~§ 2. ОБЩИЕ СВОЙСТВА |
357 |
Для случая алгебры аналитических функций в круге эта фор мула сводится к классической формуле Пуассона.
Следует отметить, что среди представляющих мер имеется такая, которая удовлетворяет неравенству Иенсена, т. е.
log 1/ (ф) I < J log | f | d[i.
Г
Если А есть алгебра с равномерной сходимостью, а ее про странство максимальных идеалов метризуемо, то среди всех кольцевых границ (не только замкнутых) имеется минималь
ная Г0, замыканием которой служит граница Шилова. Мини |
|
мальная граница Го состоит из «точек пика». При этом точка л:0 |
|
называется точкой пика, если существует такая функция f А, |
|
что |
|f(x) | < \ f(x0) | для всех х ф х0. В рассматриваемом случае |
для |
любой точки из пространства максимальных идеалов суще |
ствует представляющая мера, сосредоточенная на Г0. |
(точнее |
|
Полупростая алгебра называется |
аналитической |
|
было бы говорить квазианалитической), |
если всякая |
функция |
из этой алгебры, равная нулю на непустом открытом подмно жестве пространства максимальных идеалов, равна нулю тож дественно. Аналогично определяются алгебры, аналитические относительно границы.
Всякая аналитическая алгебра является аналитической отно сительно границы Шилова (обобщение известного факта из тео рии аналитических функций), но обратное, вообще говоря, не верно.
Л и т е р а т у р а : [11], [23], [38], [44], [203], [204], [244], [249].
4. Алгебры с инволюцией. Банахова алгебра называется ал геброй с инволюцией, если в ней задана операция f»—>f*, обла дающая следующими свойствами:
1)
2) |
(Xf + jxg)*= Xf* + p.g*, |
3)
Последнее свойство записано в таком виде, в котором оно распространяется на некоммутативные алгебры. Наиболее важным примером некоммутативной алгебры с инволюцией яв ляется алгебра всех ограниченных операторов в гильбертовом пространстве. В этом случае инволюция представляет собой переход к сопряженному оператору. В алгебре операторов ин волюция связана с нормой соотношением
4) |
IlffllH IflH lfll. |
358 ГЛ. VII КОММУТАТИВНЫЕ БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ
Всякая банахова алгебра с инволюцией, удовлетворяющей соотношению 4), изометрически изоморфна подалгебре алгебры
операторов в гильбертовом |
пространстве |
( т е оре ма |
Г е л ь |
ф а н д а — Н а й м а р к а ) . |
коммутативной |
банаховой |
алгебры |
Простейшим примером |
с инволюцией, отвечающей переходу к комплексно-сопряженной функции, служит алгебра всех непрерывных функций на ком пакте. Здесь инволюция также удовлетворяет соотношению 4). Этот пример является общим в том смысле, что всякая комму тативная банахова алгебра с инволюцией, удовлетворяющей со отношению 4), естественно изоморфна алгебре всех непрерыв ных функций на своем пространстве максимальных идеалов.
Частным случаем этой теоремы является известная т е о р е м а Стона — В е й е р ш т р а с с а : если замкнутая подалгебра алге-
‘бры С(Х) на компакте X вместе с функцией f(x) содержит f(x) и, кроме того, для любых двух различных точек xiy х2^ Х содер жит функцию, принимающую в этих точках различные значения, то эта подалгебра совпадает с С(Х).
В общем случае инволюция не обязана удовлетворять соотно шению 4). Например, в алгебре аналитических функций в единич ном круге, непрерывных вплоть до границы, имеется инволюция
f*(z)=f(z), а в Ll (R{) — инволюция f*(x)=f( —^соответству ющая переходу к комплексно-сопряженной функции в преобра зованиях Фурье. В этих примерах инволюция изометрична.
Теорема о коммутативных алгебрах с инволюцией, удовлет воряющей соотношению 4), в применении к алгебре операторов в гильбертовом пространстве, коммутирующих с данным само сопряженным или нормальным оператором, позволяет получить аналог спектрального разложения.
Инволюция называется симметричной, если для любого f<=A элемент e + f*f обратим в А.
Линейный функционал ф, определенный на алгебре А с инво люцией, называется положительным, если ф(f*f) ^ 0 для всех
f ^ А.
Каждый положительный функционал на коммутативной бана ховой алгебре А с симметричной инволюцией однозначно продол
жается до положительного функционала на |
алгебре |
С(Х), где |
X — пространство максимальных идеалов |
алгебры |
А. Всякий |
такой функционал в силу этого обстоятельства представим в виде-
$ if) = J f (*)d\i,
X
где \х— положительная мера на X, которую можно считать со средоточенной на множестве точек, отвечающих симметричным
§ 2. ОБЩИЕ СВОЙСТВА |
|
359 |
|
максимальным идеалам |
(т. е. идеалам, |
содержащим /* вместе |
|
с /). |
|
|
существует та |
Если для каждого ненулевого элемента f е Л |
|||
кой положительный функционал ф, что |
ф(/*/) ф О, то алгебра |
||
А — полупростая. |
|
|
|
Л и т е р а т у р а : [И], [23], |
[38], [44], [203], [204], [244], |
[249]. |
|
5. Регулярные алгебры. Регулярной называется алгебра А без радикала, т. е. алгебра функций, в которой для любого зам кнутого множества F в пространстве X максимальных идеалов и любой не содержащейся в F точки х0 найдется такая функция f ^ A , что f(x)= 1 для всех X G F и f(x0) = 0. Всякая регуляр ная алгебра нормальна, т. е. аналогичное свойство отделимости выполняется для любой пары непересекающихся замкнутых множеств. Более того, в регулярной алгебре для любого конеч
ного открытого покрытия {Ui}, |
1 ^ i ^ |
п, пространства X имеет |
|
ся «разбиение единицы», |
т. е. |
система |
функций / ь ... , /п е Л , |
для которых |
+ • . . . + / » ( * ) - 1 |
||
П ( х ) |
|||
и |
|
|
|
fi(x) = О при х ф щ.
Функция gf по определению, локально принадлежит алге бре Л, если для каждой точки х0е X существует такая окрест ность, в которой эта функция совпадает с некоторой функцией из алгебры. Наличие разбиения единицы для всякого конечного открытого покрытия пространства X позволяет устанавливать, что всякая (непрерывная) функция, локально принадлежащая алгебре, сама является элементом этой алгебры.
В общем случае, как уже отмечалось в п. 1, это не верно даже для алгебр с равномерной сходимостью, обладающих ко нечным числом образующих. Более того, «нелокальность» та кого типа нельзя, вообще говоря, исправить следующими есте ственными средствами: пусть А — некоторая алгебра с равно мерной сходимостью, реализованная как замкнутая подалгебра алгебры С(Х) на своем пространстве максимальных идеалов, и Ai —замыкание в С(А') множества всех непрерывных функций на X, локально совпадающих с элементами из А\. Можно дока зать, что пространство максимальных идеалов алгебры А\ снова совпадает с X. Однако, вообще говоря, алгебра А\ не обязана быть локальной: некоторая непрерывная функция в окрестности каждой точки из X может совпадать с элементами из Аи но не принадлежать к А\.
Элемент алгебры называется вещественным, если функция f (x) вещественна при всех х.
360 ГЛ. VII. КОММУТАТИВНЫЕ БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ
Достаточное условие регулярности: алгебра с веществен ными образующими fa регулярна, если
Jоо log I exp i t f a I |
<оо |
— оо |
|
для каждой fa • |
и многие другие регулярны. |
Алгебры С(Х), Ll (Z), Сг(0, 1) |
С другой стороны, алгебры голоморфных функций обладают противоположным свойством (см. § 3, п. 1).
Среди идеалов банаховой алгебры особый интерес представ* ляют примарные идеалы, т. е. такие, которые содержатся только в одном максимальном идеале. В случае регулярных алгебр функций в каждом максимальном идеале имеется наименьший замкнутый примарный идеал, а все ©стальные идеалы заклю чены между ним и максимальным. Этот наименьший замкнутый примарный идеал /(х 0) есть замыкание идеала, образованного из функций f ^ А, равных нулю в некоторой (своей для каждого /) окрестности точки х0.
В алгебре абсолютно сходящихся интегралов Фурье с при* соединенной единицей всякий замкнутый примарный идеал сов* падает с максимальным. Из последнего факта вытекает, в част
ности, |
т а у б е р о в а т е о р е м а |
В и н е р а : |
если преобразова |
|||||
ние |
Фурье fo(cr) |
функции f0(t) G L1^ 1) не обращается в нуль |
||||||
ни |
при |
каком |
вещественном значении |
о и если g ( t ) — такая |
||||
ограниченная измеримая функция, что |
|
|
||||||
|
|
оо |
|
|
оо |
|
|
|
|
|
J f a i t — |
T ) g ( t ) d t - > c |
J f o ( t ) d t |
при |
|т|-> о о , |
||
то |
|
— оо |
|
|
— оо |
|
|
|
|
оо |
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
J f (t — т) g (0 d t - * |
с J |
/ (t) d t |
при |
| т | -> оо |
||
|
|
— оо |
|
|
— оо |
|
|
|
для любой функции f е |
I 1(/?). |
|
максимальный идеал, |
|||||
Алгебра, у которой |
есть |
только один |
||||||
называется примарной. Фактор-алгебра по примарному идеалу является примарной алгеброй. В алгебре Cr(0, 1) наименьший замкнутый примарный идеал /(/) (соответствующий максималь
ному идеалу, состоящему из функций, обращающихся |
в |
нуль |
в точке t) состоит из функций, имеющих нуль порядка |
г. |
Фак |
тор-алгебра Cr/J(t) конечномерна и изоморфна алгебре |
(с од |
|
ной образующей) полиномов степени ^ г (см. § 6, п. 1). |
|
|
Пусть А и В — регулярные алгебры функций с одним и тем же пространством максимальных идеалов X, причем А а В и А