466 ГЛ. X. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
Отсюда вытекает, что если обобщенная функция ft {x) зави сит от параметра t и дифференцируема по этому параметру, то формула
справедлива, если ft(x) и g(x) удовлетворяют одному из пред положений а)—в).
Свертка обобщенных функций f(x) и g(x) от нескольких пе ременных определяется точно так же, как и для функций одного переменного. При этом требуется, чтобы хоть один из сомножи телей, например f(x), был свертывателем, т. е. обладал тем свойством, что для любой функции ф(х) из пространства D функция
f *ф==ф(г/) = (/, ф(х + у))
принадлежит тому же пространству, и из qpv->0 следует f *qpVr>0.
Свертка свертывателя £(х) с обобщенной функцией g(x) опре деляется формулой
a *g, ф) = ( g> f * ф)-
Если /(х) — регулярная функция и ф (х)е D, то f *ф (х)= J f{y — x)y(y)dy.
Л и т е р а т у р а : [12], [13], [67], [68].
10. Общий вид обобщенных функций. Пусть обобщенная функция f(x) финитна. Тогда найдется параллелепипед
a j ^ X j ^ b / , 1 < / < п ,
на котором сосредоточена эта обобщенная функция. Можно
показать, что для |
любого е > |
0 найдутся целое число р > 0 и |
|
непрерывные функции |
fg8(x), |
0 ^ |ф |^ / 7 , обращающиеся в |
|
нуль при cij — е ^ |
Xj ^ |
bj -f- в и удовлетворяющие соотношению |
|
Таким образом, каждая финитная обобщенная функция яв ляется линейной комбинацией производных от непрерывных фи нитных функций (причем, разумеется, производные понимаются в обобщенном смысле).
Аналогично, каждый линейный функционал в пространстве D(a) бесконечно дифференцируемых функций, обращающихся
§ 1. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ И ДЕЙСТВИЯ |
НАД НИМИ |
46? |
|
в нуль при 1*1 ^ |
а, имеет вид |
|
|
(/, Ф) - |
(F«>, Ф) а ( - 1 )*1J F (х) Ф<*> (х) dx, |
|
|
где F(x) — непрерывная функция в шаре |х| |
а. |
|
|
Если f ( x ) — любая обобщенная функция, |
то можно постро |
||
ить такую последовательность финитных обобщенных функций h(x), .... fn(x)', ...,-что
1)lim fn(x) = f(x);
Л-> оо
2) для каждого |
а > О найдется такое |
N, что при |
N, |
m ^5 N имеем fn(x) |
= fm(x) в области \х\ ^ |
а. |
|
Особенно простое строение имеют обобщенные функции, со средоточенные в одной точке. Например, все обобщенные функ ции, сосредоточенные в точке * = 0, являются конечными линей ными комбинациями 6-функции и ее производных, т. е. имеют вид
f(x) = |
2 |
C q 6 (<7) ( x ) . |
I |
я1 = 0 |
|
Л и т е р а т у р а : [13], [67], [68].
11. Теорема о ядре. Во многих приложениях обобщенных функций оказывается полезной следующая теорема:
Т е о р е м а о ядре . Пусть В (ф, ф) — билинейный функционалтакой, что ф(х) пробегает пространство бесконечно диффе ренцируемых финитных функций от m переменных, а ф(у) про бегает аналогичное пространство функций от п переменных. Если функционал В(ф, ф) непрерывен по каждому из аргумен тов ф и ф, то существует такая обобщенная функция f(x, у) в пространстве бесконечно дифференцируемых финитных функ ций от m + п переменных, что
я (ф, Ф) = (А ф (*Ж*/)).
Аналогичная теорема справедлива и для пространства S быстро убывающих бесконечно дифференцируемых функций (см. гл. II, § 1, п. 2).
Л и т е р а т у р а : [15].
12. Аналитические представления обобщенных функций од ного переменного. Для любой обобщенной функции одного пере менного F из D7существует функция F(z), аналитическая в пло скости zy за исключением носителя F, такая, что для всех ф е Д имеем
(F, ф) = Jоо [F (х + /0) — F(x — /0)] ф (ж) dx.
470 |
ГЛ. X. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ |
§2. Обобщенные функции и расходящиеся интегралы
1.Регуляризация расходящихся интегралов. В ряде задач
математической физики возникают расходящиеся интегралы. С помощью аппарата обобщенных функций можно получить
.алгоритм, позволяющий приписывать некоторым расходящимся интегралам определенное числовое значение, и, оперируя с ним, шолучать решения задач. Этот алгоритм называется регуляри зацией расходящегося интеграла.
Пусть f(x) — некоторая функция. Точку х0 называют точкой локальной суммируемости функции f(x ), если существует окре стность U(xo) этой точки, в которой функция f(x) суммируема. Точки, не являющиеся точками локальной суммируемости, назы ваются особыми точками. Здесь рассматриваются функции, име ющие на любом интервале лишь конечное множество особых точек.
Пусть Df — подпространство в Z), состоящее из функций <р(х) G D, обращающихся в нуль в некоторой окрестности любой особой точки функции /(х). Последовательность функций {фт{*)} из пространства Df сходится к нулю, если все функции ц>т(х) сосредоточены на одном и том же компактном множестве, не содержащем особых точек функции /(х), причем для любого q выполняется равенство
lim sup I фМ (х) I = 0.
m - > оо х 1 |
1 |
Для любой функции <p(x) из пространства Df интеграл | f(x)<p(x)dx сходится, причем равенство
(f, ф )= J* f(x)q>(x)dx
определяет линейный функционал в пространстве Df. Этот функ ционал можно распространить на все пространство D*). Значе ние (f, ф) этого функционала для какой-нибудь функции ф(х)
и з пространства D называют регуляризованным значением ин теграла j f(x)y(x)dx (если функция ф(х) не принадлежит под
пространству Df, то этот интеграл может, вообще говоря, расхо диться). Обобщенную функцию (/, ф), получаемую при описан ном распространении, называют регуляризацией функции f(x). {Регуляризация функции f(x) совпадает с f(x) на множестве то- <чек, дояолнительном к множеству особых точек.
*j) Продолжение непрерывного линейного функционала с подпространства на все пространство возможно в линейном локально' выпуклом топологиче ском пространстве (ср. гл. I, § 3, п. 3).