Материал: Функциональный анализ

тшцы (число k определяется оператором Л); при этом каждая такая точка спектра является простым полюсом резольвенты Rh.

Л и т е р а т у р а : [33], [268], [270], [271], [278], [279].

4. Позитивные собственные числа. Собственное число Яо Ф

ф 0 положительного оператора А называется позитивным, если •ему соответствует хотя бы один собственный элемент е0 из ко­ нуса К. Этот элемент называется положительным собственным элементом оператора А. Позитивное собственное число очевидно положительно.

Позитивное собственное число обладает важным свойством:

если оператор А является щ-положителъным и ^-ограниченным в пространстве £, то позитивное собственное число простое и больше абсолютных величин остальных собственных чисел.

Это утверждение, вообще говоря, теряет силу, если опустить условие ^-положительности оператора Л, даже в случае нераз­ ложимого оператора. Если элемент и0 сам является собственным элементом оператора Л, то вместо Ho-положительности доста­ точно требовать ^-ограниченности Л в пространстве £.

ного числа полюсов конечной кратности. Пусть замыкание 9 (К) линейной оболочки 9 {К) конуса есть все пространство Е. Тогда число г(Л) является позитивным собственным значением как оператора Л, так и оператора А'. В частности, если линейный положительный вполне непрерывный оператор А имеет собствен­

ные числа, отличные от нуля и 9{К) = Е, то г(Л) является по­ зитивным собственным значением как оператора А, так и опе­ ратора А'.

Аналогично, если линейный положительный оператор Л пре­ образует каждое ограниченное по норме множество элементов конуса К в компактное множество и имеет положительный ча­ стичный спектральный радиус р(Л), то р(Л) — позитивное соб­ ственное значение оператора Л (при этом не обязательно, чтобы

выполнялось соотношение 9(К) = Е).

Практически удобно пользоваться следующим утверждением: пусть для линейного положительного вполне непрерывного опе­

Если конус К — нормальный, миниэдральный и воспроизводя­ щий, Л —линейный неразложимый оператор и число г(А) — по­ зитивное собственное значение операторов Л, Л7, то собственное

Предыдущие результаты получают дальнейшее развитие, если оператор А является ^-положительным.

Пусть линейный вполне непрерывный щ-ограниченный в про­ странстве Е оператор А щ-положителен. Тогда:

является простым и превосходит модуль всякого другого соб­ ственного числа оператора А.

Обратно, если вполне непрерывный и0-ограниченный в про­ странстве Е оператор A (AKczK) обладает свойствами 1), 2), 3), то он uo-положителен относительно К.

Условия сформулированого утверждения выполнены, если ко­ нус К телесен, а оператор А вполне непрерывен и сильно поло­ жителен. Предположение о полной непрерывности оператора А можно заменить условием: спектр оператора А на окружности |А| = г (А) состоит из конечного числа йолюсов конечной крат­ ности.

Теоремы существования позитивных собственных чисел мо­ жно проиллюстрировать на интегральном уравнении Фредгольма

ь

J K(t, s)<p(s) ds = k<f>(t)

а

то уравнение имеет положительное собственное число, не мень­ шее модуля всякого другого его собственного числа. Этому числу Ао отвечает по крайней мере одно неотрицательное решение (соб­ ственная функция) интегрального уравнения.

Если для всякой непрерывной неотрицательной функции q>{s),

не равной тождественно нулю, найдется такая итерация KN O, S)9 что

JьKN(ty s ) y ( s ) d s > 0

а

то уравнение Фредгольма имеет единственную положительную собственную функцию. Транспонированное уравнение

ь

J К {s, t) ф (s) ds = Аф (t)

а

имеет едйнственное положительное решение, отвечающее тому же положительному собственному числу КоСобственное число Хо больше модулей остальных собственных чисел интегрального

уравнения.

Пусть теперь в интегральном уравнении Фредгольма ядро K(t, s) — неотрицательная измеримая в квадрате а ^ t, $ ^ b функция, удовлетворяющая условию

тельной меры в соответствующем р-мерном кубе, то в этом слу­ чае интегральное уравнение имеет по крайней мере одно соб­ ственное число, причем среди наибольших по модулю собствен­ ных чисел имеется положительное. Последнему отвечает по край­ ней мере одна неотрицательная собственная функция из L2.

Если при этом для каждого е > 0 найдется такое натураль­ ное N — N(e)%что итерация KN (S, t) обращается в нуль на мно­ жестве точек меры не больше е, то интегральное уравнение имеет в Ц единственную неотрицательную собственную функ­ цию. Отвечающее ей собственное значение больше модулей остальных собственных значений ядра K{t, s).

Л и т е р а т у р а : [33], [253], [254], [268], [271].

5. Положительные операторы на миниэдральном конусе. Пусть К — миниэдральный конус, А — линейный положительный вполне непрерывный оператор, имеющий в конусе К собствен­ ный вектор v : Av = v. Пусть оператор А ^-ограничен в про­

странстве £, Ev = £, где Ev состоит из всех х е Е, на которых определена у-норма.

404 ГЛ. VIII. ОПЕРАТОРЫ В ПРОСТРАНСТВАХ С КОНУСОМ

Тогда собственные числа оператора Л, равные по модулю» единице, являются корнями целой степени из единицы. Множе­

дательными в том и только том случае, когда все коэффициенты C i неотрицательны.

В линейном многообразии М\ всех собственных и присоеди­ ненных элементов оператора Л, отвечающих всем собственным числам, равным по модулю единице, можно выбрать базис, так­ же обладающий свойством 3). Оператор Л допускает разложе­

Ai имеет спектральный радиус меньше единицы.

Предположение ^-ограниченности оператора Л и равенство

Ev = Е, очевидно, выполнены, если конус К телесен и v — внут­ ренний элемент К.

В конечномерном случае приведенные утверждения примени­ мы к так называемым стохастическим матрицам, т. е. к матрицам

получаются следующие утверждения:

а) Все собственные числа, по модулю равные единице, суть натуральные корни из единицы.

б) Множество собственных функций, отвечающих значению Я = 1, имеет базис, состоящий^ из неотрицательных функций

Пусть теперь неотрицательное и измеримое в квадрате а ^ 5 ^ 6 ядро K{t, s) обладает следующими свойствами:

1)функция K{ty s) ограничена почти всюду;

2)для некоторой почти всюду положительной функции ф(^):.

ъ

J K(t, s)q(s)ds = (p(t),

а

и для некоторого постоянного L > 0

ъ

J K(t, s)ds<L(p(0-

а

Тогда имеют место свойства а), в) предыдущего утвержде­ ния и более слабое, чем б), свойство:

Ли т е р а т у р а : [255], [259].

6.Оценка спектрального радиуса линейного положительного оператора. В п. 2 уже отмечалось, что для линейного положи­

спечивает (без дополнительных условий) оценку спектрального' радиуса г (А) сверху.

Для того чтобы из неравенства А'пи0^ Рн0,