Материал: Функциональный анализ

х ^ К, оператор At ^-ограничен снизу, причем AiUo%KoUo. Тогда каждое позитивное собственное значение К2 оператора А2 не меньше Ко. В частности, если оператор Ai и0-положителен, то вся­

Ai и А2— положительные операторы. Пусть операторы Ai и А Wo-положительны. Тогда имеет место неравенство

/-[(/ — Л , Г Ч ] < г 04).

Последнее неравенство показывает, что приближения

%п+\ == А \ Х п + \ -f- A^Xfi f (п = 0, 1, . . .)

сходятся к решению уравнения х = Ах + / быстрее, чем после­ довательные приближения yn+i = Ауп + f.

Это неравенство также имеет место, если оператор А нераз­ ложим, операторы А, (/ — А {)-’1А2 вполне непрерывны и A {u>Q для каждого квазивнутреннего элемента и конуса К.

Ли т е р а т у р а : [33], [275].

9.Неоднородное линейное уравнение. Пусть А — линейный

положительный оператор. Тогда неоднородное уравнение

нение не имеет решений в конусе. Аналогичное утверждение имеет место уже при г {А) ^ 1, если оператор А вполне непре­

AiX ESS Ах + / оставляет инвариантным конусный отрезок (wo, v0). Отсюда, в частности, вытекает, что единственное решение х* не­ однородного уравнения принадлежит (wo, t/о). Элементы Wo, v0 называются приближениями к х* соответственно по недостатку и по избытку. Исходя из инвариантного относительно преобразова­ ния А{х = Ах + f конусного отрезка, можно образовать новый более узкий инвариантный конусный отрезок {ut, Vi) с (w0, v0).

также инвариантен относительно оператора Аи т. е. для решения х* имеют место оценки и0< их< и\ < х* < v] < vx< v0. Исходя

из отрезка (и\, р*), можно получить аналогичным образом но­ вый инвариантный конусный отрезок (и*, v*2) и т. д.

Возникает задача о построении исходного инвариантного от­ носительно оператора А\ отрезка (н0, VQ). Пусть х0— произволь­ ный элемент из Е. Положим Х\ — Ах0+ /, = ATI — хо. Если для некоторых элементов v, w > 0 выполняются соотношения

быть получено методом последовательных приближений. После­ довательные приближения

ип+1 = Вхип — B2vn + f, vn+l — Bxvn — B2un + f

монотонно сходятся к решению х* соответственно «по недо­ статку» и «по избытку», т. е.

«п < «п+1 < ** < Vn+l < Vn (« = 0, 1, ...)•

ществует оператор Л"1, определенный на Е2 и действующий в Ей такой, что Л_1/С2 Ki.

Пусть конус К\ содержит квазивнутренние элементы, а опера­

причем оператор А положительно обратим. Пусть для некоторых квазивнутренних элементов а0, V\ е К\ и некоторого а > 0 вы­ полняется неравенство

Bv0^> аAvi.

Тогда оператор В положительно обратим, если выполнено одно

Можно привести и признаки обратимости «большего» опера­ тора Л, в предположении, что «меньший» оператор В положи­ тельно обратим. Пусть для некоторого элемента и0е Ki (но=И=0) и некоторого е > 0 выполняется неравенство

Ниже приводится еще одно утверждение о существовании положительного обратного оператора.

Пусть конус Ki — воспроизводящий и нормальный, а линей­ ные операторы А, В, С удовлетворяют соотношению

Сх<^.Вх<^Ах

причем операторы Л, С положительно обратимы, а оператор Л"1 (Л — С) вполне непрерывен. Тогда оператор В положительно обратим.

Для уравнения Ах = f с положительно обратимым операто­ ром сравнительно просто могут быть указаны приближения к ре­ шению х* по недостатку и по избытку и оценена близость этих приближений к решению. Этим, в основном, определяется та роль, которую играют положительно обратимые оператор^ в чи­ сленных методах.

Пусть найдены такие элементы и, v, w е £*, что

внутренний элемент конуса Kt.

Л и т е р а т у р а : [264].

11. Инвариантные функционалы и собственные векторы со~ пряженных операторов. Линейный непрерывный функционал f(x) называется инвариантным относительно ограниченного опе­ ратора Л, если

f(x) = f(Ax).

Иначе говоря, инвариантный функционал есть неподвижный вектор для сопряженного оператора:

. Весьма важным является утверждение: если совокупность ограниченных положительных коммутирующих друг с другом операторов {Ah} имеет общий неподвижный элемент внутри те­ лесного конуса К, то существует положительный функционал

F(x), инвариантный относительно всех операторов Лд.

П р и м е р . Пусть G—коммутативная группа, Е — простран­ ство ограниченных на G функций x(g)f операторы Ah ( AeG)

ных функций из Е, остающимся неподвижным при преобразо­ ваниях Ан. Поэтому существует инвариантный функционал

F{x{g + h)) = F{x(g)) (A eG ).

Более общим, чем теорема о существовании инвариантного функционала, является утверждение: для всякой совокупности {Ah} коммутирующих друг с другом ограниченных линейных

ляющийся общим собственным вектором всех сопряженных one- раторов:

тренность К в свою часть, можно ослабить, заменив его ус­ ловием положительности операторов Ah. Однако при этом нельзя, вообще говоря, гарантировать выполнимость неравенства

Xh>0.

Л и т е р а т у р а : [268J.

12. Сходимость последовательности положительных опера­ торов. Пусть £ 0—подпространство банахова пространства Е с конусом К, F(Eo, К) — совокупность нормированных функциона­ лов из К\ отвечающих точкам гладкости конуса К, лежащим в Е0 (см. § 2, п. 5).

Функционал

является полунормой.

Если IMI* является нормой, то Е0 называется насыщенным пространством или подпространством, насыщенным точками гладкости.

Насыщенное подпространство называется равномерно насы­ щенным или равномерно насыщенным точками гладкости, если норма || • II* эквивалентна основной норме пространства.

Для телесных конусов в конечномерных пространствах поня­ тия насыщенного и равномерно насыщенного подпространства совпадают. Аналогичная ситуация имеет место и для простран­ ства С непрерывных на компакте Q функций с конусом К не­ отрицательных функций. В общем случае из насыщенности под­ пространства не вытекает его равномерная насыщенность.

Равномерно насыщенное подпространство Е0 называется вполне насыщенным, если F(E0, К) содержит такое подмноже^ ство F0(Eo> К) (возможно совпадение Fo(E0t К) = F(E0, К)), что: