452ГЛ. IX. ОПЕРАТОРЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
7.Общий случай. В общем случае несимметричного потен циала, по-видимому, не существует упрощения задачи, связан ного с вольтерровостью интегральных уравнений. Основу для' нахождения f(k\ а, Р) составляет само интегральное уравнение теории рассеяния. Сходимость последовательных приближений для этого уравнения при всех k можно показать также при усло вии, что потенциал v(x) удовлетворяет какому-нибудь условию малости, например,
х |
v (у)1|—х —-—у | г * < 4я. |
шах |
|
При этом условии оператор Н совсем не имеет дискретного спектра. Если же дискретный спектр присутствует, то последо вательные приближения заведомо сходятся не при всех k. В то же время при достаточно больших k последовательные прибли жения всегда сходятся, независимо от величины потенциала. Этот факт является оправданием так называемой формулы Борна для амплитуды рассеяния, которая получится, если в вы ражение для f{k\ а, Р) (см. п. 5) подставить вместо и(х, к) ее нулевое приближение — соответствующую плоскую волну:
fB (к; а, Р) = — ^г- Je~ik{Xt a)v (х) eik(А?>р) dx.
Точное утверждение состоит в том, что при больших k f{k\ а, Р) — fB(k; а, Р) = о(1)
равномерно по а и р, причем если v(x) —дифференцируемая функция и | grad v (х) | = О (г-2-8), е > 0, то вместо о(1) здесь можно поставить 0(l/k). Иногда !в(к, «, Р) называют первым борновским приближением, называя борновским рядом ряд, ко торый получится, если в выражение для f(k\ а, Р) подставить ряд последовательных приближений для решения и(х, к). По
следовательные |
приближения интегрального уравнения для |
t(k, I) (см. п. 3) |
дают выражение высших борновских прибли |
жений через первое, т. е. через преобразование Фурье от потен циала v{k).
Интегральное уравнение теории рассеяния позволяет приме нить также и другие приближенные методы для определения амплитуды f(k ; а, Р). Например, схема метода Галеркина для этого уравнения тесно связана с так называемым вариационным методом Швингера для задачи рассеяния.
Ли т е р а т у р а : [288], [292].
8.Обратная задача теории рассеяния. Описанная задача нахождения оператора рассеяния по потенциалу может быть названа прямой задачей теории рассеяния. Можно поставить и
454 ГЛ . IX . О П Е Р А Т О Р Ы К В А Н Т О В О Й М Е Х А Н И К И
удовлетворяет условию
оо
J* r\v { r )\d r < оо,
о
и So(k) является S-функцией для |
оператора # (0) с о (г) в каче |
стве потенциала. Решение go(г, k) |
дается формулой |
go(г, k) = elkr + |
/ А (г, t)elktdt. |
Для случая / > 0 разработан аналог этой схемы. Необходимые и достаточные условия 1)—4), которым должна удовлетворять фаза Т1о(&), остаются в силе при I > 0.
Интегральное уравнение для А (г, t) допускает явное реше ние в случае, когда So(k) — рациональная функция. Решения и потенциал получаются в этом случае в виде рациональных функций от тригонометрических и гиперболических функций. Простейший пример дает функция
- > 0 ’ р > а
Соответствующий потенциал имеет вид
02 (02 _ а2) v(r) = 2 (0 ch а sh 0r)2 *
Обратная задача изучена также для систем уравнений с ра* диальными операторами и для одномерного уравнения Шредин* гера.
Л и т е р а т у р а : [283], [301],
Г Л А В А X
ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
§1. Обобщенные функции и действия над ними
1.Вводные замечания. Некоторые физические величины (на пример, плотность сосредоточенной нагрузки) не могут быть выражены при помощи обычных функций. Поэтому в физике и технике давно применялись обобщенные или сингулярные, функции, выражающие такие величины. Примером сингулярной функции является так называемая б-функция, определяемая
следующим свойством:
Для любой непрерывной функции cp(x) выполняется равен ство
оо
J б ( х ) срdx( х )= |
ф ( 0 ) . |
Очевидно, что б-функция не является обычной функцией. В са
мом деле, из определения следует, что б(х) = 0 при |
хФ О и |
Jоо 6(x)dx= 1. Но ни одна классическая функция не |
обладает |
— оо
такими свойствами. Можно лишь построить последовательность обычных функций fn(x) такую, что для любой непрерывной функции ф(х) имеем
оо |
|
|
— оо |
|
|
Например, можно положить |
|
|
п/2 |
при |
\х\^ .1 /п , |
0 |
при |
| х | > 1/п |
ИЛИ |
|
п2хг |
|
|
|
|
|
2 |