456 ГЛ. X. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
Такие последовательности функций называются 6-образными последовательностями. Во многих случаях, в которых, по сути дела, речь шла о б-функции (например, в вопросах, связанных с точечными источниками и стоками, функцией Грина и т. д.), вместо б-функции применялись б-образные последовательности, после чего выполнялся соответствующий предельный переход. Это столь же осложняло математическую физику, как ослож нила бы математический анализ систематическая замена всех производных пределами разностных отношений, а интегралов — пределами интегральных сумм.
Устранение этих трудностей оказалось возможным лишь после построения строгой теории сингулярных функций, устано вления правил действий над ними и создания достаточно разви того алгоритмического аппарата. Такое построение было прове дено на базе изучения непрерывных линейных функционалов в некоторых линейных топологических пространствах.
2. Обобщенные функции. Через D обозначают пространство бесконечно дифференцируемых финитных функций, заданных в Rn и принимающих комплексные значения. Последователь ность функций {фй} из D называют сходящейся к нулю, если:
а) все функции щ(х) обращаются в нуль вне одного и того же шара |х| ^ R\
б) для любого q имеет место равенство
И г л ф М ( х ) = 0 . k -> o o
Этим задается сходимость в пространстве D. Можно задать то пологию в D системой окрестностей (см. гл. И, § 1, п. 2).
Обобщенной функцией (по Л. Шварцу) называют непрерыв ный линейный функционал в пространстве D.
Обобщенная функция F называется вещественной, если для всех вещественных функций ф(х) из пространства D значение (F, ф) вещественно.
Каждой локально суммируемой функции f(x) (т. е. функции, суммируемой в любом шаре й п) соответствует обобщенная функция (/, ф), задаваемая формулой
(/> ф )= J f(x)<p(x)dx.
При этом, если /ч(х) и /г(*) — локально суммируемые функции, причем для всех функций ф(х) из D имеем (/i, ф) = (/2, ф), то почти для всех х выполняется равенство Ы * )= Ы * ) . Таким образом, соответствие * (/, •) определяет вложение простран ства локально суммируемых функций в пространство обобщен ных функций.
Обобщенные функции, соответствующие локально сумми руемым функциям, называются регулярными обобщенными
§ 1. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ |
457 |
функциями. Примером регулярной обобщенной функции может служить функция скачка (0, ф), задаваемая формулой
оо
(9. ф )= J* ф(x)dx.
О
Она соответствует функции
0 W = |
( 0, |
если |
х < О, |
1 |
если |
^ Л |
|
|
I I , |
х ^ О . |
Непрерывные линейные функционалы в пространстве D, не представимые в интегральном виде с локально •суммируемой функцией f(x), называют сингулярными обобщенными функци ями. Примером сингулярной обобщенной функции является уже упоминавшаяся б-функция. Соответствующий функционал за дается равенством
(б, <р) = ф(0).
Заметим, что это равенство определяет функционал не толь
ко в пространстве Z), но и в более широком |
пространстве £К0) |
непрерывных финитных функций. Через |
обозначают про |
странство, состоящее из финитных функций^ имеющих непрерыв ные производные до k-ro порядка включительно. Последователь
ность {фт } функций из DW называют сходящейся |
к нулю, если |
для любого q, 0 ^ \q\ ^ 6, последовательность |
равно |
мерно сходится к нулю и существует шар, вне которого все функции фт (я) равны нулю. Назовем обобщенную функцию F функцией k-го порядка, если функционал (Z7, ф) можно продол жить до непрерывного функционала в пространстве Z)(4 Для этого необходимо и достаточно выполнение следующего усло вия: если последовательность функций {фт(х)} из D сходится к
нулю в топологии пространства D{k\ то lim (F, Фт ) = 0. т->оо
Таким образом, б-функция является обобщенной функцией нулевого порядка. Любая обобщенная функция F нулевого по рядка задается некоторой мерой р в /?„, имеющей конечную вариацию в каждом шаре Qn:
(F, ф )= J* ф (х) d\i (х).
Интеграл понимается здесь в смысле Стилтьеса. В частности, мера р может быть любой положительной мерой, такой, что р-мера любого шара конечна. Единичная мера, сосредоточенная в точке х = 0, соответствует б-функции.
458 |
ГЛ. X. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ |
Сингулярные обобщенные функции часто обозначают тем же символом F(x), что и обычные функции, и пишут
(F , ф )= J F{x)(f>{x)dx.
Следует иметь в виду, что обобщенные функции, вообще го воря, не имеют значения в отдельных точках.
Л и т е р а т у р а : [12], [67], [68].
3. Другие теории обобщенных функций. Наряду с описанной выше трактовкой обобщенных функций как линейных функцио налов в D, встречаются иные подходы к этому понятию. После довательность непрерывных функций (фт(*)}, определенных в фиксированном открытом множестве Q из Rn, называют фун даментальной, если для любого компактного подмножества К в Q существуют целое число k ^ 0 и последовательность непре рывных функций {Fm{x)}, определенных на К, такие, что
а) |
Ffi)(x) = (pm(x) |
при' х<=К, |
|
|
|
б) |
(Fm(x)} равномерно сходится. |
|
|
||
Если при этом для любого К сг £2 соответствующая последо |
|||||
вательность |
(EmC*)} такова, |
что |
Нш Fm(x) — 0, |
х ^ К , |
то го- |
ворят, что |
фундаментальная |
|
т-»оо |
{фт (*)} |
экви |
последовательность |
|||||
валентна нулю. Две фундаментальные последовательности {фш(х)} и (фт(*)} относят к одному классу, если их разность эквивалентна нулю. Такие классы последовательностей назы вают обобщенными функциями. Если число k можно выбирать независимо от выбора подмножества К, получаются обобщен ные функции конечного порядка.
При указанном подходе действия над обобщенными функ циями сводятся к действиям над обычными функциями.
Ли т е р а т у р а : [40], [41].
4.Действия над обобщенными функциями. Сумма обобщен ных функций определяется равенством
М\ +Л> Ф) = ф) “f" (f2> ф)>
а йроизведение обобщенной функции на комплексное число а — равенством
(af, ф) = а (А ф).
Если обобщенные функции регулярны, то эти определения совпадают с обычными определениями суммы функций.« про изведения функции на число.
Вообще, при определении действий над обобщенными функ циями требуют, чтобы для регулярных обобщенных функций