Материал: Функциональный анализ

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

446	ГЛ. IX. ОПЕРАТОРЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
где I, / =	1, 2, 3 — номера частиц, входящих в подсистему. Если

все три оператора кц имеют по одному простому собственному значению — K j с собственными функциями фгЛ*), т0 имеется всего четыре канала. Один из них (ос = 0) соответствует сво бодному движению всех трех частиц в отдельности. Три других (а = 12, 23, 31) описывают свободное движение двух частиц в связанном состоянии и третьей частицы. Операторы энергии каналов На и соответствующие проекторы Ра определяются следующим образом:

н °“	л>—	л2 ~ 2 ^ г лз>
Ha= H 0+ va(xa),		а== 12, 23, 31;

Ро совпадает с единичным оператором, Р12 проектирует на функ ции вида

Ф12(*| — Х 2) СО(*| + *2. *з)>

где со(х, у) — произвольная функция из L2(Re); Ргз и Р31 опреде ляются аналогично.

Ли т е р а т у р а : [284].

3.Волновые операторы. Сформулированные постановки за дачи рассеяния обосновываются при помощи теорем о волновых

операторах (абстрактное определение см. гл. IV, § 5, п. 4). В случае рассеяния частицы на центре подходящее утверждение формулируется следующим образом: пусть v(x) —ограниченная

функция и при г-*- оо v (х) =	О (г-2- 8), е > 0. Тогда сущес
твуют сильные пределы
Urn е1те ' т * = и ш ,
t - > ± 0 0
которые являются изометрическими операторами:
U(±)*U{±) = E,	и ш и {±), = Е — Р.

Здесь Р — проектор на инвариантное подпространство оператора Я , соответствующее дискретному спектру„ Для всякой ограни ченной функции ф(5 ) справедливо соотношение

<р (Я ) Ul±) — Ul±)q>(Я 0).

Операторы £/<+> и £/<_) называются волновыми операторами. Из их свойств следует, что оператор

S = U <+),U{~]

у н и тар ен и ком м ути рует с прои звольн ой ф ункц ией о п ер ато р а Я 0.

§ 4. НЕПРЕРЫВНЫЙ СПЕКТР ОПЕРАТОРА ЭНЕРГИИ			447
Решение ф(/) задачи рассеяния дается формулой
	q(t) = e -lHtU(-W -\
Действительно, при / —*— оо		е‘н*е-1Ш]-ф(II->\|- 0I[I .
\|* (0 -	и 1- ' -
При этом	f/(+)> ( 0 ) =	^ (+)*t/(Sqf~\_ V	_) ==
ф(+ )=

так что оператор 5 является оператором рассеяния.

Теорема о волновых операторах в многочастичном случае должна выглядеть следующим образом: при определенных-усло виях на потенциалы, описывающие взаимодействие частиц, су ществуют сильные пределы

lim еш е~1Н^Р а^ и ^ \ t->±оо

которые являются частично изометрическими операторами:

При этом проекторы

= U&WW* обладают свойством

2 <&*>«=£- Л

где Р совпадает с проектором на подпространство, соответствую щее связанным состояниям всех частиц системы.

Существование волновых операторов U£** доказано в общем случае примерно при таких же условиях на потенциалы, как в случае одной частицы. Свойство проекторов доказано в

настоящее время только для системы трех частиц.

Оператор рассеяния определяется в терминах набора опе раторов

5 р „ = Uk+)'U{a \

Ли т е р а т у р а : [54], [65], [300].

4.Стационарная постановка. Приведенные выше формулы приобретают более явный вид, если использовать конкретный набор «собственных функций» непрерывного спектра оператора энергии. В случае рассеяния частицы на центре такой набор образуют решения уравнения

Аи (х, к) + k2u (х, k) = v (х) и (х, к),

k = (kl, ki, &з),

k = k\

k>2 “l- кз,


448	ГЛ. IX. ОПЕРАТОРЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
удовлетворяющие условию излучения
	и (х , к) = е{	+ w {х, к),		(ft, х) — k{xx+ k2x2+	k3x3;
	w {xy k) — 0		j ; lim r	— ikrj w (x, ft) =	0.

Существование этих решений можно доказать при тех же усло виях на потенциалы, при которых существуют волновые опера торы. Функции и(Ху ft) образуют полную ортонормированную систему собственных функций оператора энергии Я. Более точно это значит, что по каждой функции ф(х) из £2(/?з) можно опре делить коэффициенты Фурье

/ j \ 3/2	г	________
ф (ft) = (-25г )	J	Ф (х) и (х , k) dx;

при этом разность

♦ (*) — ( 4 г ) 1Jф (*) и (х, ft) dk

принадлежит собственному подпространству оператора Я, обра зованному его собственными функциями. Все выписанные инте гралы сходятся в среднем.

В терминах решений u(x, к) можно дать явное выражение для волновых операторов. Так, коэффициент Фурье ф(к) опре

деляет импульсное представление элемента ф= Я(" )*,ф, если функ ция ф(*) задает координатное представление элемента ^О пера

тор £Л+) описывается аналогично при помощи функций и(х,—ft). Если v (ж) = О(г_3“8), е > 0, при больших г, то w(xyk)

имеет асимптотику

w(x, k) = - ^ - f ( k ; а, Р) + 0 (j-); а = -у, Р = - |-

Функция f{k\ а, Р) называется амплитудой рассеяния. Оператор рассеяния в импульсном представлении явно через нее выра жается:

Яф (ft) = $(*) + -ЙГ J f (ft; 4 ' т ) 6 (fe2 “ /2>+ № dt;

б-функция в этой формуле отражает тот факт, что операторы 5 и Н0 коммутируют.

Унитарность оператора S приводит к следующему соотноше нию для амплитуды рассеяния:

/ (ft; а , 0 ) — / (ft; Р, а) = ± j f ( k ; а , f ) / ( f t ; Р, | ) б (Z2 - ft2) dl.

§ 4. НЕПРЕРЫВНЫЙ СПЕКТР ОПЕРАТОРА ЭНЕРГИИ

449

Кроме того, выполняется условие симметрии

f{k; а, Р) = /(&; — Р, — а),

которое является следствием вещественности потенциала в ко ординатном представлении.

Аналогичная связь между волновыми операторами и полным набором собственных функций непрерывного спектра оператора энергии должна существовать и в случае системы нескольких частиц. До сих пор она установлена только для системы трех частиц.

В остальной части параграфа рассматривается только случай одной частицы в поле фиксированного центра.

Ли т е р а т у р а : [292], [296], [303].

5.Интегральное уравнение теории рассеяния. Основу всех

подходов для	построения решений и { х у k) и амплитуды рассея
ния f(k\. а, Р)	составляет интегральное уравнение
и (х,	1	Г	ik \| х-у \|
и (х,	k) = е1<■> —	j	\| х — -j- V (у) и (у, k) d y ,

которое часто называют уравнением Липпмана — Швингера. По известному решению и ( х , Ъ) амплитуда f(k\ а, Р) определяется формулой

f(k\ а, Р) = — J* e~lk<v*x>a)v (*) и (х, Щ dx.

Можно выписать интегральное уравнение, эквивалентное урав нению для и(х, fe), из которого f(k\ а, р) определяется более не посредственно. Для этого надо рассмотреть ядро

t {к, /) = —	J* e~l		x)v (а:) и ( x t	I) d x .
Функция /(&; а, Р) получается		из	t(k, /) при k = L Уравнение
для t ( k , I) имеет вид
. t (k, l) = V (k - 1) -	J V (k -	m ) (m 2 - 12 -		10)-1 t(m, l ) d m ,

v W = In J e~‘<6’ X>v^ dx'

Здесь (m2 — l2 — lO)-1 — известная обобщенная функция,

(z — Ю)"1= P -j + гяб (z),

где индекс Р показывает, что сингулярность понимается в смы сле главного значения (см. гл. X, § 2, п. 1),

Л и т е р а т у р а : [288].

450	ГЛ. IX. ОПЕРАТОРЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ

6.Случай сферической симметрии. Задача значительно упро

щается,	когда v(x)	зависит только от		радиуса;	v(x)	= v(r).
В этом	случае решение и(х, к)		и амплитуда f{k\		а, Р)	разла
гаются в ряды по полиномам Лежандра:
		оо
	и (х, к) =	± 2 (21 +	1) Rt (Г,	k) Pi ( - ^ - ) ;
		/<=0

f{k\ а, Р ) = 2 ( 2 Н - 1 ) /г(^)Я/ ((а, Р)). /=о

Здесь функции Ri{ry k) являются собственными функциями не прерывного спектра радиальных операторов Шредингера

H ^R dr, k ) ^ [ - £ 2 + ^ + J )+ v (r )] R t(r, k) = m t {r, k)\

функции fi{k) связаны с асимптотикой этих решений при боль ших г:

Rt (г, k) = 4 k Whr - ( - 1)г

+ ft (k) в*' + о(1).

Условие унитарности оператора рассеяния в терминах коэффд циентов fi{k) выглядит следующим образом:

f i ( k ) - h W ) = m f t ( k ) р,

откуда ясно, что fi(k) можно записать в виде

где цi(k) — вещественные функции, носящие название асимпто тических фаз. Это название связано с тем, что асимптотику Ri(ry k) можно переписать в виде

Rt (г, k) = At (k) sin [kr - f - + t], (&)) + о (1),
.1	iT\,(k)
i e	1
	k

Для решений Ri(ry k) можно выписать интегральные уравнения, аналогичные уравнению для и ( х у k ). Однако более удобно иметь дело с другими решениями. Если ввести в рассмотрение решение g i ( r y k ) уравнения H ® g i = k 2g i с условием

gi(r, k) = elkr + o( 1), г -> оо,

Источник: https://studfile.net/preview/19992813/

Смотрите также: