Материал: Функциональный анализ

Принадлежность двух точек к одной и той же доле Глисона может быть охарактеризована в терминах представляющих мер (на границе Шилова): две эквивалентные точки обладают взаимно абсолютно непрерывными представляющими мерами (с ограниченными производными). В целом для всей доли Гли­ сона, вообще говоря, не существует системы взаимно абсолютно непрерывных представляющих мер, однако такая система мер

имеется, если ReA| r является подпространством конечной ко­ размерности в Ся(Г) — пространстве всех вещественных непре­ рывных функций на Г — границе Шилова.

Алгебры, для которых ReA| r плотно в CR(Г), называются алгебрами Дирихле. В случае алгебр Дирихле о долях Глисо­ на можно сказать гораздо больше, чем в общем случае. Если Р — доля Глисона в пространстве максимальных идеалов алгеб­ ры Дирихле, состоящая более нем из одной точки, то существует такое непрерывное взаимно однозначное отображение ф круга

жение ф, вообще говоря, не является гомеоморфизмом, если ис­ пользовать гельфандову топологию. Однако ф — гомеоморфизм, если Р рассматривать в метрикерл-

Аналогичный результат имеет место и при более слабых

свойством, что пространство вещественных ортогональных к ним мер на границе Шилова конечномерно. Конечно, в таком случае доли Глисона могут содержать особые точки (пример: пределы

каждого из условий: R(X) есть алгебра Дирихле на А, каждая точка из X есть точка пика, каждая доля Глисона одноточечна. Для произвольных алгебр с равномерной сходимостью одноточечность долей Глисона не ведет к совпадению с С(А),

Л и т е р а т у р а : [19], [205], [207], [229], [235].

4. Компактные расширения. Пусть X — некоторое вполне ре­ гулярное топологическое пространство. Алгебра С(Х) всех огра­ ниченных непрерывных функций на X является банаховой алгеб­ рой относительно sup-нормы. Каждая точка х ^ X порождает не­ который мультипликативный функционал, т. е. максимальный идеал в С(Х). Тем самым, X оказывается вложенным в ком­ пакт 391 — пространство максимальных идеалов исходной алгеб­ ры. Образ при этом вложении всюду плотен в 39i.

Пространства максимальных идеалов различных подалгебр рассмотренной алгебры С(Х) могут давать другие компактные расширения пространства X. Все такие замкнутые подалгебры характеризуются условиями симметричности и регулярности (см. § 2, п. 5).

В анализе встречаются компактные расширения и более об­ щего типа: для данного пространства X указывается взаимно однозначное и непрерывное отображение на всюду плотное под­

множество некоторого компакта X (обратное отображение не

обязательно непрерывно). Ясно, что X служит при этом про­ странством максимальных идеалов некоторой замкнутой подал­ гебры алгебры С(Х).

Вот один характерный пример. Пусть G — топологическая группа. Левой почти периодической функцией на G называется такая ограниченная непрерывная комплексная функция, семей­ ство левых сдвигов которой относительно компактно в равно­ мерной норме. Аналогично определяются правые почти периоди­ ческие функции. Впрочем, эти свойства эквивалентны, и поэто­ му можно просто говорить о почти периодических функциях. Совокупность всех почти периодических функций образует в равномерной норме коммутативную банахову алгебру с инво­ люцией, удовлетворяющей условию 4) § 2, п. 3. В силу приве­ денного там результата алгебра почти периодических функций изоморфна и изометрична алгебре С(9Й) всех непрерывных функций на компакте 391 ее максимальных идеалов. Уже из это­ го простого замечания можно извлечь некоторые содержатель­ ные следствия. Например, если почти, периодическая функция неотрицательна, то почти периодической будет и суперпозиция ее с любой функцией, непрерывной на замыкании множества значений исходной функции.

Оказывается, компакт 391 естественно наделяется структурой компактной группы и существует такое непрерывное гомоморф­

Если группа G коммутативна, то компактная группа G также коммутативна и допускает следующее простое описание. Труп­

логии. Группа G связана, если G — локально компактная связ< ная коммутативная группа.

Согласно классической теореме Г. Бора всякая почти перио­ дическая функция на вещественной оси, удовлетворяющая усло­ вию inf |f | > 0, допускает представление

f (х) = exp [i%x + h (*)],

где h — почти периодическая функция. В силу сказанного выше,

G — связная компактная группа и g »—> Tg — непрерывное пред­ ставление группы G в группу автоморфизмов коммутативной банаховой алгебры Л, наделенную сильной операторной тополо­

квазисобственный элемент. Если в алгебре А нет идемпотентов, т. е. ее пространство максимальных идеалов связно (см. § 2, п. 2), то в последнем утверждении k можно считать-собственным элементом (/(g) — характер группы G). Теорема ван Кампена получается, если положить А = C(G) и рассмотреть регулярное представление.

Ли т е р а т у р а : [19], [207], [208], [229].

5.Алгебраические уравнения в С(Х). В этом пункте предпо­

лагается, что X — связный метризуемый компакт (хотя для ча­ сти результатов то или иное из этих предположений не суще­

с коэффициентами и,-еС(Х ), где С(Х) — алгебра всех комп­ лексных непрерывных функций. Если интересоваться не отдель­ ным уравнением, а классами уравнений, то в первую очередь возникает вопрос об описании тех компактов, на которых раз­ решимо в непрерывных функциях в цело^ л ю б о е такое урав­ нение. В этом случае алгебру С(Х) называют алгебраически замкнутой. Если X есть отрезок вещественной оси, то любое уравнение указанного вида на X разрешимо. С другой стороны, если X — окружность или X — график функции s=sin(l/<), О < t sg: 1, дополненный предельным отрезком, то на X, вообще

говоря, не разрешимы даже квадратные уравнения. Отсюда сле­ дует, что компакт, для которого алгебра всех непрерывных функ­ ций алгебраически замкнута, не может содержать ни подмно­ жеств, гомеоморфных окружности, ни подмножеств, гомеоморфных указанному графику, дополненному отрезком. Вместе с тем, два указанных компакта содержат по существу всю информацию о возможных препятствиях к разрешимости уравнений.

Компакт X называется уникогерентным, если его нельзя представить в виде объединения двух связных замкнутых мно­ жеств, пересечение которых несвязно. Компакт X называется

наследственно уникогерентным, если всякое его замкнутое под­ множество уникогерентно.

Алгебра С(Х) тогда и только тогда алгебраически замкнута, когда X локально связен и наследственно уникогерентен. В рас­

уравнение с числовыми коэффициентами имеет простые корни. Класс таких уравнений степени п здесь обозначен через Ш,п (Х). Под разрешимостью по­ нимается для простоты полная разрешимость — наличие п различных реше­ ний (т. е. возможность разложения левой части уравнения на линейные мно­ жители) .

несколько случаев.

Пусть сперва X — конечный полиэдр. В этом случае условие на Hl(X,Z)f

с я,- равным 3 и 4, но, вообще говоря, может существовать уравнение 5-й степени, не имеющее ни одного непрерывного решения. Полная разрешимость

Известно, что группа В(п) не имеет элементов конечного порядка, и отсюда

степени это не так.

Вместе с тем, указанное условие делимости равносильно полной разре­ шимости для тех компактов, которые аппроксимируются обратным спектром

370 ГЛ. VII. КОММУТАТИВНЫЕ БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ

связных конечных полиэдров с коммутативными (или конечными) фундамен­ тальными группами. В частности, это имеет место для многих однородных пространств, и в том числе для связных компактных групп.

В последнем случае условие делимости в группе одномерных когомологий эквивалентно аналогичному условию в группе одномерных характеров, по­ скольку эти группы изоморфны (§ 2, п. 2, § 3, п. 4). Имея в виду этот факт и результаты предыдущего пункта, можно судить о разрешимости в почти периодических функциях алгебраических уравнений с почти периодическими коэффициентами.

При помощи соображений § 2, п. 2 приведенные здесь результаты отно­ сительно разрешимости распространяются на' уравнение с коэффициентами из произвольной банаховой алгебры: если индуцированное при помощи гельфандова гомоморфизма уравнение в непрерывных функциях обладает «простым корнем» в классе непрерывных функций, то это непрерывное реше­ ние порождается некоторым решением исходного уравнения, принадлежащим алгебре.

Л и т е р а т у р а : [19], [207], [209], [221], [229], [234].

§4. Максимальные подалгебры

1.Постановка задачи, примеры. Пусть В — коммутативная банахова алгебра с единицей и А — некоторая ее замкнутая подалгебра. Алгебра А называется максимальной подалгеброй

алгебры В, если В не содержит никакой замкнутой собственной подалгебры, содержащей А и не совпадающей с А.

Всякая достаточно широкая алгебра В содержит максималь- ^ные подалгебры с единицей и даже такие замкнутые подалгеб-

'ры А, что dim В/А = 1. Действительно, пусть cpi, ф2 — два раз­ личных гомоморфизма алгебры В в поле комплексных чисел и ф = фА— ф2. Тогда ядро функционала ф представляет собой замкнутую подалгебру алгебры В коразмерности 1. Аналогично* ядро «точечного дифференцирования», т. е. такого функционала

ф, что Ф (fg) = Ф (f) Ф (g) + Ф(&)ф(Л> где Ф — некоторый мульти­ пликативный функционал, есть подалгебра коразмерности К В комплексном случае этим исчерпываются всевозможные под­ алгебры коразмерности 1. В частности, всякая такая подалгебра алгебры С(Х) не разделяет точки компакта X, так как на С(Х) нет никаких (даже разрывных) дифференцирований. Близ­ кое описание допускают вообще все подалгебры конечной ко­ размерности.

Первая нетривиальная теорема о максимальности подалгебры бесконечной коразмерности утверждала, что алгебра А тех не­ прерывных функций на единичной окружности Г = {А,||Х| = 1}> которые допускают аналитическое распространение в единичный круг, является максимальной подалгеброй алгебры С(Г) (Дж. Вермер) . Эта теорема может рассматриваться как обобщение классической теоремы Вейерштрасса, которая с функциональноалгебраической точки зрения означает, что замкнутая подалгебра