Материал: Функциональный анализ

при п —►оо для всех х е Е. Тогда при достаточно больших п уравнения х — РпАх в некоторой окрестности точки х0 разреши* мы и при п —►оо соответствующие решения хп сходятся к х0. Если при этом 1 не является собственным значением оператора А'(хо), то ||хп — х0|| ^ ЩРпхо — х0||; в общем случае оценки схо­ димости грубее.

Ли т е р а т у р а : [29], [31], [33], [34], [35], [39].

6. Уравнение с монотонными операторами. Действующий из банахова пространства Е в сопряженное пространство Е* опера­ тор Ф называется монотонным, если

одно (соответственно, единственное) решение.

Непосредственным следствием сформулированного принципа является следующее более удобное утверждение: если действую­ щий из рефлексивного пространства Е в сопряженное простран­

то уравнение Фх = h имеет по крайней мере одно (соответ­ ственно, единственное) решение при любом h е Е*.

Если Ф монотонен в следующем усиленном смысле:

(Фх — Фу, х — y ) ^ L ( \ \ x ~ у\\)\\х — у\\,

где L(u) — монотонная непрерывная функция такая, что из

прерывный.

Исследова!ние уравнений с монотонными операторами стиму­ лировалось следующей задачей из теории квазилинейных эллип­

тических уравнений. В ограниченной области G n-мерного про­ странства задано уравнение

ние уравнения, удовлетворяющее на границе Г области G усло­ виям .

D(*u\r = f(d(x), /е = Г , | со |< г а — 1.

Вводится понятие обобщенного решения задачи, как функции и е W™(G), удовлетворяющей интегральному тождеству

(a>0).

Условие I обеспечивает то, что оператор L действует из про­

странства Wj?(G) в пространство Wpm(G) (ср. § 1, п. 4). Усло­ вие II называется условием сильной эллиптичности; оно обеспе­ чивает монотонность оператора L. Для его проверки имеются до­ статочные алгебраические критерии.

Из теории уравнений с монотонными операторами вытекает существование единственного обобщенного решения краевой за­

дачи при любых ft, f е W'p (G).

Ли т е р а т у р а : [35], [192], [194].

7.Вариационный метод. Вариационный метод доказательст­ ва теорем существования решений заключается в том, что реше­ ние операторного уравнения конструируется, как эстремальная точка некоторого функционала.

Функционал F(x), определенный на банаховом пространстве F, называется слабо непрерывным, если он непрерывен в ослаб­ ленной топологии а (В, Е') в пространстве Е (см. гл. I, § 4, п. 3). Если пространство Е рефлексивно, то в силу компактности лю­ бой сферы Е в ослабленной топологии слабо непрерывный функ­ ционал принимает на каждой сфере наименьшее и наибольшее значения.

Градиент гладкого слабо непрерывного функционала в гиль­ бертовом пространстве является вполне непрерывным опера­ тором.

то в шаре \\x\\^R существует точка х0, в которой функционал 7г(*, х) — Р(х) принимает свое наименьшее значение и которая является решением уравнения х = Ах.

Ли т е р а т у р а : [6], [311, [39], [125].

8. Преобразование уравнений. При изучении операторных уравнений часто приходится преобразовывать уравнения к виду, удобному для применения того или иного принципа, из которого следует существование решения, или для применения некоторого приближенного метода нахождения решения.

Основные виды преобразований операторных уравнений та­ кие же, как и для обычных уравнений: а) добавление к обеим частям уравнения одного и того же элемента; б) применение к обеим частям уравнения одного и того же оператора («умно­ жение на оператор»); в) замена переменного.

При первом преобразовании уравнение переходит в эквива­ лентное. Если к обеим частям уравнения применяется линейный ограниченный оператор В, то всякое решение исходного уравне­ ния будет решением и нового уравнения. Обратное будет верно, если существует обратный оператор В-1. Таким образом, пере­ ход к новому уравнению при преобразовании б) может добав­

лять лишние решения, если нуль является собственным значе­ нием линейного оператора В (см. гл. Ill, § 1, п. 9).

нового уравнения, то для получения решения х* исходного ура­ внения нужно проверить, что у* находится в области определе­ ния оператора С и тогда х* = Су*. Кроме того, при преобразо­ вании в) часть решений может теряться. Это имеет место, если имеются решения г*, не представимые в виде Су. Преобразова­ ние в) бывает полезным тем, что оператор С может действовать в пространство £, в котором ищется решение х*, из другого про­ странства Е1. Поэтому новое уравнение (относительно у) есте­ ственно рассматривать в пространстве Еи Иногда оказывается, что в Е1 уравнение получается более простым.

Как уже отмечалось в § 1, гл. III, при преобразовании ура­ внений в бесконечномерных пространствах приходится сталки­ ваться с такой специфической ситуацией: преобразованное ура­ внение содержит операторы, которые не замкнуты, но допускают замыкание. Естественно при этом изучать уравнения с замкну­ тыми операторами. При этом могут появляться новые решения, которые обычно называют обобщенными решениями. Основной трудностью часто является доказательство того, что обобщенное решение принадлежит области определения операторов, входя­ щих в уравнение, до их замыкания и, следовательно, является истинным решением.

Ли т е р а т у р а : [31], [35].

9.Примеры.

1. П о д г о т о в к а у р а в н е н и я к п р и м е н е н и ю м е т о ­ да п о с л е д о в а т е л ь н ы х п р и б л и же н и й . Пусть в урав­ нении

Bx = f

оператор В линеен, ограничен и имеет спектр, лежащий внутри правой полуплоскости ReA>0 комплексной плоскости К. После умножения обеих частей уравнения на число k и прибавления

кобеим частям элемента х оно приводится к виду

x= { I - k B ) x + kf.

При достаточно малом k оператор / — kB будет иметь спектр, лежащий внутри единичного круга, и следовательно, для отыска­ ния решения нового уравнения (эквивалентного старому) при­ меним метод последовательных приближений.

Аналогичное преобразование уравнения иногда удобно при­ менять, заменяя умножение на число k умножением на подходя­ щим образом подобранный оператор К.