Материал: Функциональный анализ

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

§ 3. ТЕОРИЯ ВЕТВЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ

341

При малых х он является величиной второго порядка малости (# = 2), поэтому уравнение Некрасова имеет малые ненулевые решения и при р < рп, и при р > рп, где рп — любая точка би фуркации. х

Ли т е р а т у р а : [31], [195], [196], [198].

5.Уравнения с потенциальными операторами. Для урав-

нения

х= рАху

где А — вполне непрерывный оператор, являющийся градиентом слабо непрерывного функционала в гильбертовом пространстве, принцип линеаризации для отыскания точек бифуркации значи тельно усиливается.

Если А (0) = 0, оператор А непрерывно дифференцируем и его производная Л'(0) = В является вполне непрерывным само сопряженным оператором, то каждое характеристическое зна чение оператора В, независимо от его кратности, является точ кой бифуркации нелинейного уравнения х = рАх.

В качестве примера можно снова рассмотреть уравнение Гаммерштейна с симметричным ограниченным положительно' определенным ядром:

1
JC(0 = I* J /СО. s)f[s, x(s)]ds,	f(s, 0)==0, f'(s, 0)^=1.
О

Так же, как и в § 2, п. 9, его можно преобразовать к виду

Оператор Bll2fB l/2 является	градиентом функционала
1	В>/2*
Ф (х) = J ds	\| f (s, и) du.
О	о

Если оператор f дифференцируем, то производная Фреше оператора B'l*fBll* в точке 0 является линейным интегральным оператором В с ядром K( t , s). Все характеристические значения этого оператора являются точками бифуркации для уравнения у == |xB'bfB'ky. Обратная замена В'1*у = х показывает, что точки бифуркации последнего уравнения совпадают с точками бифур кации исходного уравнения Гаммерштейна.

Литература: *[6], [31].

6. Рождение больших решений. В п. 2 была описана общая схема изменения решений при изменении значений параметра. &та схема относилась к тому случаю, когда рассматривались

342 ГЛ. VI. НЕЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ

решения в некотором шаре. В более общем случае при измене нии значений параметра нормы решений могут неограниченно возрастать. Может встретиться такой случай, когда решения с •большими нормами возникают при значениях параметра, боль ших, чем некоторое критическое число. Здесь приводится одна теорема, описывающая появление решений с большими нор


мами.	оператор	А (х,	р)	асимптотически		линеен,		причем
Пусть
Аоо(оо, р) = рВ. Пусть			р0—нечетнократное			характеристиче
ское значение линейного вполне непрерывного оператора В.
Тогда при любых е, R >			0	может быть указано такое р, кото
рое удовлетворяет		неравенству			\|р — р о \| < е	и	при	котором
уравнение	х = A (xf	р) имеет по			крайней мере		одно решение,

норма которого больше чем R.

7. Уравнение разветвления. Пусть единица является собст

венным значением производной А'х (х0, р0) вполне непрерывного и непрерывно дифференцируемого оператора А(х, р). Для про стоты рассматривается случай, когда инвариантное подпро странство Е0, соответствующее этому собственному значению, состоит только из собственных векторов. Через Е° обозначается дополнительное к Е0 инвариантное подпространство оператора

Ах(хо, Ро). Каждый элемент х ^ Е представляется в виде x = u + v ( и ^ Е 0, у е £ °).

Пусть Р и Q — операторы проектирования на Е0 и Е°, опреде ленные равенствами Рх = и, Qx = v.

Уравнение х = А(х3 р)' можно переписать в виде системы

и = РА(х0 + У + г, ii) — Px0, z = QA(x0 + y + z t ix) — Qx0,

где у = Р(х — хо), z = Q(x — XQ). Если у и р — ро достаточно

малы, то	второе уравнение имеет единственное	малое решение
z = R(y,	р). Поэтому вопрос о разрешимости	и о построении

решения уравнения х = А(х, р) эквивалентен вопросу о разре шимости уравнения

у = РА(х0 + у + R(y, р), р) — Рх0.

Последнее уравнение — это уравнение в конечномерном про странстве. Оно называется уравнением разветвления. Для его исследования могут быть применены как аналитические, так и топологические методы.

Приведенный вывод уравнения разветвления восходит к А. М. Ляпунову. Переход к конечномерному уравнению можно провести и другими методами, например, методом Э. Шмидта.

§ 3. ТЕОРИЯ ВЕТВЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ

343

В предыдущих условиях рассматривается вспомогательное уравнение

х = А(х, ц) + Р (* — х0) — I,

где £— неизвестный элемент из Е0, играющий роль параметра. Это уравнение при малых £ и р — ро имеет единственное реше ние х = S(p, £), близкое к х0. Это решение будет решением пер воначального уравнения в том и только том случае, когда

l = PS([i, Ъ )-Р х 0.

Последнее уравнение и есть уравнение разветвления Шмидта. Уравнения разветвления Ляпунова и Шмидта естественно эквивалентны в том смысле, что по их решениям однозначна определяются решения исходного уравнения. Однако следует подчеркнуть, что правые части этих уравнений разветвления

различны.

Ли т е р а т у р а : [7], [35].

8.Построение решений в виде рядов. Пусть х0— решение уравнения х = А(х, р0). Пусть оператор А(х, р) в окрестности точки (х0, р0) аналитичен в том смысле, что его можно предста вить в виде ряда Тейлора

А(х, \|х) =	х0+	2	0* — Н о ) ' (* — *„),
		i+i>1
где Cij(h) (i ^ 0, / ^	0) — операторы, имеющие /-й порядок ма
лости относительно	А; в	частности, Сг-о(А) = Сг*о— некоторые
фиксированные элементы из Е.

Как и выше, особую роль играет линейный оператор Ст =

=А'х (х 0, Ро). Пусть оператор А (х, р) вполне непрерывен. Тогда

вполне непрерывен и оператор Ст = A'X {XQ, р0).

Если единица не является собственным значением оператора С01, то при близких к р0 значениях р уравнение х = А(х, р) имеет единственное решение х(р). Это решение, как оказы вается, представимо рядом

х(ц)= + (ц—Ц0)*i + 0* —Но)2 * 2 + ...

Для определения элементов хи х2, ... этот ряд подстав ляется в уравнение, затем правая часть раскладывается в ряд по степеням (р — р0) и коэффициенты при одинаковых степенях (р — ро) приравниваются. В результате приходят к системе уравнений

х\ ~Coi (х\) + С10,

х2= Со\ ~Ь С\\ (*l) + С 02( х {) + С 20>

344	ГЛ. VI. НЕЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Выписанные линейные уравнения можно последовательно
решать. Ряд для		х(р,) будет сходиться при достаточно малых
\| р —- \|ULO\| . Для оценки радиуса сходимости обычно конструируют
мажорантные числовые ряды.
Пусть	теперь	единица — собственное значение линейного

оператора С0ь В этом случае вопрос о количестве решений урав нения х = А(х, р) при близких к р0 значениях р становится бо лее сложным. Такие решения иногда можно найти в виде ряда

X (ц) = х0+ (ц — йо)'№1 + (и- — Ho)I/ft2 +	• • •
по дробным степеням (k — натуральное число)	приращения

Р — ро.

Для определения элементов xit Х2, ... ряд для л:(р) снова подставляют в уравнение и сравнивают коэффициенты при оди наковых дробных степенях р — ро. Для случая k = 2, например, получаются уравнения

* i= C 01 (*i)»

х 2 = С01 (^2) ~Ь 0)2 (*l) ~Ь ^10»

Первое из этих уравнений — однородное линейное уравнение. Его решение имеет вид

Х\	а {е х “Т •..	Q's&sy
где ей ..., es— базис	в подпространстве Е0 собственных векто

ров, отвечающих собственному значению 1, а ai, ... , <xs — произ вольные числа. Для определения чисел оы, ..., as используют условия разрешимости второго уравнения. Эти условия можно записать в виде


fi[C02(ai^i+	••• + a5es) +	С10] =	0	(/= 1 , 2 , . . . , s),
где fi, ..., f8— полная система собственных векторов					(линейных
функционалов)	сопряженного	с C0i	оператора С0ь		соответст

вующих собственному значению, равному 1.

Условия разрешимости — это система s нелинейных уравне ний с s неизвестными. Если ее можно решить, то элемент най ден. Одновременно можно утверждать, что второе уравнение (относительно х2) разрешимо. Его решение снова определяется с точностью до 5 произвольных постоянных:

*2 = Х 2 + Pl*l + • • • + P/s-

Коэффициенты Pi,. . . , ps определяются из условия разрешимо сти третьего уравнения и т. д.

§ 3. ТЕОРИЯ ВЕТВЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ

345

Определение элементов хи *2, • • • становится более сложным, если коэффициенты <хь ... , о&2 нельзя определить из условия раз решимости второго уравнения. Здесь приходится привлекать условия разрешимости последующих уравнений.

Если не удается построить решение в виде ряда по степеням р — ро, (р — ро),/з, то пробуют строить решение в виде ряда по степеням (р — ро),/з и т. д.

Описанный метод построения рядов называют методом не определенных коэффициентов.

Если полученный ряд по степеням величины v = (р — ро) * сходится в некоторой окрестности нуля, то он является (по по строению) решением уравнения х = А(х, р).

Основной прием установления сходимости и определения области сходимости этих рядов заключается, как обычно, в кон струировании соответствующих скалярных мажорантных рядов. Известны и некоторые общие теоремы о сходимости рядов по

_i_

степеням v = ( p — \io) k . Например, если подпространство Е0 собственных векторов линейного оператора А'(хо), соответст вующих собственному значению 1, одномерно или двумерно и если при некотором фиксированном k можно построить методом неопределенных коэффициентов лишь конечное число рядов по

степеням v = (р — ро) к , то каждый из этих рядов сходится в* некоторой окрестности точки ро

л и т е р а т у р а: [7], [35], [195].

Источник: https://studfile.net/preview/19992813/

Смотрите также: