Материал: Функциональный анализ

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

	§ 3. АЛГЕБРЫ С РАВНОМЕРНОЙ СХОДИМОСТЬЮ		361
плотно в В. Пусть } и / ' — наименьшие		замкнутые	примарные
идеалы	в этих алгебрах, отвечающие	фиксированной точке
Хо^ Х.	Тогда фактор-алгебра A/J допускает естественный гомо

морфизм в фактор-алгебру B/J'. Если при этом фактор-алгебра Л/)' конечномерна, то фактор-алгебра B/J' конечномерна как гомоморфный образ A/J и имеет размерность не выше размер ности Л//'.

Например, если алгебра функций на отрезке (или на окруж ности) содержит все бесконечно дифференцируемые функции в качестве всюду плотного множества, то она автоматически содержит Сг для некоторого конечного г, и фактор-алгебра по любому наименьшему замкнутому примарному идеалу в ней конечномерна.

Любому замкнутому идеалу / cz А отвечает замкнутое мно жество F c X , на котором все функции из / обращаются в нуль. Если в случае регулярной алгебры зафиксировать замкнутое множество F и рассмотреть совокупность всех идеалов, которым

отвечает	это множество, то среди них		найдется	наименьший
J(F)\ он	состоит из функций,	которые	являются	пределами
(в смысле сходимости по норме)		функций из Л, обращающихся

в нуль в некоторой окрестности множества F. Этот факт в ряде случаев позволяет описывать всевозможные замкнутые идеалы.

Так, в С(Х) каждый замкнутый идеал есть пересечение мак симальных, в Сг{0, 1) каждый замкнутый идеал есть пересечение примардных идеалов. Впрочем, задача описания всех замкнутых идеалов еще далека от своего окончательного решения даже

вслучае сравнительно простых регулярных алгебр. Например, до сих пор не известно, как устроены замкнутые идеалы в ал гебре абсолютно сходящихся рядов Фурье. Оказывается, даже

вэтом случае одно и то же замкнутое множество может отве чать бесконечному числу различных вложенных друг в друга замкнутых идеалов (см. § 5, п. 6).

Можно зафиксировать замкнутое множество F cz X и рас

смотреть замкнутый идеал 1(F), содержащий все функции Л, равные нулю на F. Если F не связно, то фактор-алгебра Ajl(F) обладает нетривиальными идемпотентами, т. е. такими элемента

ми /?, что р2 = р. Если для		всякого F	существует такая кон
станта c(F), что llpll ^	c(F)	для всех идемпотентов р &A/ I(F)t
то Л совпадает с С(Х).
Л и т е р а т у р а : [11],	[23], [38], [44], [203],		[204], [222], [244], [249].

§ 3. Алгебры с равномерной сходимостью

Всюду в этом параграфе под алгеброй с равномерной сходимостью понимается замкнутая подалгебра алгебры С(Х), где X — некоторый компакт (не обязательно пространство

362 ГЛ. VII. КОММУТАТИВНЫЕ БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ

максимальных идеалов). Исключение будет сделано только в одном из последних пунктов. Кроме того, там, где не оговорено противное, предполагается, что рассматриваемая алгебра раз деляет точки компакта X, т. е. что для любых двух различных точек хи х2е X существует такая функция / из алгебры, для

которой f(x{) Ф f(x2).		свойства. Алгебра
1.	Симметрия, антисимметрия и близкие
с равномерной сходимостью называется симметричной,			если
вместе с функцией f(x) к ней принадлежит и		функция	f(x).

В силу упомянутой выше теоремы Стона — Вейерштрасса вся кая симметричная алгебра с равномерной сходимостью совпа дает с С(Х).

Полярным к симметрии служит свойство алгебры быть ан тисимметричной. Алгебра А называется антисимметричной, если из условия f е Л следует / ф А , кроме того случая, когда / сво дится к константе. Антисимметричными являются алгебры ана литических функций и некоторые другие. Следует заметить, что из аналитичности на А в смысле § 2 п. 3 для алгебр с равно мерной сходимостью вытекает антисимметричность, но не обрат но. В точности промежуточным свойством является свойство быть областью целостности (отсутствие нетривиальных делите лей нуля). Для максимальных (определение см. в § 4) подал^ гебр алгебры С(Х) эти три свойства эквивалентны.

Подмножество S cz X называется множеством антисиммет рии (относительно алгебры Л), если любая функция f е 4 , ве щественная на S, постоянна на этом множестве. Согласно этому определению алгебра А антисимметрична, если все X является множеством антисимметрии. Замыкание множества антисиммет рии есть снова множество антисимметрии и объединение двух пересекающихся множеств антисимметрии также есть множество антисимметрии. Поэтому X разбивается в объединение непересекающихся замкнутых максимальных множеств антисимметрии. Сужение А \ Y алгебры А на максимальное множество антисим метрии Y является замкнутой (антисимметричной) подалгеброй алгебры С(У). Если X есть пространство максимальных идеа лов алгебры Л, то максимальные множества антисимметрии связны.

Возможен следующий «конструктивный» метод получения максимальных множеств антисимметрии. Пусть Л0 — максималь ная симметричная подалгебра в Л. Подалгебра Л0, вообще го воря, уже не разделяет точки компакта X, в результате чего X разбивается на непересекающиеся замкнутые классы эквива лентности. Сужение алгебры Л на каждый такой класс К есть замкнутая подалгебра в С(К), и можно снова применить ту же процедуру выделения максимальной симметричной подалгебры. Продолжая дальше этот процесс (возможно, по трансфинитам),

§ 3. АЛГЕБРЫ С РАВНОМЕРНОЙ СХОДИМОСТЬЮ	363
получают предельные классы, которые в точности	совпадают

с максимальными множествами антисимметрии. Процесс выделе ния последовательных классов может не стабилизироваться ни на каком конечном шаге.

Если рассмотреть множество N всех функционалов из еди ничного шара сопряженного к С(Х) пространства, ортогональ ных к алгебре Л, то оно окажется выпуклым и компактным в слабой топологии. Поэтому оно обладает порождающим его множеством крайних точек No (см. гл. I, § 4, п. 4). Оказывает ся, что минимальный носитель меры, соответствующей точке из No, является множеством антисимметрии и, следовательно, со держится в одном из максимальных множеств антисимметрии. Использование этого факта приводит к важному утверждению:

если непрерывная функция такова, что на каждом максималь ном множестве антисимметрии она совпадает с некоторой функ цией из алгебры Л, то и сама эта функция принадлежит к А.

Эта теорема является обобщением теоремы Стона — Вейерштрасса, так как в случае симметричной алгебры максимальные множества антисимметрии одноточечны.

Сказанное выше позволяет в принципе свести изучение про извольных алгебр с равномерной сходимостью к изучению ан тисимметричных алгебр такого типа. Более того, минимальные носители мер, отвечающих функционалам из No, являются мно

жествами слабой аналитичности: если		функция		[ е Л такова,
что \|f(x)\|sg: 1 на таком	множестве и	f(x) =	1	на некотором
его непустом открытом	подмножестве,	то во	всех точках мно

жества f(x) = 1. В ряде вопросов это обстоятельство позволяет ограничиться рассмотрением слабо аналитических алгебр (т. е. таких, в которых невозможно одновременное нарушение прин ципа максимума и теоремы единственности).

Вместе с тем, изучение произвольных алгебр с равномерной сходимостью, по-видимому, ни в каком разумном смысле не мо жет быть сведено к аналитическим алгебрам: имеется пример

алгебры типа R(X) (см. пример 2,	п. 3 § 1), не	совпадающей
с С(Х), но обладающей свойством регулярности.		при описании
Трудные аналитические задачи	возникают	при описании

идеалов в подалгебрах голоморфных функций с равномерной сходимостью. Описаны все замкнутые идеалы алгебры аналити ческих функций в круге \Х\ ^ 1, непрерывных вплоть до границы

Для1-алгебры В равномерно ограниченных голоморфных в от крытом единичном круге | Я | < 1 функций пространство макси мальных идеалов содержит в себе круг как плотное подмноже ство ( п р о б л е м а короны) . Не известно, верно ли аналогич ное утверждение для алгебр функций в полицилиндре (шаре).

Л и т е р а т у р а : [19], [199], [201], [207], 1229], [232], [236], [237], [240], [243].

364ГЛ. VII. КОММУТАТИВНЫЕ БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ

2.Некоторые характеристические* свойства алгебры С ( Х ) ~

Здесь перечисляется несколько теорем, в большинстве из кото рых утверждается, что некоторая алгебра с равномерной сходи мостью совпадает с С(Х). Посылками в этих теоремах служат

тривиально проверяемые свойства алгебры всех непрерывных функций. Известные доказательства этих утверждений сущест венно опираются на указанную в предыдущем пункте возмож ность свести дело к антисимметричному случаю.

Пусть А — алгебра с равномерной сходимостью на компак те X. Через Re Л мы будем обозначать вещественное простран

ство функций вида Ref, где f e			А.		то	А = С(Х).	Если		Re Л.
Если	Re Л является	кольцом,
замкнуто в С(Х), то А =		С(Х).			подмножество		в	X.	Тогда
Пусть	Y — некоторое замкнутое
сужение	ReЛ\|У является замкнутым					(вещественным)		подпро
странством пространства		С(У)	в том и только том случае, если
A\ Y = C(Y). Следствие: если			X	метризуем, и I с= Л — некото
рый замкнутый идеал, то А +			/*	(где звездочка означает					комп

лексное сопряжение) в том и только том случае замкнуто, когда

/* = /.

