Материал: Функциональный анализ

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

376 ГЛ. VII. КОММУТАТИВНЫЕ БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ

Групповая	алгебра	дискретной		группы		обладает	единицей.
Единицей служит функция
	е	1,	если		g = 0;
		О,	если		g	0.

Алгебра L*(G) недискретной непрерывной группы							не содер
жит единицы	(так как	функция		e(g)	в	L4(G) эквивалентна
нулю). Поэтому групповой алгеброй в этом случае							называют

алгебру V(G), получаемую путем формального присоединения единицы к алгебре L*(G). Формально присоединенную единицу можно трактовать как б-функцию на группе G.

Частным случаем групповой алгебры является алгебра, со ответствующая группа R1 всех вещественных чисел.

В групповых алгебрах можно ввести инволюцию. По опреде лению x*(g) = x ( — g) и е* = е для единицы алгебры.

Оказывается, что групповые алгебры не имеют радикала, т. е. радикал их состоит лишь из нулевого элемента. Таким об разом, групповая алгебра изоморфна алгебре функций на про странстве Ш максимальных идеалов.

Л и т е р а т у р а: [212], [213], [217], [238], [242], [246].

2. Характеры дискретной группы и максимальные идеалы групповой алгебры. Характером дискретной группы называется функция x(g) =И=0, обладающая свойствами:

X(ff + A) = x(g)3C(*) и x*(g) = x ( — g) = %{g).

Из определения следует, что |х(&)1= 1- Тривиальным ха рактером является функция х(£) 355 1- Говорят, что группа

имеет достаточное множество характеров, если для каждого не нулевого g o ^ G найдется характер %о такой, что xo(go) ф 1.

По характеру группы можно построить мультипликативный функционал на групповой алгебре. Если группа дискретна, то мультипликативный функционал строится по формуле

ф (*) = 2 * ( £ ) х(£)-

Оказывается, что этим исчерпываются все мультипликатив ные функционалы групповой алгебры. Таким образом, между мультипликативными функционалами и характерами, а следо вательно, и между максимальными идеалами и характерами, устанавливается взаимно однозначное соответствие. Максималь ный идеал М состоит из всех функций, ортогональных некото рому характеру

2 * (g )x (g )= o *

§ 5. ГРУППОВЫЕ АЛГЕБРЫ. ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

377

Характер восстанавливается по мультипликативному функциона лу по формуле х (g0) = <p (ego), где

= е0(£ -£ о ) = {	при	g = g0,
= е0(£ -£ о ) = {	I при	g ф go-

Пространство Ш максимальных идеалов есть компакт в сла бой топологии, поэтому и пространство X характеров группы бу дет компактом в соответствующей топологии. Эта топология оп ределяется с помощью фундаментальной системы окрестностей элементов %<ь

U = (%0> Х\, •••> ХПУе)>

где {хи . . . , хп) — произвольный				конечный		набор	элементов
групповой	алгебры	и е >	0.	Характер		% принадлежит
U(%о, хи .. . ,	е), если
IS** (я) h (g) — %о (g))			< е,		k = \,	2,
I е
Указанная	топология	совпадает		с	топологией,		введенной

Л. С. Понтрягиным с помощью фундаментальной системы окре

стностей U(%0-,'F,e), состоящих из характеров %, для			которых
	l x( g) ~ Xo(g)l<e
при g e f ,	и F пробегает любые конечные	подмножества груп
пы G.		вводится операция
В множестве характеров % естественно		вводится операция
умножения:	произведение Xi (fiT)Х2 (в*) двух	характеров	группы

будет снова характером группы. Операция умножения непрерыв на в топологии пространства X.

Итак, пространство характеров дискретной группы является компактной топологической коммутативной группой.

Простейшим примером дискретной группы является группа • Z целых чисел. Групповая алгебра состоит из последовательно стей х = {сш} с законом умножения

+ оо

{ху у)т= 2 ^т'^т—т'

т'——оо

и нормой

и* и = S i c w i.

Эта алгебра изоморфна и изометрична винеровской алгебре абсолютно сходящихся рядов Фурье (см. пример 6, § 1, п. 1). Характерами группы будут функции eim®. При -б, отличаю щихся на целое кратное 2я, характеры совпадают, поэтому мож но считать, что 0<-®4i2n, и изображать характеры точками

378	ГЛ. VII. КОММУТАТИВНЫЕ БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ

единичной окружности: группой характеров группы целых чисел является единичная окружность.

Мультипликативные функционалы строятся по формуле

оо

ф(*) = 2 Cme lm9

—оо

и совпадают, как это отмечалось выше, со значениями функции винеровской алгебры в точке Ф.

Л и т е р а т у р а : [212], [213], [217], [238], [242], [246].

3. Компактные группы. Принцип двойственности. На компакт ной группе G существует инвариантный интеграл, поэтому для нее можно построить групповую алгебру V(G). Элементы этой


алгебры имеют вид %e-\-x(g),	где е — формально присоединен
ная единица, a xfgj' EL^G) .	В	алгебре	V(G)		имеется	три
виальный максимальный идеал		М«, = L*(G)		и	соответствую
щий ему мультипликативный функционал			фоо(А,е +		*) = К.	дис
Характеры группы определяются так же,				как	и для

кретной группы с дополнительным требованием непрерывности. Характер определяет мультипликативный функционал (макси мальный идеал) по формуле

<р(Яе + *) = А'+ J x(g)%(g)dg.

Оказывается, что это построение дает возможность получить все нетривиальные максимальные идеалы. Пространство макси мальных идеалов после отбрасывания одной точки Моо стано вится дискретным множеством. Таким образом, группа харак теров компактной группы является дискретной группой.

Компактная группа имеет достаточное множество характе ров, образующих на группе полную ортогональную систему функций.

Если для группы характеров X построить ее группу характе ров G', то эта группа будет компактной; G' изоморфно исход ной группе G. Изоморфизм задается равенством

зсМ = ф*(%).

где ер* — элемент группы G Топология в группе характеров G' совпадает с топологией исходной группы. Таким образом, группы G и G' можно отождествлять.

Если рассмотреть дискретную группу G, ее группу характе ров X и группу характеров G' группы X, то группы G и G' так же изоморфны. Последние утверждения составляют содержание п р и н ц и п а д в о й с т в е н н о с т и Л. С. П о н т р я г и н а.

Л и т е р а т у р а : [212], [213], [217], [238], [242], [246].

4. Локально компактные группы. Группа G называется ло кально компактной, если у нее существует компактная окрест

§ 5. ГРУППОВЫЕ АЛГЕБРЫ. ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

ность нуля. На локально компактной группе также существует инвариантный интеграл. Элементы группового кольца V(G) имеют такой же вид, как и в случае компактной группы.

Пространство максимальных идеалов после изъятия из него тривиального идеала М» = L*(G) перестает быть компактным. Таким образом, группа характеров локально компактной группы сама является локально компактной группой.

Локально компактная группа имеет достаточное множество характеров, для нее также справедлив принцип двойственности Л. С. Понтрягина.

Отличие от случая компактной группы состоит еще в том, что характеры не принадлежат алгебре L*(G) и их следует рас сматривать как элементы сопряженного пространства.

Простейшим примером локально компактной группы являет ся группа R1 всех вещественных чисел. Групповой алгеброй яв ляется алгебра !/(/?*). Характерами группы являются функции еш при любом вещественном s. Группа характеров также яв ляется группой вещественных чисел. Представление элемента групповой алгебры в виде функции на пространстве максималь ных идеалов

оо

к(Ms) — J х (t) еш dt

—оо

соответствует переходу от функции из L^/?1) к ее преобразова нию Фурье.

Аналог преобразования Фурье можно строить и на любой ло кально компактной группе с помощью ее характеров.

Л и т е р а т у р а : [212], [213], [217], [238], [242], [246].

5. Преобразование Фурье. Преобразованием Фурье назы вается переход от функции на группе G к функции на ее груп пе характеров X по формуле

Тх(х) =	J x(g)x(g)dg.
	Q
Имеет место т е о р е м а	е д и н с т в е н н о с т и : если преоб

разования Фурье двух функций совпадают, то сами функции совпадают почти при всех g е G.

Оператор Г, рассматриваемый на пересечении пространств L*(G) и L2(G), допускает замыкание до оператора, изометри чески отображающего пространство L2(G) на пространство L2(X). Обратный оператор на Ь*(Х)[\Ь2(Х) задается формулой

T ' lf ( g) = lf(x)x(g)d%. X

380	ГЛ. VII. КОММУТАТИВНЫЕ БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ

Важный класс функций на группе G образуют положитель но определенные функции, т. е. такие функции ф(£), что для любого конечного набора элементов git ..., gn группы G и лю бых комплексных чисел gi, . . . , gn выполнено неравенство

пп

2 h * ( g k - g i ) h l i > о . k=\ l=\

По каждой положительно определенной функции на группе можно построить линейный положительный функционал на груп

повой алгебре по формуле
Д\|,(Хе + X) = Я-ф (0)+ J X (g) гр (— g) dg.
X
Каждый положительный функционал f на V(G)			представим
в виде	(Хе +	*)>
f (ke + х) = Ар +	(Хе +	*)>
где ф — однозначно определяемая	по функционалу		/ положи
тельно определенная функция на G, а р ^		0.

Из теоремы о представлении положительного функционала (§ 2, п. 4) следует теорема о представлении положительно оп ределенной функции на группе:

непрерывная функция на коммутативной локально компакт ной группе положительно определена тогда и только тогда, когда она является преобразованием Фурье неотрицательной меры (оп ределяемой по ф однозначно) на группе характеров:

Ф ig) =■- j X(g) ЛФ(х). X

Л и т е р а т у р а : [212], [213], [217], [238], [242], 1246].

6. Спектральный синтез. Эндоморфизмы групповых алгебр.

Говорят, что в полупростой алгебре разрешима проблема спектрального синтеза, если всякий замкнутый идеал в этой ал гебре есть пересечение максимальных идеалов. Например, так обстоит дело в алгебрах С(Х) всех непрерывных функций на компактах. По отношению к групповым алгебрам локально компактных абелевых групп проблема спектрального синтеза приводит к нетривиальным аналитическим задачам. Первый пример неразрешимости проблемы спектрального синтеза в этой ситуации относился к алгебре К(/?3).

В некотором смысле полное решение вопроса дается сле дующей теоремой: проблема спектрального синтеза в группо вой алгебре V(G) локально компактной абелевой группы О тогда и только тогда разрешима, когда группа G компактна (другими словами, когда группа характеров дискретна).

Источник: https://studfile.net/preview/19992813/

Смотрите также: