Материал: Функциональный анализ

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

$ 1. КОНУСЫ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

391

Для нормальности конуса К необходимо и достаточно, чтобы

выполнялось неравенство
11*11я <Л 1\|\|х\|\|ИвЧ\|Ио11я	щ<==К, и0Ф в)у

где постоянная М не зависит от х и и0.

Из последнего критерия следует, что нормальность конуса К обеспечивает полноту пространства EUo по и0-норме.

Банахово пространство Е с миниэдральным конусом К на зывается структурой, если норма в Е удовлетворяет следующему условию: из у < £ и |х| < |*/| вытекает, что ||х|| ^ \\у\\.

Ли т е р а т у р а : [33], [268].

6. Правильные конусы. Конус К называется правильным,

^сли порождаемая им полуупорядоченность обладает тем свой ством, что для любой последовательности хп (п = 1, 2, ...) из соотношений

Х \ ^ #2 ^

•

Х п < и

(п = 1, 2, ...),

где и — некоторый элемент пространства £, вытекает сходи мость последовательности хп по норме пространства Е. Иными •словами, конус К правилен, если сходится по норме каждая мо нотонная (по конусу) и ограниченная (также по конусу) после довательность элементов пространства.

Конус К а Е называется вполне правильным, если сходится по норме каждая монотонная (по конусу) и ограниченная по норме последовательность элементов.

Каждый вполне правильный конус правилен, а каждый пра вильный конус нормален. Примером вполне правильного конуса

может служить	конус неотрицательных	функций пространства
L p[0, 1] (1 ^ р <	оо) или конус неотрицательных последователь
ностей в пространстве lp (I ^ р <. оо).		Конус неотрицательных

последовательностей в пространстве с0 правилен, но не вполне •правилен. Конус неотрицательных последовательностей в про странстве m и конус неотрицательных функций в пространстве С[0, 1] свойством правильности не обладают. В пространствах Орлича конус неотрицательных функций вполне правилен, если М(и) удовлетворяет Д2-условию; в противном случае этот конус не обладает даже свойством правильности.

Правильный конус является вполне правильным при выпол нении одного из следующих условий: 1) конус К телесен; ‘2) пространство Е слабо секвенциально полно.

Функционал f(x) (не обязательно линейный) называется по ложительным, если f{x) ^ 0 при *<=/(; функционал f{x) назы вается строго положительным, если f(x) > 0 при х ^ К Ух ф в .

392 ГЛ. VIII. ОПЕРАТОРЫ В ПРОСТРАНСТВАХ С КОНУСОМ


Функционал	f(x)	называется		монотонным		относительно кону
са Ку если	соотношение		0 <*х<^у		влечет	неравенство	f(x) ^
< ;/(# ). Положительный			функционал f(x)			называется	строго
растущим, если для любых hn ^ K					{п — 1,2,	...) из \|\|ЛП\|\| ^ е >
> 0 (п = 1,2, ...)		вытекает, что
	l i m /(/?! +		Л2 +	• • • + Л я ) = о о .
	П-±оо

Если на конусе К может быть определен монотонный строго растущий функционал, то конус К правилен.

Если на конусе К может быть определен строго растущий и ограниченный на каждом шаре функционал f{x), то конус К вполне правилен.

Примером строго растущего на конусе неотрицательных функций пространства Lp[0, 1] и ограниченного на каждом шаре функционала является /7-я степень нормы элемента.

Справедлив следующий результат отрицательного характера: телесный миниэдральный конус в бесконечномерном простран стве не может быть правильным.

Ли т е р а т у р а : [28], [33].

7. Теоремы о реализации полуупорядоченных пространств.

Пусть К — нормальный конус сепарабельного банахова про

странства Е. Тогда существует взаимно однозначное линейное и непрерывное отображение пространства Е в подпространство пространства С[0, 1], при котором элементы из К и только они

переходят в неотрицательные функции.

Если Е не сепарабельно, то справедливо аналогичное утвер ждение с заменой С[0, 1] на пространство C(Q) непрерывных функций, заданных на некотором бикомпакте Q.

В случае, когда в банаховом пространстве Е имеется те лесный нормальный и миниэдральный конус К, существует ли нейное взаимно однозначное и непрерывное отображение про странства Е на все пространство C(Q), где Q — некоторый бикомпакт, при котором К переходит в множество KQ всех не отрицательных на Q функций.

Частным случаем последнего утверждения является следую щий результат: если К — миниэдральный телесный конус в п-мер-

ном пространстве, то существует такой базис				(еь е2,	. . . , еп)„
что множество	векторов х =	1{е{ +	\ъе 2 + . . .	+ \ пеп	с неот
рицательными	координатами	£г*^>0	(i = 1,2,	. . . , п)	совпа
дает с К.

Если в сепарабельном банаховом пространстве Е задан ми ниэдральный конус К и \\х + у\\ = ||*|| + \\у\\ при Ху у ^ К у то существует линейное взаимно однозначное и непрерывное ото бражение пространства Е на пространство L[0, 1], при котором

§ 2. ЛИНЕЙНЫЕ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ

393

К переходит в множество почти всюду неотрицательных функ ций из L[0, 1]. Если Е не сепарабельно, то L[0, 1] заменяется про странством L(Q) на некотором бикомпакте Q с мерой.

§2. Линейные положительные функционалы

1.Положительные функционалы. Наиболее важным классом положительных функционалов являются линейные положитель ные функционалы.

Если конус К в банаховом пространстве является воспроиз водящим, то каждый линейный положительный функционал не прерывен. В дальнейшем под линейным положительным функ ционалом понимается непрерывный функционал.

Для каждого нетривиального конуса существует ненулевой линейный положительный функционал. Более того, для каждого

хК, х Ф 0 можно указать такой положительный линейный

функционал f, что f(x) > 0 . Если пространство Е сепарабельно, то можно построить такой линейный непрерывный функционал / (х), что f (х) > 0 для всех х <= /( (х Ф 0). Для несепарабельных

пространств последнее утверждение не имеет места.			элемент, то
Если	конус	К телесен и и0— его внутренний	элемент, то
f{uo) > 0	для	каждого ненулевого положительного	функциона

ла /. Для элемента vo ^K , не являющегося внутренним элемен том телесного конуса /С, найдется по крайней мере один такой положительный функционал f (f ф 0), что f(v0) = 0.

На элементе, не принадлежащем конусу К, по крайней мере один из положительных функционалов принимает отрицатель ное значение. Таким образом, каждый конус К однозначно опи сывается множеством К' положительных линейных функциона лов, т. е.

К = {х*=Е: f ( x )> 0 (Vfe/C')}-

Множество К' положительных линейных функционалов вы пукло, замкнуто и' содержит вместе с каждым функционалом f

элементы tf для всех t ^ 0. Однако полугруппа К'	может не
быть конусом: из / е К' и / Ф 0 еще не следует, что	f е	К'.
Оказывается, что К' является конусом тогда и только		тогда,

когда замыкание в Е линейной оболочки 2? {К) конуса К совпа

дает с Е: 3?{К) — Е. В этом случае конус К называется почти воспроизводящим.

Множество К' называют сопряженной полугруппой (соответ ственно сопряженным конусом).

Исходя из общего вида линейного функционала в конкрет ных пространствах, как правило, нетрудно установить общий вид положительных линейных функционалов. Так, например, в случае конуса К неотрицательных функций пространства С(0, 1)

394 ГЛ. VIII. ОПЕРАТОРЫ В ПРОСТРАНСТВАХ С КОНУСОМ

полугруппа К' совпадает с множеством неубывающих функций в пространстве функций ограниченной вариации, в случае ко нуса К неотрицательных функций пространства Lp(0, 1)

( 1 < / 7 < о о ) конус К' совпадает	с множеством неотрицатель
ных функций пространства Lq(0, 1)	(q = р/{р — 1)).

Для того чтобы сопряженная полугруппа К' была воспроиз водящей, необходимо и достаточно, чтобы конус К был нормаль ным. Для того чтобы конус К был воспроизводящим, необходи мо недостаточно, чтобы конус К' был нормальным.

Если конус К миниэдрален, то конус К' миниэдрален и, бо лее того, сильно миниэдрален.

Ли т е р а т у р а : [33], [268].

2. Продолжение линейных положительных функционалов.

Пусть	Е — банахово	пространство,	а Е0<^:Е — некоторое		его*
подпространство, Ко		и К — конусы	соответственно в Ео	и	Е,
причем	Ко = К П Ео.	Пусть f — линейный непрерывный		функ

ционал, определенный на Ео, положительный относительно ко нуса Ко ( f ( x ) ^ 0 при хе/Со). Линейный непрерывный функ ционал F, определенный на £ и положительный относительно конуса К, называется положительным продолжением функцио

нала f	с подпространства Е0 на	пространство Е, если F(x) =
= f(x)	при х е Ео,	существует представление
Пусть для любого элемента
х = xt — Х2, где Xi е /Со, х2е К.		Тогда для всякого линейного

непрерывного положительного функционала f, определенного на Ео, существует положительное продолжение F на все простран ство Е. При этом все линейные положительные'продолжения F функционала / на пространство Е ограничены и

\\f\\<\\F\\<C\\f\\,

где С — постоянная.

Близкое утверждение можно сформулировать для про странств, являющихся /(-линеалами. Пусть Е0— линейное мно гообразие в /(-линеале Е, обладающее тем свойством, что для любого найдется такой элемент х' <^Е0, что |х| < х '. То гда каждый положительный линейный функционал, заданный на Ео, может быть продолжен до положительного линейного функ ционала, определецного на всем пространстве Е.

Пусть 9?j — подпространство нулей функционала f. Имеет место следующий критерий: для того чтобы линейный положи тельный функционал f, у которого Koqt&j, можно было бы продолжить с Ео на Е с сохранением линейности и положитель-

ности, необходимо и достаточно, чтобы К ® Е 0ф K@3?f-

Ли т е р а т у р а : [28], [250], [251], [252], [268].

§ 2. ЛИНЕЙНЫЕ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ

395

3. Равномерно положительные функционалы. Положитель ный линейный функционал называется равномерно положитель ным, если существует такое положительное число а, что

f(x)>a\\x\\

(х е К)*

В пространстве L{Q) суммируемых на некотором множе стве Q функций с конусом К неотрицательных функций равно мерно положительным будет функционал

f(x) = Jx(t) dt.

В пространствах LP(Q) при р > 1 и в пространстве С(й) нет равномерно положительных линейных функционалов на ко нусе К неотрицательных функций.

Если существует равномерно положительный функционал, то конус нормален и, более того, вполне правилен.

Для того чтобы существовал равномерно положительный функционал, необходимо и достаточно, чтобы конус К можно было заключить в другой конус К\ так, чтобы каждый ненуле вой элемент Хо е К содержался в К\ вместе со своей шаровой окрестностью радиуса q\\xoil, где число q не зависит от выбора

Хо е К.

Последним свойством всегда1обладает конус K(F), построен

ный по замкнутому ограниченному				выпуклому множеству		F,
не содержащему нуля, следующим				образом: K(F)	состоит	из
всех элементов х ^ Е , которые допускают представление х =						tz,
где t ^ О	и z ^ F .	Этим	же свойством обладает		конус K(v),
состоящий	из всех	таких	элементов х ^ К , которые удовлетво
ряют соотношению x^>\\x\\v\ здесь				v — фиксированный ненуле
вой элемент из К.

Ли т е р а т у р а : [269].

4.Ограниченные функционалы на конусе. Аддитивный и од нородный функционал f(x), определенный только на элементах конуса К банахова пространства Е, называется ограниченным, если

||/||+ =

sup

|/(дс)|<оо.

хеК, II х |=1

Если аддитивный и однородный функционал задан на вос производящем конусе и неотрицателен на Нем, то он ограничен.

Ограниченный аддитивный и однородный функционал, задан ный на воспроизводящем конусе, однозначно продолжается до линейного непрерывного функционала, заданного на всем про странстве Е, равенством /(*) = /(*i) —f(x2), где х = хх— х2 и хг е К. Если конус не является воспроизводящим, то при

Источник: https://studfile.net/preview/19992813/

Смотрите также: