§ 3. ТЕОРИЯ ВЕТВЛЕНИЯ РЕШЕНИИ |
333 |
щ определено решение Х(и) уравнения F(x, и) = |
0. Это реше |
ние единственно. Оператор Х(и) непрерывен. |
|
Если оператор F(x, и) имеет производные Фреше по и опре деленного порядка, то оператор Х(и) имеет производные Фреше того же порядка.
При применении теоремы о неявной функции к уравнению х = А(х, р) требование обратимости оператора F'x (х0, и0), есте
ственно, заменяется требованием, чтобы единица не принадлежа ла спектру оператора Ах(х0, р0). При выполнении этого усло
вия и непрерывности по (х, р) оператора Ах {х, р) в окрестности
точки (х0, ро) существует единственное непрерывное решение л;(р) уравнения х = А (х> р) такое, что х(ро) = х0.
Л и т е р а т у р а : [7], [29], [31], [35], [39], [198].
2. Точки |
ветвления. Если в уравнении х = А(х, р) оператор |
А (х, р) при |
каждом р вполне непрерывен, то к исследованию по |
ведения решений при изменении р можно применить топологи ческие методы.
Пусть Хо— изолированное решение уравнения х = А(х, р0), имеющее ненулевой индекс. На достаточно малой сфере S, ок ружающей точку Хо, вращение поля х — А(х, р0) будет отличным от нуля. Следовательно, при р, близких к р0, и вращение поля х — А(х, р) будет отличным на S от нуля. Из принципа нену левого вращения следует, что внутри S имеется по крайней мере одно решение х(р) уравнения х = А(х, р), Уменьшая радиус сферы S, можно так выбирать решение х(р), что
|
|
lim ||х(р) — *о11 = |
0. |
|
|
|
й.->й-о |
|
|
В этом смысле |
можно говорить о |
непрерывности |
решения |
|
х(р) в точке р0. |
называется точкой ветвления для уравнения |
|||
« Пара (л'0, |
ро) |
|||
x = A(xt р), |
если |
для каждого е > 0 |
можно указать |
такое р, |
что |р — р0| < s и уравнение х = А (х, р) имеет по крайней мере два решения, лежащие в е-окрестности точки х0.
Из |
рассуждений |
предыдущего |
пункта вытекает, |
что |
пара |
(хо, ро) |
не является точкой ветвления, если в окрестности точки |
||||
(*о, Ро) |
существует |
оператор Ах (х, |
р), непрерывный |
по |
(х, р), |
и единица не является точкой спектра оператора А'х (х0, р0). Если же предполагать только существование оператора Ах (х0, р0), не имеющего единицу точкой спектра, и не предполагать сущест
вования оператора Ах (х, р) в окрестности точки (хо, ро), то пара (*о, ро) может оказаться точкой ветвления.
Пусть внутри сферы 5 при каждом р, близком к р0 и отлич ном от него, уравнение х = А(хур) имеет только конечное число
334 |
ГЛ. VI. НЕЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ |
|
||
решений, |
причем |
в |
точках-решениях существует |
оператор |
Ах (ху р) |
и единица |
не является его собственным |
значением. |
|
Число таких решений |
тогда отличается от вращения поля |
|||
х — А (Ху р) на сфере на четное число (индекс каждого решения ±1, сумма индексов равна вращению поля). Поскольку враще ние поля х — А (Ху р) на S при изменении р вблизи р0 не изме няется, то число решений уравнения х = А(х, р) при переходе р через ро может измениться лишь на четное число. Это утверж дение называется принципом сохранения четности числа реше ний.
Если индекс решения х0 равен нулю, то при р, близких к р9, решение х(р) уравнения х = А(х, р) в окрестности точки х0 может вообще не существовать. Решения могут «втекать» в Хо
при р —> ро — 0 и не |
существовать при |
р > |
ро; |
тогда |
пара |
||||
(*о, Мл) называется точкой прекращения решений. Решения мо |
|||||||||
гут не |
существовать при р < |
р0 и «вытекать» |
из точки Хо при |
||||||
р —►ро + О; тогда |
пара |
(*o, ро) |
называется точкой рождения ре |
||||||
шений. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Л и т е р а т у р а : |
[6], [7], |
[29], [31], |
[33], 135], [198]. |
|
|
|
|
||
3. |
Точки бифуркации, принцип линеаризации. Близким к точ |
||||||||
ке ветвления является понятие точки бифуркации. |
х = А(х, р) |
||||||||
Допустим, что А (0, р) = |
0. Тогда уравнение |
||||||||
имеет нулевое решение х = |
0 при всех значениях параметра р. |
||||||||
Число р0 называется точкой |
бифуркации |
для |
этого уравнения |
||||||
(или для операторов А (хур)), если любому е > |
О соответствует |
||||||||
такое значение параметра р из промежутка |р — р о |< е , |
при |
||||||||
котором уравнение имеет по крайней мере одно ненулевое ре шение х(\х)у удовлетворяющее условию IU(p)|| < е. В отличие от определения точки ветвления в определении точки бифурка ции предполагается априори известным одно семейство решений, определенное при всех значениях параметра — речь идет об «ответвлении» решений от заданного семейства. В определении точки бифуркации не говорится о том, при каких значениях па раметра уравнение имеет малые ненулевые решения. Эти значе ния могут образовывать дискретное множество или даже совпа дать с ро- Общность понятия точки бифуркации позволяет полу чить общие простые теоремы о методах отыскания этих точек. В то же время понятие точки бифуркации достаточно полно опи сывает появление ненулевых решений.
Для линейного уравнения х = рВх с линейным вполне не прерывным оператором В точки бифуркации совпадают с ха рактеристическими значениями оператора В (значения, обратные собственным числам).
Если оператор А(х, ц) непрерывно дифференцируем по Фреше, то в силу теоремы о неявной функции его точками бифурка
§ 3. ТЕОРИЯ ВЕТВЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ |
335 |
ции могут быть лишь те значения р, при которых единица яв ляется точкой спектра оператора Ах(д, ц)* Пусть Л*(0, р) = рВ, где В — вполне непрерывный линейный оператор, не зависящий от р. Если единица является собственным значением оператора рВ, то р является характеристическим числом оператора В. Итак, в этом случае точки бифуркации являются характеристи ческими значениями оператора В. Возникает вопрос о том, каж дое ли характеристическое значение оператора В является точ кой бифуркации? В общем случае, как показывают примеры, от вет отрицателен.
Принципом линеаризации называют принцип, согласно кото рому отыскание точек бифуркации сводится к определению ха рактеристических значений линейного оператора В. Обоснова нием этого принципа служит следующее утверждение: если
вполне непрерывный оператор |
А (х, р) |
(А (0, р) = |
0) имеет |
в точке 0 производную Фреше AX(Q, р) = |
рВ, то каждое нечет |
||
нократное (в частности, простое) |
характеристическое |
значение |
|
оператора В является точкой бифуркации оператора А (х, р). Если характеристическое значение оператора В имеет четную
кратность, то требуется дополнительный анализ, использующий не только главную линейную часть рВ оператора А(хур). Пусть вполне непрерывный оператор допускает представление
А (ху р) = рВх 4- С (,Ху р) -f D (Ху р),
где В, |
как и выше, — линейный вполне |
непрерывный оператор, |
|||
оператор C(xt р) состоит из |
членов |
k-vo порядка малости, |
|||
k > 1 |
— целое число, т. е. |
|
|
|
|
и |
С (ах, р) = |
akC (Ху р) |
|||
II С ( х 1у р ) — С ( х 2у n ) I K # ( p ) l l * i — * 2II |
|||||
|
|||||
|
( H * i l K p > II *2 I K |
Р, |
q ( p ) |
= 0 ( р * - 1)); |
|
оператор D(xf р) состоит из членов более высокого порядка ма лости
II D (х, ti) ||< L ||x f +1.
Пусть р0 является характеристическим значением оператора В четной кратности р, пусть элементы еи . . . , е§ образуют ба зис в собственном подпространстве оператора В, соответствую щем собственному числу 1/р0, а элементы gu . . . , gp образуют базис в собственном подпространстве оператора В*, соответ ствующем этому же собственному числу (ро вещественно).
Важную роль играет векторное поле F в p-мерном векторном пространстве, определенное равенством
•••> = •••»