Г Л А В А VII
КОММУТАТИВНЫЕ БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ
§1. Основные понятия
1.Определения и примеры. Алгеброй над полем комплекс ных чисел называется комплексное линейное пространство, для элементов которого введена операция умножения ab, перестано вочная с умножением на комплексные числа и дистрибутивная относительно сложения. Если умножение коммутативно, т. е. ab — Ьа, то алгебра называется коммутативной.
Линейное подпространство С алгебры А называется подалге брой, если для любых а, b ^ С элемент ab ^ С.
Если алгебра А является банаховым пространством и произ ведение ab непрерывно по каждому из сомножителей, то А называется банаховой алгеброй. В дальнейшем в основном бу дут рассматриваться коммутативные банаховы алгебры.
В большинстве вопросов общей теории можно ограничиться рассмотрением алгебр с единицей, т. е. с таким элементом е, что ае = а для любого а из алгебры. Если в алгебре нет единицы, то ее можно присоединить, причем так, что расширение будет банаховой алгеброй (с единицей), содержащей исходную алгебру
вкачестве замкнутой подалгебры коразмерности 1.
Влюбой банаховой алгебре А с единицей е можно так изме
нить норму на эквивалентную, чтобы в новой норме выполня лись соотношения ||ab|| ^ ||а||||6||, ||е|| = 1. Для этого доста точно каждому элементу сопоставить линейный оператор умно жения на этот элемент, а затем в качестве новой нормы рассмотреть норму соответствующего оператора. Ввиду перечис ленных обстоятельств, в дальнейшем обычно предполагается на личие в алгебре единицы и считаются выполненными приведен ные выше соотношения для нормы.
Множество S элементов алгебры А называется системой об разующих, если наименьшей замкнутой подалгеброй с единицей
вЛ, содержащей множество S, служит сама алгебра А. Единица
вчисло образующих обычно не включается. Если существует
348 |
ГЛ. VII. КОММУТАТИВНЫЕ БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ |
Изоморфное представление алгебры Ll (Rl) получится, если перейти от функций из Ll {Rl) к их преобразованиям Фурье, при этом возникает некоторая алгебра непрерывных на оси (—оо, оо) функций, и операциям в L l (Rl) соответствуют поточечные опера ции в алгебре преобразований Фурье.
6.Аналогично предыдущему в пространстве L l(Z) последо
вательностей a = {an}<Z00 со сходящейся суммой
NI = 2 | a J < ° °
—оо
можно ввести умножение как свертку
(й * Ь)п= |
оо |
CLn—mbm. |
|
|
—оо |
Относительно введенных обычных линейных операций, нормы и умножения Ll(Z) — коммутативная банахова алгебра.
Изоморфное представление этой алгебры дает множество непрерывных на окружности О ^0< ^2я функций а(0), разла гающихся в абсолютно сходящиеся ряды Фурье
а (0) = 2 апеш ( || а || = 2 I ап I < °°)
с поточечными операциями.
Полученная алгебра называется винеровской.
Алгебры примеров 5, 6 являются частными случаями группо вых алгебр, которые аналогично строятся на любой локально компактной абелевой группе (см. § 5).
7. Пусть a{t ) |
— положительная функция, определенная и не |
||
прерывная на R\ |
удовлетворяющая условию |
||
a (t + |
|
т) ^ а (^) а (т) |
(—оо < t, т < оо). |
Через Ll (Rl, а) |
обозначается |
алгебра всех измеримых функций |
|
a(t), для которых
оо
Iа ||= J| a(f)| a(f)<#< °°»
—оо
иумножением снова служит свертка.
8.Через L+(R\ а) обозначается совокупность всех измери мых на [0, оо) функций, для которых
|
оо |
|
||a|| = J \a(t)\a(t)dt < ОО, |
|
О |
где a(t) |
—та же функция, что и в примере 7, но рассматривае |
мая при |
t ^ O . Пространство L + ( R \ а) образует коммутатив- |
§ 1. ОСНОВНЫЕ п о н я т и я |
349 |
йую банахову алгебру относительно умножения, определенного
по формуле |
^ |
|
|
(а * b) (t) = J |
х {t — т) у (т) d%. |
|
о |
|
Если а ( 0 = Ь то |
l) обозначается через L1(/?+). |
|
Конструкция алгебр примеров 7, 8 также переносится на |
||
любую локально |
компактную |
абелеву группу G и ее полу |
группу S.
Список разнообразных примеров можно было бы расширить. Коммутативные банаховы алгебры составляют абсолютно не прерывные функции, функции с ограниченной вариацией, по чти периодические функции на локально компактной группе, решения некоторых дифференциальных уравнений (удовлетво ряющие тем или иным дополнительным условиям) и т. д. Ниже некоторые из этих примеров будут рассмотрены более подробно.
Л и т е р а т у р а : [И], [38], [44], [204], [231], [244], [249].
2. Группа обратимых элементов, теорема о непустоте спект ра. Пусть А — коммутативная банахова алгебра. Рассматривается множество Е(А) тех элементов из Л, которые обладают обратным относительно умножения. Ясно, что Е(А) есть группа. Эта группа содержит, в частности, шар ||е — а\\ < 1, так как ряд
(Неймана)
оо
2(е — а)п
п=0
сходится и определяет элемент, обратный к а. Отсюда следует, что Е(А) образует открытое множество в А. Далее, функция а—->а~\ определенная на Е{А), оказывается непрерывной. Сово купность экспонент, т. е. элементов вида
оо
VI ап
exPa==2 j 7 T '
/г= 0
образует подгруппу Ei(A), являющуюся связной компонентой единицы.
Для любого элемента а е /1 совокупность тех комплексных чисел Л, для которых элемент а — he имеет обратный в А, есть открытое множество, содержащее в частности все X с \ h\ > ||а||.
Более |
того, |
функция |
h^—^(a— he)~l является |
непрерывной и |
||||||
даже |
аналитической |
там, |
где |
она |
определена. |
Эта |
функция |
|||
называется |
резольвентой элемента |
а. |
Дополнение |
к |
области |
|||||
определения |
резольвенты |
называется |
спектром |
этого эле |
||||||
мента. |
Резольвента ограничена |
на |
бесконечности, |
ее |
область |
|||||
350 ГЛ. VII. КОММУТАТИВНЫЕ БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ
определения, в силу теоремы Лиувилля, не может содержать всей комплексной плоскости. Поэтому спектр о (а) любого эле мента а не пуст.
Из теоремы о непустоте спектра сразу вытекает, что бана хово поле изометрически изоморфно полю комплексных чисел.
Можно доказать, что
|
max | А | — lim |
||ап||1/п |
|
|
||
|
Аеа (а) |
п->оо |
|
|
|
|
(предел справа всегда существует). Число |
шах| Я| |
назы- |
||||
вается спектральным радиусом элемента а. |
|
|
||||
Л и т е р а т у р а : [И], [38], |
[44], [58], [204], [208], |
[226], 1231], [244], [249]. |
||||
3. |
Максимальные |
идеалы |
и |
мультипликативные |
функцио |
|
налы. Множество / элементов алгебры А называется идеалом„
если / |
есть линейное подпространство в Л и a b ^ I |
при любых |
а ^ А |
в Ь<=1. В дальнейшем под идеалом всегда |
понимается |
собственный идеал, т. е. идеал, который не сводится к одному только нулевому элементу и не совпадает со всей алгеброй. По этому никакой идеал не может содержать обратимого элемента и, следовательно, ни одного элемента из некоторого открытого шара с центром в е. С другой стороны, всякий необратимый элемент либо принадлежит некоторому идеалу (например, иде алу, порожденному этим элементом), либо этот элемент нулевой.
Замыкание любого идеала есть снова идеал. Фактор-про странство A/I по любому замкнутому идеалу /, естественно, на деляется структурой коммутативной банаховой алгебры, кото рая называется фактор-алгеброй.
Всякий идеал содержится в максимальном, т. е. в таком иде але М, который не может быть собственной частью другого идеала. Максимальный идеал автоматически замкнут.
Элемент а ^ А тогда и |
только тогда обратим, когда он не |
. принадлежит ни одному из |
максимальных идеалов. |
Фактор-алгебра по максимальному идеалу не содержит ни одного собственного идеала и, следовательно, является банахо вым полем. Отсюда вытекает, что всякий максимальный идеал является ядром некоторого линейного непрерывного мультипли кативного функционала, т. е. такого <р ^ А ', что qp (ab) —
= ф(а)ф(Ь) (а, Ь<=А). Обратно, всякий линейный мультипли кативный функционал на коммутативной банаховой алгебре не прерывен, имеет норму 1, а его ядром служит максимальный идеал.
Пусть Ф — множество всех линейных мультипликативных функционалов на А. Из сказанного выше следует, что элемент
а<=Л тогда и только тогда обратим, когда (р(а) фО для всех