Материал: Функциональный анализ

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

436	ГЛ. IX. ОПЕРАТОРЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ

расстоянии*). Операторы М, МП1 А определяются первоначаль но на достаточно гладких финитных в Rm функциях, а за тем расширяются по Фридрихсу до самосопряженных операто ров в L 2 { R m ) (см. гл. IV, § 4, п. 3). Дифференциальное выраже ние 1пу аналогичным образом связывается с оператором 1п

в L 2 { R i ) ,	а также с		оператором		1°п в L2(0, оо)			при	условиях
у(0) = у '{0) =		... =	у(п_1)(0) =	0.	Очевидно,		/, = Н и		/? = Я(0),
и М = Н3 при т = 3.
1. Условия дискретности спектра. Без ограничения общности
считается,	что	v ( x ) ^ l . Если		v(x)—		оо	при	\х\ — >-ос, то
спектр каждого		из операторов		l°n,	1Пу М,	Мп, А — дискретный.

Для оператора А дискретность спектра может быть обусловлена

также поведением	коэффициентов aih(x) при \|л:\|— ^оо.				Пусть
v(x)— наименьшее	собственное		число	матрицы а(х) и	ц(г) =
= inf v(x). Спектр А —дискретный,				если r~2\i(r) -> оо при
1*1=г
Г —> оо.
Условие	lim	f	v(y)chy-> оо,
	lim	f	v(y)chy-> оо,
	1 д: \| -> оо	J
		\ у - х \ ^ а

выполненное при сколь угодно малых а > 0, необходимо для

дискретности спектра	операторов	/°, Д, М, Afn.	Оно также до
статочно для операторов /°, U		и для'\Л4п при	2п > га. При
2п ^ т критерий**)	дискретности спектра оператора Мп не до

пускает элементарной формулировки. В частности, критерий дискретности спектра оператора М формулируется в терминах гармонической емкости (см. [293]).

При дополнительных		ограничениях на v(x)			известно асим
птотическое поведение		собственных		значений.	Пусть	N (Я) —
число собственных значений,			меньших %. Для операторов /;°г, /
при условиях </(*)> 0,		< /'(х)> 0		и v(x)— >■оо при		\|х \|—l o o
справедлива асимптотическая формула
	N (К) ~	J	[К— v (x)]l/2n dx.
		v(x)^X
Для оператора М аналогичное асимптотическое соотношение
N(K)	2- mjTm/2				dx

	г ( х	+ \| )	v

*) Это условие ниже считается выполненным на протяжении всей главы, если специально не оговорено противное.

**) Здесь и ниже критерием называется условие, одновременно необхо димое и достаточное.

§ 3. СПЕКТР ОПЕРАТОРА ШРЕДИНГЕРА

437

имеет место при некоторых условиях, обеспечивающих «доста точно правильный» рост v(x) при \х\— >оо.

Ли т е р а т у р а : [158], [285], [299].

2.Предельный спектр. Предельный спектр дифференциаль ных операторов обладает устойчивостью относительно «доста точно слабых» возмущений коэффициентов. В частности, пре


дельный спектр		операторов	/°, /„, М, Мп, А		не	меняется	при
замене	v ( x ) ^ l	на и(х)+г](*)> если		г] (х) =		o(v (х))	при
\х\ —	оо. Для оператора А		допустимы также		возмущения		ма
трицы а(х). Пусть матрица			а(х) -\-Ь(х) положительно опреде
лена и	у(х)— наибольшее		по абсолютной	величине собствен

ное число матрицы [а(х)У1Ь (х). Предельный спектр оператора А не меняется при замене а(х) на а(х) + Ь(х), если у(*)— ^0 при |х |— >■оо.

Другой тип возмущений дифференциальных операторов свя зан с введением границы и постановкой граничных условий на ней. Пусть Q — внешность ограниченной области в Rm с кусоч но-гладкой границей Г. Дифференциальное выражение Аи и


какие-либо	классические		граничные		условия на	Г, например
и \| г = 0 или -\|^-+сш \| -=0				(ем. гл. IV, § 6, п. 3), порождают
в 1г(П)	полуограниченный			самосопряженный		оператор		A Q
Предельный спектр оператора AQ совпадает с предельным спек
тром оператора А и, следовательно, не зависит от области Q и
граничных условий на Г.			о	предельном спектре			операторов
Конкретные		сведения
/„, ln, М и Мп		можно	получать,		рассматривая		член v(x)u
как возмущение		и пользуясь		тем, что при и(х) = 0			спектр	ка
ждого из	рассматриваемых			операторов совпадает			с полуосью

[0, оо).

Если v(x) —>-0 при \х\ —^оо, то предельный спектр каждо го из операторов й, /„, М, Мп совпадает с полуосью [0, оо).

Для операторов 1°П9 1п,	а также для Мп при 2п > т то же
верно при более слабом условии
П т	J I о (у) \| dy = 0.

I X | -> оо

\У - Х \ < 1

Вслучае 2п ^ т результат остается в силе при дополнительном условии ограниченности v(x).

Для отрицательных потенциалов v(x) приведенные условия

являются в известном смысле окончательными (см. ниже п. 3). При v ( x ) ^ 0 это не так. Совпадение предельного спектра

438	ГЛ. IX. ОПЕРАТОРЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ

с [0, оо) для 1°П9 1ПУ М гарантируется, например, условием

выполненным для некоторой последовательности кубов Дд не ограниченно возрастающего объема |Д&|. Без предположения v(x) ^ 0 указанное условие обеспечивает принадлежность по луоси [0, оо) предельному спектру.


Для операторов				/«,	ln, М		при		v(x) ^ 0	принадлежность
точки	к =	0 предельному				спектру		гарантирует		его	совпадение
С [0, оо).		v(x)	при	\|х \|—>-оо не				стремится к		нулю	(в каком-
Пусть
либо смысле), но существуют конечные величины
		а =	Нш inf v (х),			р =	lim sup v (х).
			\| % \| - > о о				\|л : I - > ОО
Если	б=	р — а, 2сг= а + Р> то					для		операторов 1°ПУ 1ПУ Му Мп
любой	отрезок		[ку	X +	6]	полуоси [о, оо) содержит хотя бы
одну точку предельного					спектра.

Ли т е р а т у р а : [158], [285].

3.Отрицательный дискретный спектр. Здесь рассматривается

отрицательный спектр операторов 1°Пу 1ПУ М, Мп в п р е д п о л о ж е н и и v{x) ^ 0. Какое-либо свойство спектра указанных опе раторов будет называться устойчивым, если оно сохраняется при замене v(x) на av(x) при любом а > 0. Большинство фор мулируемых ниже утверждений вытекает из абстрактных ре зультатов гл. IV, § 4, п. 3.

Если отрицательный спектр одного из операторов 1°П9 1пу Мп устойчиво дискретен (т. е. ограничен снизу и состоит из конеч нократных изолированных собственных значений), то предель ный спектр совпадает с полуосью [0, оо). Из сказанного в п. 2 теперь следует, что для устойчивой дискретности отрицатель

ного спектра 1°ПУ 1Пу Мп необходимо условие

lim	v(y) \ dy =		0y
1JCI —> оо
которое также достаточно для	1°пу 1п	и для		Мп при 2п > т\
при 2ti^Lm это условие достаточно,		если	функция v{x) огра

ничена. Число отрицательных собственных значений может быть конечным или бесконечным. Критерием устойчивой конечности

отрицательного спектра операторов 1°ПУ 1п служит условие

lim р2/г-1 J \ v(t)\dt = 0.

р - > ОО	m>p

§ 3. СПЕКТР ОПЕРАТОРА ШРЕДИН ГЕРА

439

Для оператора М устойчивая конечность отрицательного спек тра обеспечивается условиями

	Пт р			\| v (г,	со) \| dr =		0	(т ^	3),
	р-»оо		J
			оо
	limIn р		Г г \| v (г, (о) \| dr =				0	(т =	2),
	р - » ~		pJ
выполненными равномерно					по	со;	здесь	v(ryсо) = v (х),		г =
= \|х \|, со =	г~*х.	Эти		условия		являются		и необходимыми		при
v (x )= v (r ) .	(Для	произвольных v{x) соответствующий крите

рий формулируется в терминах гармонической емкости.) Критерием устойчивой бесконечности отрицательного спек

тра операторов 1°ПУ 1п является условие

lim sup р2"” 1	Г \| v (t) \| d t= оо.
р^°°	Ш>р

Для устойчивой бесконечности отрицательного спектра опе ратора М при т ^ 3 достаточно условие

которое также необходимо при v(x) = у(|х|).

Для некоторых случаев известны простые оценки, ограничи

вающие сверху число пг собственных значений		(с учетом крат
ности), лежащих левее	точки Л = —е2 ^ 0. В	частности, для
операторов Н° = 1\° и Я3 справедливы неравенства
оо
пе W) < (2е)-1 J (l	—£-2е<)\| v (t) \dt,
о

пе(Н3) < (16я2г ‘ J 11 v (х) v (у) \е~2е{х~у] \ х —у \~2dxdy.

Для числа отрицательных собственных значений оператора Н® справедлива оценка

оо

п^ ни))< ~ 2 Г р г ! t\v(t)\dt.

Л и т е р а т у р а : [158], [285], [293].

4. Абсолютно непрерывный спектр. Для операторов А и Лр (см. п. 2) совпадает нс только предельный спектр, но? при

440	ГЛ. IX. ОПЕРАТОРЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ

достаточно гладких коэффициентах, также и абсолютно непре рывный спектр. Более того, при изменении границы и гранич ных условий, а также при финитных возмущениях коэффициен тов абсолютно непрерывная часть оператора AQ сохраняется с точностью до унитарной эквивалентности. Эта унитарная экви валентность осуществляется волновыми операторами (см. гл. IV, § 5, п. 4).

Волновые операторы для пары A, AQ можно определить, если предва рительно расширить AQ до самосопряженного оператора в L2(Rm). Это мож но сделать, доопределяя, например, AQ нулем в L2(Rm\ Q ) . При этом аб солютно непрерывная часть оператора AQ, очевидно, сохранится.

В некоторых случаях абсолютно непрерывная часть диффе ренциального оператора сохраняется при возмущениях коэф фициентов более сильных, нежели финитные. Для оператора Шредингера Я3 соответствующие результаты приводятся в п. 6.

Ли т е р а т у р а : [286].

5.Самосопряженность оператора Шредингера. Выше речь шла о спектре полуограниченных операторов, которые первона чально определялись на гладких финитных функциях, а затем

расширялись до самосопряженных операторов по Фридрихсу. При этом оставлялся в стороне вопрос о существовании других самосопряженных расширений. Если такие самосопряженные расширения существуют, то выделение какого-либо из них тре бует постановки граничных условий в бесконечно удаленной точке. Для оператора Шредингера нет физически оправданных аргументов, позволяющих ставить в бесконечности граничные условия. Поэтому представляют интерес признаки существенной самосопряженности оператора Шредингера, т. е. признаки, га рантирующие самосопряженность замыкания оператора Я3, определенного первоначально на гладких финитных функциях. В этом случае замыкание будет е д и н с т в е н н ы м самосопря женным расширением.

Оператор Н3— в существенном самосопряженный, если он полуограничен снизу. В частности, это так, если полуограничен снизу потенциал v(x), т. е. m\v{x) > —оо (это условие не яв ляется необходимым для полуограниченности Я3 снизу).

Оператор Я3 является в существенном самосопряженным и тогда, когда v(x) не слишком быстро стремится к — оо. Именно, пусть Q(r) —неубывающая положительная функция и

оо

Если v(x) ^ — Q( |лг|), то оператор Я3 — в существенном само сопряженный. В частности, это тик, если v(x) ^ — А |х |2 —5.

Источник: https://studfile.net/preview/19992813/

Смотрите также: