Материал: Функциональный анализ

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

§ 4. НЕЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

421

Другое важное следствие:

Пусть для положительного вполне непрерывного оператора

А существует такой монотонный оператор В, что
	А х > В х	(JKGE/C,		\|\|х \|\|< г),
где г > 0 — некоторое число.		Пусть		существует	элемент и =
— v — w (о, w е /С), v Ф 0 и
	B{tu)>atu		(О
где у — такое	число, что из	x ^ t u	(t ^ 0) и из		\\х\\ ^ г выте
кает, что t ^	у.

Тогда оператор А имеет в конусе К непрерывную ветвь соб ственных векторов длины г.

Ли т е р а т у р а : [33].

5.В огнуты е о п ер ато р ы . Пусть и0— фиксированный ненулевой

элемент из К. Оператор А называется щ-вогнутым на К, если он положителен и монотонен и для любого ненулевого су ществуют такие положительные числа а и р , что

GLUQ Ах	ра0,
а для любого х ^ К с условием х^>уи0 (у >			0) и для каждого
сегмента [а, Ь] а (0, 1) найдется	такое	г] =	ц (х, а, Ь) > 0, что
А (tx) > (1 + ц) tAx	{а ^	t ^	b).
Множество тех Я, при которых уравнение
Ах = Хх

с вполне непрерывным и0-вогнутым оператором имеет ненуле


вое	решение в конусе К, образует некоторый интервал (а, р).
Для	каждого А е (а, р) уравнение не может иметь в конусе К
более одного		отличного от 0 решения. При		> Я2	(Яь	Я2 е
^ (а, р)) для		соответствующих решений	xlt	х2^ К	уравнения
справедливо неравенство: * i< x 2.			по	конусу	Л'(0)	яв
Если Л0 =		0 и сильная производная

ляется вполне непрерывным оператором, то верхняя грань р яв ляется положительным собственным значением оператора Л'(0). Если при этом Л'(0) является ^-положительным, то р совпадает с единственным позитивным собственным числом оператора Л'(0).

Если оператор А имеет сильную асимптотическую производ ную Л'(оо) по конусу, являющуюся вполне непрерывным ^-по ложительным оператором, то а является собственным числом оператора Л'(оо).

Важным частным случаем и0-вогнутого. оператора является

равномерно щ-вогнутый оператор, т. е. такой, что для любого

422	ГЛ. VIII. ОПЕРАТОРЫ В ПРОСТРАНСТВАХ С КОНУСОМ
х е К,	х Ф 0,	удовлетворяющего	неравенствам	\Шо	х < vu0
(р, v > 0 ) , при		всех t из каждого	отрезка [а, Ь] а	(0, 1)	выпол
няется неравенство
		A(t, х)>(1 +	г])Мх,

где положительное число rj зависит только от р, v, а и 6.

Для равномерно п0-вогнутого оператора А теорема существо вания в конусе неподвижного вектора справедлива без предпо ложения о полной непрерывности оператора А; достаточно пред

положить,	что	А	преобразует некоторый конусный отрезок
(бм<ь ки0)	(б, х	>	0) в себя.

Примером нелинейного положительного оператора в про странстве С(0, 1) может служить интегральный оператор Уры-

сона

Ax(t)— JK[t, s, x(s)]ds,

в котором функция К {t, s, и) непрерывна и K ( t , s , u ) ^ 0 при

0.Этот оператор монотонен, если функция K(t, s, и) не убы

вает с возрас?анием и. Если, кроме того,			/С(^, s, 0) = 0 и			при
Щ> U неравенство
	S, u ) - - £ K ( t , S,	и2) > 0
выполняется при каждом t почти при всех s, то интегральный
оператор будет п0-вогнутым. При этом и0 =			1.
Л и т е р а т у р а : [33], [256], [257], [267].
6.	С ходим ость п о сл ед о в ател ьн ы х	п ри бли ж ен и й . Пусть урав
нение х = Ах с Ио-вогнутым оператором		А	на нормальном			ко
нусе К имеет единственное ненулевое решение х* е					К. Тогда по
следовательные приближения хп — Ахп-1			(п = 1,		2, ...)	схо
дятся к х*, каково бы ни было ненулевое начальное приближе
ние Хое К; последовательные приближения будут					сходиться и
в Ио-норме, которая, как было указано в § 1, п. 5, сильнее исход
ной нормы пространства Е.
Условие no-вогнутости можно ослабить, требуя лишь выпол
нения	неравенства A(tx)^>tAx ( O ^ / ^ l ) .			Тогда последова
тельные приближения (при любом ненулевом начальном при
ближении из К) будут сходиться, если конус				К правилен		или
если оператор А вполне непрерывен,

Л и т е р а т у р а : [33],

Г Л А В А IX

ОПЕРАТОРЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ

§1. Общие положения квантовой механики

1.Состояния и' наблюдаемые величины. Основными харак теристиками физической системы в квантовой механике яв ляются наблюдаемые величины и состояния. Удобный способ математического описания этих объектов состоит в следующем: наблюдаемым величинам соответствуют самосопряженные опе раторы в комплексном сепарабельном гильбертовом простран стве ф, состояниям —классы нормированных элементов этого пространства (с нормой 1). Элементы внутри каждого класса

отличаются друг от друга только комплексным множителем, равным единице по модулю.

Пространство ф называется пространством состояний, его нормированные элементы — векторами состояния, наблюдаемые величины часто принято называть просто наблюдаемыми.

Физический смысл введенных объектов дает следующая ин терпретация. Пусть А — самосопряженный оператор, отвечаю щий наблюдаемой величине, ф — вектор состояния, Еа (—оо < < а < оо)— спектральная функция оператора А (см. гл. IV, § 3, п. 2). Мера

dmA Q(a) = d{Eа-ф, я|>)

задает распределение вероятности возможных значений наблю даемой А в состоянии ф.

В частности, если величины


	(А )^ (А х \|>, г\|)); ( Д / д 2^ ( [ Л					-	< Л )фИ , [ Л —	<Л>^] <ф)
конечны , то		они	им ею т см ы сл		средн его зн ач ен и я и д и сперсии
н аб л ю д аем о й		А	в состоян ии	-ф.	Д л я		лю бы х д вух	н аб л ю д аем ы х
А, В и	состоян и я		ф сп р ав ед л и в а		оц ен ка
З д е с ь	и всю ду н и ж е и сп о льзу ется					о б озн ачен и е [А ,		В ] = АВ — ВА
(ко м м у тато р		о п ер ато р о в А		а В ).		В ы п и сан н ая ф о р м у л а назы
в ается	соотношением неопределенностей Гейзенберга. Из нее,

424	ГЛ. IX. ОПЕРАТОРЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ

в частности, следует, что в квантовой механике не существует таких состояний, в которых все наблюдаемые имеют исчезаю щую дисперсию.

Имеющая физический смысл величина (Лф, ф) не изме няется, если наблюдаемые и векторы состояния подвергнуть произвольному унитарному преобразованию

A-+UAU~l,

так что одна и та же квантовомеханическая система описы вается при помощи различных реализаций пространства со стояний, которые называются его представлениями.

Ли т е р а т у р а : [289], [292], [294], [302].

2. Совместно наблюдаемые величины. Совокупность опера торов Ль ..., Ah образует полный набор совместно наблюдае мых величин, если выполняются следующие условия:

1. Коммутативность: [AitAj] = 0 для всех i и /.

2.Взаимная независимость: ни один из операторов Лг*не мо жет быть представлен в виде функции остальных.

3.Полнота: не существует оператора В, коммутирующего со

всеми Лг (i = 1, . . . , k) и-не являющегося функцией от них.

По заданному такому набору пространство состояний может быть реализовано как пространство функций ф(яь . . . , аА) со скалярным произведением, определяемым при помощи некоторой меры d\x {аи . . . , ah),

(^i. ф2) = J ti(ai. • • •> ак) ^ 2{аи . . ай) ф ( а ,........ ак).

При этом операторы Ль . . . , Лй являются операторами умно жения на соответствующие переменные:

А ^ {а х, . . . ,	ак) = а^{а{,	ak), i = 1, . . . , k.
Для каждого нормированного элемента ф мера
dmAx...... Ak, ф(«!»	...» cik) = \^{au	. . . , ak)\2d\i(alt . . . , ak)

имеет смысл совместного распределения значений наблюдаемых Ль . . . , Ah в состоянии ф. Ясно, что существуют состояния, в ко торых дисперсии этих величин имеют сколь угодно малые зна чения.

Описанную конструкцию называют представлением, приспо собленным к данному полному набору совместно наблюдаемых величин. Кратко можно сказать, что такое представление реали зуется как пространство функций на спектре наблюдаемых, об разующих набор.

Ли т е р а т у р а : [289], [292], [294], [302].

§ 1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ

425

3. Примеры пространств состояний. Простейшей системой в классической механике является одна бесструктурная частица. Основными величинами, описывающими поведение частицы, яв ляются ее координаты Хч, *з и импульсы ри Р2, Рз. Все осталь ные характеристики частицы являются функциями этих вели чин. В квантовой механике наблюдаемые координат Х\, Х2, Х3 и импульсов Рь Р2, Рз также играют основную роль при описании частицы. Пространство ее состояний строится по следующему принципу.

1.Совокупности координат или импульсов каждая в отдель ности образуют полный набор совместно наблюдаемых величин.

2.Выполняются перестановочные соотношения

,Pfe]= ^6/fe> k = \ /,, 2, 3.

Здесь бjk — кронекеровский символ, h — фундаментальная кон станта квантовой механики, имеющая размерность действия и называемая постоянной Планка.

Представление пространства состояний частицы, приспособ ленное к координатам, образовано квадратично интегрируемыми

функциями ф(*ь х 2, Хз)			переменных Xj,		—оо		< xj < оо,	j =
= 1,2,3. Скалярное произведение имеет вид
	оо
(■ф\|. Ф2) =	J ti (i> х2, A;3) ф2(1. х2, х3) dx{ dx2 dx3.
	—00
Операторы координат действуют как операторы умножения
X j t y ( х	х 2у х г) ——х /ф (Х\ t х 2,			Хз)у	j	-1,	2, 3,
а операторы импульсов — как операторы дифференцирования
^/Ф («^1»	*з) ‘—	^	дХ] ^	*з)>		/	1 > 2, 3.
Это представление пространства состояний частицы иногда
называется представлением Шредингера.							определяет	про
Сформулированный		выше общий		принцип			определяет	про

странство состояний и операторы импульсов и координат части цы однозначно с точностью до унитарной эквивалентности. Дей ствительно, после некоторого уточнения этого принципа, которое необходимо сделать в связи с неограниченностью рассматривае мых операторов, можно доказать, что все удовлетворяющие ему

наборы	операторов унитарно эквивалентны операторам Xj, Pj
(j = 1, 2, 3) в представлении Шредингера.
Можно рассмотреть, например, представление, приспособ
ленное	к импульсам. Пространство состояний образовано

Источник: https://studfile.net/preview/19992813/

Смотрите также: