство
Х (А М )< Х(М).
Основным примером уплотняющих операторов в банаховых про странствах являются операторы, которые можно представить как сумму вполне непрерывного оператора и обобщенного сжатия.
Пр и н ц и п н е п о д в и ж н о й т о ч к и д л я у п л о т н я ю щих о п е р а т о р о в . Пусть уплотняющий оператор А преобра зует в себя выпуклое замкнутое ограниченное множество Т ба нахова пространства. Тогда уравнение х = Ах имеет на Т по крайней мере одно решение.
В условиях принципа Шаудера и его различных обобщений решение может быть неединственным. В общем случае трудно дать описание структуры множества всех решений уравнения х = Ах. Однако можно указать важный класс уравнений, мно жество решений которых связно, и поэтому у таких уравнений либо решение единственно, либо множество решений контину ально.
Оператор А, действующий в банаховом пространстве Е, назы вается сглаживаемым на множестве Г, если по каждому е > О может быть построен такой оператор л е, что ||Ах —А гх || < е при х е Г и уравнение х = А ех + h при \\h\\ имеет на Т не более одного решения. Оператор Аг называется при этом сглаживанием оператора А.
Пр и н ц и п |
с в я з нос т и . Пусть Т — выпуклое ограниченное |
|
и замкнутое |
множество, А — уплотняющий оператор, который |
|
преобразует Т в себя. Пусть А имеет на Т сглаживание, которое |
||
также является уплотняющим оператором. Тогда множество ре |
||
шений уравнения х = Ах, лежащих в Т, связно. |
||
Принцип связности позволяет доказывать утверждения типа |
||
известной теоремы Кнезера о структуре интегральной воронки |
||
решений обыкновенных дифференциальных уравнений. |
||
Л и т е р а т у р а : [23], [29], [31], [33], [34], [35], [39], [197]. |
||
5. |
Использование теории вполне непрерывных векторных по |
|
лей. Пусть на границе Г шара S банахова пространства Е за дан вполне непрерывный оператор А. Совокупность элементов
вида х — Ах ( х е Г ) называется вполне |
непрерывным вектор |
ным полем на Г. Решение уравнения х = |
Ах (х е Г) называется |
нулем поля. |
|
Каждому вполне непрерывному векторному полю х — Ах без |
|
нулей на Г ставится в соответствие некоторое целое число у (Г), называемое вращением векторного поля. Вращение может быть положительным, отрицательным или нулевым.
Пр и н ц и п н е н у л е в о г о в р а щ е н и я . Если А — вполне непрерывный оператор на шаре S и вращение векторного поля
324 ГЛ. VI НЕЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ
(в симметричных точках сферы векторы поля не направлены
одинаково). Тогда вращение поля / — А на сфере |
||х|| = г |
не |
четно, и поэтому уравнение х = Ах имеет в шаре |
||х|| ^ |
г по |
крайней мере одно решение. |
|
|
Пусть Ахо = Хо и в некоторой окрестности точки хо уравнение х = Ах не имеет отличных от х0 решений. Тогда векторное поле х — Ах на всех сферах \\х — х0\\ = г достаточно малого радиуса г имеет одинаковое вращение. Это общее вращение у (* о ) назы вают индексом неподвижной точки Хо оператора А.
Если в точке х0 оператор А дифференцируем, причем линей ный оператор А'(х0) не имеет единицу собственным значением, то
У(*о)= (—1)Р»
где р — сумма алгебраических кратностей собственных значений
оператора Л'(х0), больших чем 1. |
значением оператора А'(хо), |
|
Если 1 является собственным |
||
то вычисление индекса у (* о ) существенно |
усложняется. Разра |
|
ботан алгоритм, позволяющий (в |
случае |
достаточно гладких |
операторов) свести вычисление индекса у (* о ) неподвижной точки Хо вполне непрерывного векторного поля Ф = / — А к вычисле нию вращения некоторого в явном виде выписываемого поля на единичной сфере конечномерного подпространства Ео собствен ных векторов линейного оператора А'(х0), отвечающих собствен ному значению 1. Если размерность Е0 равна 1 или 2, то вычис ление индекса всегда может быть выполнено фактически. Если размерность Е0 больше чем 2, то вычисление индекса остается трудной задачей. Ниже приводится один из наиболее простых результатов.
Пусть вполне непрерывный оператор А допускает в окрестно сти неподвижной точки х0 представление
А (х0Ч" h) — AXQ= B\h |
B2h |
B^h -(- Ch, |
где B \ = A /(xo) — линейный |
вполне |
непрерывный оператор, |
Bi — однородные операторы порядка i: |
|
|
B{kh = XlBh,
а С содержит члены высшего чем k порядка малости:
П т •I Ch I 0.
II h II->0
Пусть 1 — собственное, значение оператора Вь которому со ответствует корневое подпространство Е0, состоящее только из собственных векторов, и Р — оператор проектирования на Е0, коммутирующий с Ви Предполагается, что
РЯ2 = РВ3 = ... = Р Р * _ ,= 0, а РВкх ф 0 при х е £ о и хфО. Тогда лг0 является изолированной
§ 2 СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЙ |
325 |
неподвижной точкой оператора Л и ее индекс у(х0) определяется формулой
Y(*o) — (—l)P°Yo>
где Ро — сумма алгебраических кратностей положительных соб ственных значений оператора Ви больших чем 1, а у0— враще ние на единичной сфере в пространстве Е0 поля PBhP.
Т е о р е м а об а л г е б р а и ч е с к о м ч и с л е н е п о д в и ж ных точек. Пусть в шаре S уравнение х — Ах имеет конеч ное число решений х\, xh. Тогда вращение у (Г) поля х — Ах на Г связано с индексами точек хь ... , xh равенством
Y(r ) = Y(*i)+ . . . +Y(**)-
Это свойство вращения может быть применено для доказа тельства георем единственности. Если вращение у (Г) векторного
поля х — Ах |
на Г по модулю равно |
1 и если индекс каждого |
возможного |
решения имеет один и |
тот же знак, то решение |
в силу предыдущего единственно. |
|
|
Наоборот, если известно вращение у(Г) и индекс у(х0) изве |
|
стного решения х0 оказывается |
отличным от у (Г), то уравнение |
х — Ах имеет на S кроме х0 по |
крайней мере еще одно решение. |
Пр и м е р |
( с у ще с т в о в а н и е в т о р о г о р е ш е н и я |
у у р а в н е н и я |
Урысона) . Пусть оператор Л, определенный |
правой частью уравнения Урысона 1
x(t) = j К [t, s, х (5)] tfs,
о
вполне непрерывен в i p и дифференцируем в нуле этого про странства, причем
1
А' (в) h (t)= f К'х (t, s, 0) h (s) ds.
0
Если оператор Л удовлетворяет на шаре S(0, г) условиям принципа Шаудера, то вращение у(Г) полях — Ах на сфере ]|х|| = г равно 1. Пусть K(t, 5 , 0) = 0. Тогда уравнение имеет нулевое решение. Если единица не является собственным значе нием линейного вполне непрерывного оператора Л^б) и сумма кратностей его собственных значений, больших чем 1, нечетна, то у (0) = —1. Таким образом, у(Г)=^у(0) и уравнение Урысона имеет по крайней мере одно ненулевое решение в S(0, г).
Решение х0 уравнения х = Лх, имеющее ненулевой индекс, может быть приближенно найдено проекционными методами. Пусть Рп — последовательность операторов проектирования на конечномерные подпространства Еп такая, что ||Рпх — х|| —►0