Материал: Функциональный анализ

на всех функциях, являющихся производными функций из D. Эти функции образуют подпространство, отличающееся от D на одно измерение. Поэтому можно положить

(А. Ф0) = с

оо

для фиксированной функции ф0(*) из D такой, что J ^а(х)йхФ

— оо

Ф 0, после чего обобщенная функция fi будет однозначно опре­ делена.

Ли т е р а т у р а : [12], [67], [68].

6.Предел последовательности обобщенных функций. После­ довательность {fk} обобщенных функций называется сходящейся

кобобщенной функции /, если для любой функции ф(х) из про­ странства D имеет место равенство

lim (fk, <р) = (/, ф).

& -> оо

Для каждой обобщенной функции / можно построить сходя­ щуюся к ней последовательность функций {ф&(*)} из простран­ ства D, т. е. такую последовательность, что для всех функций ср(я) из D

Если последовательность {fk(x)} локально суммируемых функций такова, что

то обобщенные функции (Д, ф) сходятся к обобщенной функции (/, ф). Однако из того, что в любой точке х выполнено равенство lim fk (х) = / (х), не вытекает, что lim (fk, ф ) = (f, ф ) . Напри-

Однако для любой функции ф(х) из пространства К имеем

где

оо

ф( А , ) = q>(x)eiKxJ dx

—оо

—преобразование Фурье функции ф(я). Далее, из равенства

оооо

2 eikx = 2я 2 б(х — 2nk)

k=—oo k=z—oo

вытекает, что

оооо

Y + 2 cos kx — n ^ б (х — 2nk).

k*=\ оо

Дифференцирование этого равенства дает

оо оо

Ли т е р а т у р а : [12], [67], [68].

7.Локальные свойства обобщенных функций. Говорят, что

обобщенная функция 6(х) равна нулю в области £2, получаемой из пространства Rn «выкалыванием» точки х = 0.

Обобщенная функция f(x) называется сосредоточенной на замкнутом множестве В, если она равна нулю на дополнении к этому множеству. Наименьшее замкнутое множество, на ко­ тором сосредоточена обобщенная функция f(x)y называется но­ сителем этой функции. Например, носителем обобщенной функ­ ции 8(х) и всех ее производных является точка х = 0. Носите­ лем регулярной функции f(x) является замыкание* множества точек, в которых эта функция отлична от нуля.

9. Свертка обобщенных функций. Пусть f(x) и g ( x ) — обоб­ щенные функции одного переменного, причем выполнено одно из следующих условий:

а) одна из функций f(x), g(x) имеет ограниченный носитель; б) носители обобщенных функций f(x) и g(x) ограничены с одной и той же стороны (например, f{x) = 0 при х < a, g(x) —

=0 при х < Ь).

Тогда для любой функции (р(х) из пространства D опреде­

лено выражение

творяют одному из условий а), б), то обобщенная функция f *g также регулярна и задается функцией

оо

f * g ( x ) = J f ( x - y ) g ( y ) d y .

— оо

Примеры . 1. Если f ( x ) —любая обобщенная функция, то б*f{x) =f ( x) . Таким образом, б-функция играет роль единицы относительно операции свертывания. В частности, б *6(х) = 6(х).

2. Свертка обобщенной функции f(x) с 6 {x — h) равносильна сдвигу f{x) на А:

б(х — А) * / (х) = / (х —■А). Справедливы равенства

f*g(x) = g*f(x)

(f*g)*h{x) = f*(g*h) (х),

выражающие коммутативность и ассоциативность свертки обоб­ щенных функций.

Формула дифференцирования свертки имеет вид

и том же ограниченном множестве;

б) обобщенная функция g сосредоточена на ограниченном множестве;

в) носители обобщенных функций /v(x) и .g(x) ограничены с одной и той же стороны, и притом не зависящей от v по­ стоянной.