Через С+(Х) обозначается совокупность всех (строго) поло жительных непрерывных функций на X, и пусть \Е(А)\ — мно


жество функций вида \|f\|, где / е £ ( Л )		(Е(А) — группа обрати
мых элементов	алгебры Л). Оказывается, если			X	метризуем и
если \Е(А) \| =	С+(Х), то А = С(Х).	Предположение о метри
зуемости компакта X здесь существенно.
Результаты такого сорта допускают одно существенное пря
мое усиление. В частности, если Л — любая				(не	обязательно
с равномерной	сходимостью) банахова		алгебра		непрерывных
функций на компакте X и если Re Л замкнуто				по	равномерной
сходимости на	X, то Л = С(АГ). Отсюда		сразу	следует, напри

мер, «трудная» теорема Вика: если замкнутое множество на ок ружности таково, что любая непрерывная функция на нем про должается до функции с абсолютно сходящимся рядом Фурье, то любая непрерывная функция продолжается с неё и до функ

ции с абсолютно сходящимся рядом Тейлора.	в алгебре А
Пусть X — локально связный компакт и пусть	в алгебре А
для любого ^ е Л разрешимо уравнение f2 = g.	Тогда	А =
= С(Х). Представляющееся несколько стеснительным в		этой

теореме условие локальной связности существенно в следую

щем смысле:	если, например, X — метризуемый	связный	ком
пакт и в С(Х)	разрешимо любое уравнение вида	f2 = g,	то X

локально связан. Из приведенного выше предложения, в част ности, вытекает, что на любой простой жордановой дуге в С2 либо множество значений всякой голоморфной функции содер

§ 3. АЛГЕБРЫ С РАВНОМЕРНОЙ СХОДИМОСТЬЮ

365

жит внутренние точки, либо голоморфные функции плотны в ал гебре всех непрерывных функций.

Л и т е р а т у р а : [19], [207], [221], [228], [229], [239].

3. Эквивалентность Глисона. Если А — алгебра с равномер ной сходимостью на компакте X, то X можно рассматривать как порцию пространства максимальных идеалов. Поэтому, на ряду с гельфандовой топологией, на X наводится метрика, ин дуцированная вложением в сопряженное пространство. Расстоя ние в смысле этой метрики между точками xiy х2 обозначается

через рл(*ь	х2)• Ясно,	что всегда	рА (хи х2) ^ 2 .	Отношение
Ра (ь 2 ) < 2	является	отношением	эквивалентности,	и классы

эквивалентности называются долями Глисона. Ценность этого понятия видна уже на следующем простейшем примере. Пусть

X — круг \|А\|<1 1 и А — замкнутая			подалгебра	в С(Х),	состоя
щая из	аналитических при	\|А,\|<1	функций.	В этом	случае
метрика	рА тесно связана с	неевклидовой, а		долями	Глисона

служат внутренность круга и одноточечные множества на гра нице. Этот и подобные примеры наводили на мысль, что доли Глисона всегда обладают какой-то внутренней аналитической структурой. В некоторых случаях это предположение оправда лось (см. ниже). С другой стороны, оказалось, что всякое а-ком- пактное вполне регулярное (эти условия необходимы) про странство гомеоморфно доле Глисона пространства максималь ных идеалов некоторой алгебры, причем сужение алгебры на эту долю содержит всякую ограниченную непрерывную функцию.

Говоря о долях Глисона, разумно предполагать, что X совпа

дает с пространством максимальных идеалов.						обозначается
Для	любого	множества	F cz X через		dA(F)
диаметр F в смысле метрики рА, т. е.				sup	рА(х{у х2).
Если	F есть	множество	пика или	xit X2&F		таких мно
				пересечение

жеств, то сужение A\F является замкнутой подалгеброй алгеб ры C(F)y причем F совпадает с пространством максимальных идеалов алгебры A\Fy если X совпадает с пространством мак симальных идеалов алгебры А. Для любых двух точек xiy х2у принадлежащих такому множеству Fy имеет место равенство РА|И*ь*г) = Р а (*ь *2). Поэтому dA\F{F) = dA{F) и, следова тельно, dA (F) = 0 или 2. В частности, последнее выполняется для максимальных множеств антисимметрии и для общих ли ний уровня вещественных функций из А.

Теперь можно привести обобщение одной из теорем, сформу лированных в предыдущем пункте. Пусть Аи А2— две алгебры с равномерной сходимостью на „Ху причем Ai с= А2. Для того чтобы выполнялось включение Re/lic=Re/l2, необходимо и до статочно существование такого неотрицательного числа с < 2,

Источник: https://studfile.net/preview/19992813/

Смотрите также: