Материал: Функциональный анализ

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

386	ГЛ. VIII. ОПЕРАТОРЫ В ПРОСТРАНСТВАХ С КОНУСОМ

Конус К линейной системы Е называется воспроизводящим, если любой элемент х<=Е йредставим в виде разности двух эле ментов из конуса: х — Х\ —- х2 (хи х2 е К).

Конус неотрицательных функций пространства С[О, 1]— вос производящий: каждую функцию x(t) е С[0, 1] можно предста вить в виде разности неотрицательных функций x+(t), x~(t):

х (0 = х+ (t) — X- (/),

где

( x(t)t

если х (/)^ 0 ,

\0, если х(*)<0,

Г 0,	если	х (t) ^ О,
1 — х (0,	если	х (t) < 0.

Все конусы, рассмотренные в примерах 1—3, являются вос производящими. Не каждый конус обладает свойством воспро изводимости. Так, например, конус неотрицательных неубываю щих функций (пример 4) в пространстве С[0, 1] не является воспроизводящим, так как в виде разности неубывающих функ ций могут быть представлены лишь функции ограниченной ва риации.

Ли т е р а т у р а : [268].

2.Полуупорядоченные пространства. Вещественная линейная система Е называется линейным полуупорядоченным простран ством, если для некоторых пар элементов х, у е £ определено соотношение х < у и если знак < обладает обычными свойства ми знака неравенства. Речь идет о следующих свойствах:

1)	из х<^у		вытекает, что tx <^ty			при / ^	О и ty<^tx		при
/ < 0 ,
2)	из х	и			вытекает, что х — у,
3)- из *i		yi и х2 <			У2 вытекает, что х{ + х2 ^ у\ + #2,
4)	из х < ^ у и у < ^ г				вытекает, что х	г.		говорят,
Соотношение			<	обычно называют		неравенством;
что х меньше или				равен у, если х<^у. Если х			0, то	говорят,
что х — положительный элемент. Следует отметить, что знак									^

устанавливает в пространстве вещественных чисел отношение полной упорядоченности в том смысле, что любые два числа мо

гут	быть	соединены	этим знаком	(либо а ^ £>, либо а ^	Ь)\
знак	^	в линейном	пространстве	этим свойством, вообще	го

воря, не обладает. Именно с этим обстоятельством связано про исхождение термина «полуупорядоченность».

Совокупность К всех элементов х полуупорядоченного про странства, удовлетворяющих соотношению х > 0 , образует ко нус в этом пространстве. Наоборот, если в линейной системе Е

§ 1. КОНУСЫ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

387

задан конус К, то в этой системе можно ввести полуупорядочен-

ность, полагая	уу если у — х ^ К .
Таким образом,	рассмотрение линейных полуупорядоченных

пространств эквивалентно рассмотрению линейных систем с ко нусом.

Если К — конус неотрицательных функций в пространстве С (или Lp), то соотношение полуупорядоченности приобретает простой смысл: х<^уу если x(t) ^ y ( t ) при всех (или почти всех) значениях t.

Ли т е р а т у р а : [28].

3./(-линеалы, миниэдральные конусы. Линейное полуупоря* доченное пространство называется К-линеалому если выпол няется следующее условие:

5)	для	любых двух элементов х, у ^ Е существует				такой
элемент z ^ E ,		что х <	г, у < г и г < £ для	всякого элемента		£,
обладающего		тем же	свойством: х < £ ,	Элемент г	назы
вается точной верхней границей или supremum’oM элементов х
и у и обозначается z = sup (х,у).
Из существования в /(-линеале supremum’a для любых эле
ментов	х, у вытекает		существование для	любой пары	(х, у)

infimum’a Этих элементов, т. е. такого элемента н, который об

ладает следующими свойствами: н < х , н < г/ и если и < х ,
и<г/, то	При этом пишут u = inf(x, у). Имеет место ра
венство: inf (хуу)	— (х + у) — sup (х,у).

Конус, образованный положительными элементами /(-линеа ла, называется миниэдральным. Если обозначить через Ки со

вокупность элементов	вида х + и	(х <= /(),	то миниэдральность
конуса означает, что	для любых	ху у ^ Е	может	быть указан
такой элемент г, что	Кх Л Ку =	Кг. При	этом	г = sup (х, у ) .


Каждый	элемент		/(-линеала		допускает' представление
х — х+ — х_,		где	x+ =	sup(x, 0),	x_ = sup(—х, 0). Элемент
\|х\| = х+ + X- называется модулем элемента х.
Конусы неотрицательных функций в пространствах С, Lp, М
миниэдральны.		Конусы		неотрицательных последовательностей

в пространствах /р, m, С также миниэдральны. Конус неотри цательных функций в пространстве С*[0, 1] непрерывно диффе ренцируемых функций свойством миниэдральности не обладает. Конус положительных операторов, действующих в гильбертовом пространстве, также не миниэдрален.

Ли т е р а т у р а : [28], [268].

4./(-пространства. Пусть М Е — некоторое подмножество полуупорядоченного пространства Е. Если все элементы из М

не превышают некоторый элемент z e £ (x < z при JceM ), то 2

388 ГЛ VIII. ОПЕРАТОРЫ В ПРОСТРАНСТВАХ С КОНУСОМ

называется верхней границей множества М, а само множество М называется ограниченным сверху. Верхняя граница множе ства .называется точной верхней границей М (пишется z = = supM), если для всякой другой верхней границы £ множе ства М выполняется соотношение Аналогично вводятся определения ограниченности снизу, нижней границы и точной нижней границы множества элементов из Е.

Если пространство Е является /(-линеалом, то существует точная верхняя граница у каждого конечного набора элементов.

/(-линеал Е называется К-пространством, если всякое его ограниченное сверху непустое подмножество имеет точную верх нюю грань.

В/(-пространстве всякое ограниченное снизу непустое мно жество элементов имеет точную нижнюю грань.

Конус положительных элементов /(-пространства иногда на зывают сильно миниэдральным.

Пространства Lp, М, /р, m являются /(-пространствами; /(-ли неалы С и с не являются /(-пространствами по отношению к ко нусу К соответственно неотрицательных функций и неотрица тельных последовательностей.

В/(-пространствах может быть введена сходимость по упо рядочению, которая называется (о)-сходимостью. Для удобства

ееописания к /(-пространству присоединяют два новых «несоб

ственных элемента» оо		и - о о , относительно которых считают,
что — о о < * < о о	для всех элементов х<=Е. Тогда для неогра
ниченного сверху множества М cz Е полагают sup М — оо,			а для
неограниченного	снизу	множества infAf = — оо. Кроме	того,

если-в число элементов множества М, кроме собственных эле ментов х ^ Е, входит оо, то считают sup М — оо, а если входит

—оо, то считают miM = —оо.

Пусть хп (п — 1, 2, . . . ) — произвольная последовательность элементов /(-пространства Е. Наибольшим и наименьшим пре делами этой последовательности называются элементы, опреде ляемые соотношениями

	lim хп =			inf [sup (xnf хп+{9 ...)],
	П - >	оо		П
	HE	Хп =		sup [inf (*„, xn+i, .. .)]•
	П - > о о			п
Эти	элементы могут		быть конечными, либо равными оо или
—оо.	Если lim хп =		lim хп, то последовательность хп назы-
	П - > о о		П - > о о

вается (о)-сходящейся, а общее значение ее наибольшего и наименьшего пределов называется (о)-пределом и обозначается

(о)- lim хп.

П - > ОО

§ 1. КОНУСЫ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ	389
Основным видом сходимости в /(-пространстве	является

(о) -сходимость; (о) -сходящиеся последовательности обладают рядом привычных свойств сходящихся последовательностей. На пример, если (o)-limxn = * и (o)-lim у п = у и оба предела ко нечны, то последовательность хп + уп является (о)-сходящейся, причем

(о)- П т (хп + уп) =	(о)-Ит хп + (о)- Пт уп.
П - > ОО	П - > оо

Для того чтобы (о)- \\т хп — х, необходимо				и достаточно,
	П - +о о			хп называется
чтобы (о)- lim [ хп— х \| == 0.		Последовательность
П - > оо
(о)-фундаментальной, если
(o)-lim	[	sup \xk — лгт \| ] = 0.
п - > о о	k ,	m ^ n
Важным свойством /(-пространства является свойство пол
ноты относительно (о)-сходимости. Для			того чтобы последова
тельность хп имела конечный (о)-предел, необходимо					и доста
точно, чтобы она была (о)-фундаментальна.					к эле
Последовательность	хп называется		(t)-сходящейся

менту х, если из любой ее подпоследовательности хПь можно

•выделить	частичную подпоследовательность		хп.	так,	что
{о)-lim хп.	= х.	Если последовательность	(о)-сходится,		то
k - + o o l k

она и (/)-сходится; обратное заключение в общем случае не верно.

В /(-пространствах М LP(о) -сходимость последовательности элементов xn(t) совпадает со сходимостью почти всюду при дополнительном условии, что все функции xn(t) ограничены в совокупности одной функцией из того же пространства, а

(/)-сходимость означает сходимость по мере при том же допол нительном условии. В /(-пространствах 1Р (1 < /? < о о ), m

(о)-сходимость последовательности хп равносильна тому, что последовательность хп покоординатно сходится и ограничена некоторым элементом пространства.

Ли т е р а т у р а : [28].

5. Конусы в банаховом пространстве. Если система £ являет ся банаховым пространством, то под конусом в банаховом про странстве Е понимается всякий конус линейной системы Е, яв ляющийся одновременно замкнутым множеством в простран стве Е.

Если конус К в банаховом пространстве Е является воспро изводящим, то существует константа М такая, что для каждого

390	ГЛ. VIII. ОПЕРАТОРЫ В ПРОСТРАНСТВАХ С КОНУСОМ
х е £	имеется представление х = Х\ — х2 (xiy	х2^ К ) , в	кото-
ром lUill <М \|\|\|\| и \|\|2\|\| < Af\|\|x\|\|.		является	телес
Частным случаем воспроизводящего конуса

ный конус. Конус называется телесным, если он содержит по крайней мере один внутренний элемент. Примером телесного конуса может служить конус неотрицательных функций про странства С[0, 1]. Внутренними элементами этого конуса являются функции с положительным минимумом. Конус из при мера 2 п. 1 и конус неотрицательных последовательностей про странства пг телесны. Конусы неотрицательных последователь

ностей пространства lv ( 1 ^ р < о о )	и неотрицательных функ
ций пространства Lp(0,1)	свойством телесности не

обладают. Таким образом, не каждый воспроизводящий конус телесен. В конечномерном пространстве каждый воспроизводя щий конус телесен.

Конус	К называется		нормальным, если существует такое
б > 0, что	для любых	eiy	е2^ К ,	\\ei\\'= \\е2\\ = 1 выполняется
неравенство \\в\ + е2\\ ^		б.		нормальны. Примером конуса,
Конусы в примерах		1—3 п. 1

не обладающего свойством нормальности, может служить конус неотрицательных функций в пространстве С4[0, 1] непрерывно дифференцируемых функций x(t).

Класс нормальных конусов является весьма важным. Если конус К нормален, то полуупорядоченность, установленная в Е этим конусом, обладает следующим свойством: в Е можно вве сти такую новую норму || ||i, эквивалентную первоначально за


данной	норме, что для любых х, у ^ Е			из соотношения —у<^
< * < * /	следует неравенство			Очевидно, что справед
ливо и	обратное утверждение. В силу			эквивалентности норм
II Hi и \|\| \|\| это свойство нормальности конуса					можно сформули
ровать в виде следующего критерия: конус					К	нормален тогда
и только тогда, когда из неравенства 0 ^ х ^ у						следует скаляр
ное неравенство		\|\|х\|\|	М\|\|*/\|\|, где М — постоянная.
Существует		еще	несколько критериев	нормальности конуса.

Один из них связан с понятием ^0-нормы. Пусть щ — некоторый фиксированный ненулевой элемент из конуса К. Элемент х ^ Е на зывают и0-измеримым, .если при некоторых неотрицательных tu t%

		—tiUQ<,X <^t2Uo.
Пусть	EU9— линейное множество всех Wo-измеримых элементов,
а(х ) — нижняя		грань чисел	Р(я)— нижняя	грань чисел t%
для х е	Ещ. Если положить для всех элементов х> у из Еи0
		\|\|x\|\|Uo = max{a(x), Р(х)},
то множество		£ Мо становится	нормированным	пространством*

а число || х ||и0называется и^нормой элемента х.

Источник: https://studfile.net/preview/19992813/

Смотрите также: