§ 2. СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЙ |
317 |
§2. Существование решений
1.Метод последовательных приближений. Пусть дано урав-
нение
х= Ах,
где А — некоторый нелинейный оператор. Основным способом доказательства существования решений этого уравнения, т. е. доказательства существования неподвижной точки оператора А, остается метод последовательных приближений. Он заключается
в том, что по некоторому |
начальному |
элементу х0 конструи |
руется последовательность |
(/г=1, 2, |
...), |
хп = Ахп- Х |
доказывается, что эта последовательность сходится к некоторому элементу х*, а затем устанавливается равенство лг* = Ах*.
Пр и м е р ( с у щ е с т в о в а н и е р е ш е н и я у у р а в н е ния В о л ь т е р р а ) . Пусть в нелинейном уравнении Вольтерра
|
|
|
t |
|
|
|
х ( 0 = |
J K[t, sf x(s)]ds |
|||
|
|
о |
|
|
|
функции K(tf s, х) |
и Kx(tf st |
х) |
непрерывны по совокупности |
||
переменных t, |
0, —оо |
< |
х |
< о о , и пусть |
|
|
IK(t, |
St |
* ) |< ф(*), |
||
где ср(х)— неубывающая |
функция на [0, оо). Если дифференци |
||||
альное уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
- ^ = Ф(|«|) |
|||
имеет на отрезке |
[0, со] |
решение, |
удовлетворяющее условию |
||
ц(0) = 0, то и уравнение Вольтерра имеет решение x*(t), опре
деленное на [0, со]. Если |
положить х0(0 |
= 0 , |
то последователь |
ные приближения |
|
|
|
Хп (0 = J К [*» |
xn_t (s)] ds |
(n = |
1, 2, ...) |
0 |
|
|
|
будут равномерно на [0, со] сходиться к некоторой функции x*(t), являющейся решением уравнения Вольтерра. Это вытекает из того, что все xn(t) не выходят из области —u(t) ^ * (^ )^ u(t) и удовлетворяют соотношению
\xn{t) — |
(« = 1 . 2, .. . ) , |
где М и L — такие постоянные, что
I Kit, s, 0)|<АГ (0 <*,
318 |
ГЛ. VI. НЕЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ |
|
И |
IК {t) s, Xj) К ij'i |
Х2) | Е | Х\ х2| |
|
||
(0=0, 5^(0, —u(s)<^xu х2 ^u(s)).
Ли т е р а т у р а : [29], [35].
2.Принцип сжатых отображений. В большинстве случаев применимость метода последовательных приближений сводится
кпроверке условий следующего общего принципа.
Пр и н ц и п с ж а т ы х о т о б р а ж е н и й . Пусть Т — замкну тое множество банахова пространства Е. Пусть оператор А пре образует Т в себя и является оператором сжатия, т. ё. удовлет воряет условию Липшица
||Ахх—■ — х2[ (хи х2^ Т )
с постоянной q <t 1 . Тогда уравнение х = Ах имеет на Т един ственное решение лг*, которое является пределом последователь ных приближений хп = Ахп- 1 при любом начальном приближе нии хо е Т.
В условиях этого принципа роль Т обычно играет либо все пространство £, либо некоторый шар S(0, г). В некоторых слу чаях множество Т приходится конструировать специальным об разом.
Пример . Пусть в интегральном уравнении
x(t)= j |
K[t, 5 , x(s)]ds + f(t) |
0 |
|
функции KityS.x) и f(t) |
непрерывны и K(t> s, x) удовлетворяет |
по переменной x условию Липшица с константой q < 1.
Это интегральное уравнение можно рассматривать как опе раторное уравнение в пространстве С непрерывных на [О, 1] функций. Оператор, определенный правой частью уравнения, удовлетворяет условию Липшица с константой <7 < 1. Поэтому в силу принципа сжатых отображений интегральное уравнение имеет непрерывное решение, которое является пределом после довательных приближений
xn (t)= \ K[t, s, X„_,(s)]c7s + f(0 |
(п = 1, 2, ... ). |
О |
|
Иногда удобно пользоваться следствием из принципа сжатых отображений: пусть оператор В также преобразует замкнутое множество Т пространства Е в себя и коммутирует с операто ром А, удовлетворяющим условиям принципа сжатых отображе ний, т. е.
ВАх = АВх |
(х е Г). |
|
§ 2. СУЩЕСТВОВАЙИЕ РЕШЕНИЯ |
319 |
|
Тогда |
неподвижная |
точка оператора А является неподвижной |
|
точкой |
(возможно, |
неединственной) оператора В. |
|
В частности, если некоторая итерация Вп оператора В удов летворяет на множестве Т условиям принципа сжатых отобра жений, то неподвижная точка х* оператора Вп является непод вижной точкой и оператора В. В этом случае х* является един ственной неподвижной точкой оператора В.
Принципом сжатых отображений не исчерпываются все случаи, когда решение нелинейного уравнения может быть по лучено как предел последовательных приближений. Пусть опе ратор А действует в метрическом3 пространстве R с метрикой р(х, у). Оператор А называется обобщенным сжатием, если
р {Ах, Ay) < q (а, 0) р {х, у) при а < р {х, у) < 0,
причем |
q{a, Р) < 1 |
(0 < а < Р < оо). |
|
||
Оператор А будет обобщенным сжатием, если, например, |
||
|
р {Ах, Ау) < р {х, у) — у [р {х, у)], |
|
где у[и] — непрерывная положительная при и > 0 функция. |
||
Пр и н ц и п |
о б о б щ е н н о г о с ж а т и я . Пусть оператор А |
|
,преобразует в |
себя полное |
метрическое пространство R и яв |
ляется обобщенным сжатием. Тогда уравнение х = Ах имеет в R |
||
единственное решение х*, которое является пределом последова тельных приближений хп = Ахп- 1 при любом начальном при ближении хо е R.
Общность принципа обобщенного сжатия характеризуется тем, что он допускает естественное обращение в случае, когда пространство R имеет конечный диаметр: пусть непрерывный оператор А преобразует в себя полное метрическое пространство
R и пусть уравнение х — Ах имеет в R единственное |
решение, |
к которому сходятся последовательные приближения |
хп = Ахп |
равномерно относительно начальных приближений Хо е |
R, тогда |
вR можно ввести такую эквивалентную метрику, при переходе
ккоторой оператор А становится обобщенным сжатием. Обобщением принципа сжатых изображений является также
следующее утверждение: если в равномерно выпуклом банахо вом пространстве Е оператор А оставляет инвариантным выпук лое ограниченное замкнутое множество Т и А = Ло + D, где \\AQX— А0у\\ ^ ||х — у || и D — усиленно непрерывный оператор, то уравнение х = Ах имеет в Т по крайней мере одно решение.
Ли т е р а т у р а : [29], [31], [35], [39], [58], [198].
3.Единственность решения. В условиях принципа сжатых отображений решение уравнения х — Ах в Т единственно. Од нако из единственности решения в Г не следует единственности