Материал: Функциональный анализ

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

§ 2. КОНКРЕТНЫЕ КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ

431

Выписанный оператор очень сложен. При приближенных подходах к решению конкретных задач большую роль играют простые модельные системы, важнейшей из которых является частица во внешнем поле. Оператор энергии этой системы имеет вид

H3= ^ + v(x)

и действует в пространстве квадратично интегрируемых функций ф(дс) переменной х — {хи *2, *з). Индекс 3 подчеркивает наличие трех переменных. Этот же оператор соответствует системе двух взаимодействующих частиц.

Исследование оператора Я3 значительно упрощается в слу чае, если потенциал v(x) допускает разделение переменных. Ти пичные примеры этой ситуации следующие:

1) О д н о м е р н ы й случай: v(x) = v(z), где z = х3. За дача сводится к изучению оператора

я . = - - | г + »<*>•

2) Р а д и а л ь н ы й случай: v (x) = v (г), г — (х\ + х\ + *д),/2* Задача сводится к изучению семейства операторов

	Н{1) =	d2
	Н{1) =	dr2
		dr2

1(1 + 1)	+ v (г), 1 = 0, 1, 2, ...
г2

При 1 = 0 ставится граничное условие ф(0) = 0, при I > 0 гра ничных' условий накладывать не надо.

Ли т е р а т у р а : [289], [292], [302].

2.Простейшие свойства спектра оператора Шредингера.

Здесь рассматривается несколько типичных признаков зависимо сти характера спектра оператора Шредингера от поведения по тенциала v и они иллюстрируются конкретными примерами. По тенциал предполагается ограниченным в каждом конечном ин тервале, различия в спектре обусловливаются его поведением на бесконечности.

О д н о м е р н ы й о п е р а т о р :

а) Растущий потенциал, v(z)-+ оо при |а:| —^оо. Спектр ди скретный, однократный. Примером является гармонический ос


циллятор, v ( z ) = z \			Собственные значения					и собственные
функции имеют вид
	Хп = 2п+1,	^n(z) = e-z2/2Hn(z),				п = 0 ,1 ,2 , . . . ,
где Нп(г) — полиномы Эрмита.					одну	сторону,		v(z) —►оо при.
г	б) Потенциал,	растущий		в
	—оо и v{z)-+a		при z	оо,	причем		v(z) — a = 0(z~l- e),
е > 0. Спектр — однократный				лебеговский			в интервале а < Я <
<	оо, при К <, а	возможен конечный однократный дискретный

432

ГЛ. IX. ОПЕРАТОРЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ

спектр.

Примером

является

потенциал

Морса

v(z) =

= A(e~2z — 2e~z),

для

которого

собственные

функции

выра

жаются явно в терминах гипергеометрической функции перемен

ной и — 2 Y Ае~г.

г —►оо и

в)

Стабилизирующийся потенциал, v(z)-+a при

v(z) ->b

при г —►—оо,

b ^

а, причем так же, как и выше, пре

дельные значения достигаются достаточно быстро. Спектр в ин

тервале

а <С X <

оо — двукратный

лебеговский,

интервале

b <С X <

а — однократный

лебеговский и

при

X < b — спектр

дискретный, состоящий из конечного числа однократных соб

ственных значений. Пример дает потенциал вида

V (z) =

A (ch 2|Д, — sh 2р th z +

- ^ 7 ),

так что а =

Ае2^ и b =

Ае~2^. Собственные функции явно выра

жаются через гипергеометрическую функцию переменной

и =

ег +

Периодический потенциал, v(z + 1)=

v(z). Спектр — дву

г)

кратный лебеговский, заполняет отдельные интервалы вещест

венной оси. Подробнее см. ниже § 3, п. 7.

Н® свойства

В случае

р а д и а л ь н о г о

о п е р а т о р а

спектра во многом аналогичны, однако лебеговский спектр

всегда однократен.

Спектр — од

а) Растущий потенциал, у(г)->оо при г

оо.

нократный, дискретный. Пример также дает гармонический ос

циллятор

v(r)=r 2, собственные

значения

и собственные

функ

ции имеют вид

Х%= 4п + 21 + 3;

(г) =

r le~^2F (—л, I + 3/2,

г2).

Здесь

F(af b , z ) — вырожденная

гипергеометрическая

функция.

б)

Убывающий потенциал,

у(г) - > 0 при г —►оо.

Интервал

О< X <

оо заполнен непрерывным спектром, отрицательный

спектр

дискретен.

Пример

дает

кулоновекий

потенциал

v (г) =

-—1/г.

Положительный

спектр — однократный

лебегов

ский, отрицательный состоит из бесконечного числа собственных

значений

А//? = (я +

/)”2,

м =

2, . . . ,

накапливающихся к

X — 0. Соответствующие

собственные

функции

имеют вид

С м = л - " « « с < ! н Ш .

где Lm(р ) — полиномы Лагерра. Для собственных функций не

прерывного спектра также	можно выписать явное выражение
в терминах гипергеометрической функции.		v (г) = О (г~1-е), е > 0.
в) Быстро убывающий	потенциал,
Положительный спектр — однократный		лебеговский, отрица

§ 2. КОНКРЕТНЫЕ КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ

433

тельный состоит из конечного числа однократных собственных значений. При / > 0 точка X = 0 также может быть дискретным собственным значением.

При 1 = 0 существует много потенциалов, для которых мож но найти собственные функции в явном виде. Примерами яв

ляются	экспоненциальный потенциал	v (г ) = е~г,	потенциал
Хюльтена v (г) = e~r(\ + е~г)~1и многие другие.			приводятся
Для	т р е х м е р н о г о о п е р а т о р а	Н3 здесь	приводятся

лишь простейшие признаки, сходные со сформулированными выше в одномерном случае. Более подробно оператор Н3 рас смотрен ниже в § 3.

а) Если область, где выполняется			условие v(x) —		ко
нечна, то X или точка дискретного спектра, или не принадлежит
спектру. Левее X спектр только дискретный.
б) Растущий потенциал, v{x)		—> оо	при г —►оо. Спектр чисто
дискретный.				Вся полуось
в) Убывающий потенциал, v{x) —►0 при г —> оо.
О< Х<. оо заполнена непрерывным спектром.
г) Быстро убывающий	потенциал,		v (х) = О (г~2_е), е > 0.
Положительный спектр — лебеговский, бесконечнократный.					При
X 2^ 0 может быть разве	лишь	конечное число		собственных

значений конечной кратности. Полный набор собственных функ ций непрерывного спектра содержит в точности по одной соб ственной функции для каждого k = ( k u k 2i k 3). Подробнее об этом см. § 4.

Существует очень мало примеров, когда можно дать явные выражения для собственных функций трехмерного оператора Шредингера. Один пример дает кулоновский потенциал, дру гой — так называемый точечный потенциал. Собственные функ

ции в последнем случае имеют вид
			1	1	otkr
и (х , к) = е1{k>х) -\|— 2*—JT-77------ ,
4	'	‘	я2	а + ik с 9
к = (h\	к 2И- k 3) ^ ,	(&,	х) =	k[X\	-{- ^2*^2 ~Ь к 3х 3»

Сам точечный потенциал является некоторым пределом опера торов умножения на функцию, сосредоточенную в окрестности начала координат. Параметр а характеризует способ этого пре дельного перехода.

Ли т е р а т у р а : [158], [292], [299].

3.Многоэлектронный атом. Конкретный пример многочастич

ной системы — это п электронов в поле положительного заряда Z, сосредоточенного в начале координат (ядро атома). В коор

динатном	представлении состояния описываются функциями
^(* 1, 01,	хП9 Оп) координат и спиновых переменных всех

434	ГЛ. IX. ОПЕРАТОРЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ

электронов, причем при перестановке любой пары совокупностей переменных (*, а) функция ф меняет знак. Оператор энергии действует только на координаты электронов и задается диффе ренциальным оператором

/-=1	i<i rU
Здесь rij = \|Xi — Xj\. Пространство состояний			£	распадается
в прямую сумму подпространств	£ s, 5 = 0,	. . . ,	п — 1, отвечаю
щих состояниям с определенным полным		спином.		Каждое из

этих подпространств приводит оператор энергии и может быть реализовано как пространство функций, зависящих только от координат, удовлетворяющих некоторым условиям симметрии. Эти условия, вообще говоря, менее тривиальны, чем просто пол ная симметрия или антисимметрия. Возможные типы симметрии находятся в однозначном соответствии с некоторыми представ лениями симметричной группы Sn (группы перестановок п эле ментов) и описываются достаточно сложно.

В случае системы двух электронов имеются два возмож ных значения для полного спина системы и, соответственно, два

типа пространств		ф* функций от координат; пространство	ф0
состоит из	симметричных функций: ф(1, х2) = ф(х2, i),		про
странство	— из	антисимметричных: ф(1,х2) = — ф(2,* 1).

Полное пространство состояний ф разлагается в прямую сумму, в которую фо входит один раз, a — три раза.

Дискретные собственные значения оператора энергии соот ветствуют различным состояниям атома, образованного ядром и электронами. Наименьшее из этих значений описывает основное состояние атома, все остальные — возбужденные состояния.

Если Z ^	п, т. е. если система заряжена положительно или
нейтральна,	то	спектр оператора	непрерывен на интервале
—р, < ^ < о о	с	некоторым, вообще	говоря, положительным р,

и состоит из бесконечной серии собственных значений, накапли

вающихся к —р,. В различных подпространствах	значения	р,
могут быть разными. При этом дискретный спектр	оператора
энергии в одном из этих подпространств может налагаться		на

непрерывный спектр в другом подпространстве. Таким образом, на части отрицательной полуоси спектр оператора энергии сме шанный, собственные значения лежат на непрерывном спектре. Положительных, собственных значений оператор энергии не имеет.

Случай Z < п исследован менее детально. Примеры показы вают, что дискретный спектр может быть конечным и даже вообще отсутствовать. Однако это положение не доказано в об щем случае,

§ 3. СПЕКТР ОПЕРАТОРА ШРЕДИНГЕРА	435
При п — 1, Z = 1 получается система, описывающая	атом

водорода. Соответствующий оператор рассмотрен выше в п. 2. Его дискретный спектр отрицательный, накапливающийся к точ

ке	А = 0. Основное состояние	имеет собственное	значение
Л =	- 1 .	описывает состояния	атома ге
	При п = 2 и Z = 2 система	описывает состояния	атома ге

лия. Основное состояние принадлежит пространству ф0. Значе

ния р, = 1 одинаковы в пространствах		и	Бесконечные се
рии собственных значений	накапливаются		к А = —1 в обоих
подпространствах.	используется при описании системы,
Случай п = 2 и Z = 1	используется при описании системы,

состоящей из электрона и атома водорода. Физики считают, что в подпространстве ф0 имеется одно собственное значение, опи сывающее отрицательный ион водорода. В подпространстве дискретный спектр отсутствует. Строго доказана только конеч ность дискретного спектра.

Эффект налегания дискретного спектра на отрицательный не прерывный спектр может иметь место, начиная с п = 3.

Ли т е р а т у р а : [292], [298].

§3. Спектр оператора Шредингера

инекоторых родственных дифференциальных операторов

Выше было отмечено, что спектральный. анализ оператора Шредингера имеет основное значение для квантовой механики. В § 2 были приведены некоторые сведения о спектре оператора Шредингера. Здесь эти сведения будут существенно дополнены.

С общей точки зрения оператор Шредингера представляет собой пример оператора эллиптической сингулярной краевой за дачи. Поэтому наряду с описанием спектра оператора Шредин гера здесь приводятся аналогичные факты о дифференциальных операторах несколько более общего вида. Рассматриваются дифференциальные выражения

lny = ( - l ) n^ & + v(x)y		(л е я ,),
Ми — —Аи + v (х) и
Мпи =	(—1)"Д”м -\-v(x)u
	т
Аи = —	~ L ik( x ) - ^ \ + v ( x ) u	(x<=Rm,	1).
t,	fc=i

Предполагается, что функция v(x) полуограничена снизу, вещественная матрица а (х) = {iац {х)}™ k=I — положительно опре деленная. Коэффициенты не имеют особых точек на конечном

Источник: https://studfile.net/preview/19992813/

Смотрите также: