Документ: Функциональный анализ, страницы 476-480

476	ГЛ. X. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ

лишь конечное число функций fh(x) отлично от нуля. Тогда по лагают

(/> ф) = 2 (/й. ф)- k=\

Можно показать, что значение (f, ф) не зависит от способа разбиения и что приведенная формула определяет каноническую регуляризацию в пространстве функций со степенными особен ностями.

Таким образом, построен алгоритм для регуляризации инте гралов вида J f(x)cp(x)dx, где f(x) — любая функция со степен

ными особенностями, а ф(х) — функция из пространства D. По лученные формулы применимы к более широкому классу функ

ций. Например, если функция f(x) имеет степенной		рост (т. е.
если существуют такие а, р и С, что	\ f (х) \| ^ С(1 +	\х \2) р	при
\х\ ^ а ) , то формулы регуляризации	применимы ко	всем	бес

конечно дифференцируемым функциям, убывающим вместе со

всеми производными при					\х\ —>оо		быстрее	любой	степени \х\.
П р и м е р	1.	Пусть		бесконечно			дифференцируемая			функция
ф(х) обращается в нуль вне отрезка [— я/2, я/2].									Из	формул
регуляризации следует, что оо
(ctg J		, Ф (*)) =			J	[ф() — ф (— )] ctg У dx.
Аналогично
-	т	Н		=	ф(-у) +		Ф(— X)	8(р (0)	dx.
-	т	Н	)	=	1	sin^
;ш	Т		)	0

Пр и м е р 2. Известное интегральное выражение

Г(Я) — J хх~]е~х dx

о

для Г-функции сходится лишь при ИеЯ>0 . Однако оно сохра няет силу при любых значениях X, %ф — 1, — 2, ..., если пони

мать интеграл в обобщенном смысле.			При	этом,		если	— п >
> R e A > — п — 1, то	формула в	развернутом				виде	записы-v
вается так:	/г —1
Г			-1)* хк		dx.
	"—2	■
			k\

h=Q

Л и т е р а т у р а : [12],

			§ 2. РАСХОДЯЩИЕСЯ ИНТЕГРАЛЫ								477
4.	Регуляризация в, конечном промежутке. Пусть
			( хх		при	х е	[О, Ь],
			х[0, Ь) \|	О	при	X <£=[0,		6].
Поскольку		функция ср(х)		может не равняться нулю в точке
х — Ь,	формулы п. 2 не			применимы			в	данном		случае.	При
Re X> —п — 1, К Ф —1, —2,					..., имеет место формула вида
		ъ
(ХК>, ьу	ф) =	J^	[ф(-ж) — Ф(0) — —			— \ п	- 1	)	1ф<П-1) (°)] d x +
		о			*Л+1					и^+п
					*Л+1					и^+п
			+ ф ( 0 ) х + Т +				•••	+	ф("_1) (0) 7^Г(Г+ П) •
Эту формулу			можно рассматривать как					регуляризацию			инте-
	ъ			— /г — 1< Re Я < — /г, то
грала	Jххц>{х)йх. Если			— /г — 1< Re Я < — /г, то						при 6	оо

о

формула переходит в одну из формул п. 2.

Пример . При любом значении К, отличном от —1, —2,

0

(при R e X< — 1 этот интеграл расходится и выражение в пра вой части дает регуляризованное значение интеграла).

Полезно отметить,	что при	0 < с <	Ъ для любой функции
ф(л:) из пространства D выполняется равенство
JЪх \ {х) dx — Jс х \		(х)dx +	Ь J (х) dx,
0	О		с

если под первыми двумя интегралами понимать указанное выше регуляризованное значение.

Аналогично предыдущему можно регуляризовать интегралы вида

Jь(х — а)%а (х) ф(х)dx

J (b — х)1 а (х) ф(х)dx,

а

где а (л;)— бесконечно дифференцируемая функция, а <р(я) — функция, совпадающая на отрезке [а, Ь] с функцией из простран ства D.

478 ГЛ. X. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ

Если точки а и Ъ являются особыми точками для .функции f(x ), то полагают

Ь	с	Ъ
\| / (х) ф (х) dx =	\| f (х) ф(х) dx +	\| f (х) ф (х) dx,
а	а	с

регуляризуя слагаемые справа указанным выше способом. По лученный результат не зависит от выбора точки с.

Примеры.

1. Равенство

1

В(Я, р) = J xx~l (1 — х ) ^ 1dx,

о

справедливое в классическом смысле при Re %> 0, Re р > О, остается справедливым при всех % и р, кроме значений — 1,

— 2, ..., если понимать интеграл в смысле регуляризованного значения. Однако в развернутом виде эта формула при

> — k, Re р > — 5 имеет такую громоздкую запись:

В	О	L			Г==0—0				dx -(-
	О	L			Г==0—0				j
					5—1			Г(Л)(1 - х ) г 1
+	J	( 1	-	Л -1	S'	,	1Ч Г	Г(Л)(1 - х ) г 1
+	J	( 1	-	*Х‘ Г	S'		;	г! Г (Л—г) J £?Х +
	Vi	л-1			г=О
		л-1		(~1)гГ(\|х)				5 — 1	с—1)гГ(Х)
	+	r=0S		(~1)гГ(\|х)					с—1)гГ(Х)
	+	r=0S	2r+Vl Г (ц —г) (г+ Я)					^2 2Г+^! Г (X - г) (г + ц) *
2. Интегральное представление сферической функции
				(х2 - 1)9/2		1		(1 —р)4-'1*
				(х2 - 1)9/2		/■		(1 —р)4-'1*
						/■	(x + < /x 2- 1)" Р
			2 « /я Г (? + «/>) _Ji				(x + < /x 2- 1)" Р

IX I > 1,

справедливое в классическом смысле при Re<7>—‘/г, сохра няет силу при всех q, q ф — ‘/г, — 3/г, .... если рассматривать регуляризованные значения интегралов.

Л и т е р а т у р а : [12].

5. Регуляризация на бесконечности. Пусть b > 0 и D(b, оо) — класс всех функций ф(х), каждая из которых определена и бес конечно дифференцируема при всех х > b и такова, что преоб разование инверсии ф(я) г* ф(1/*) переводит ее в функцию

§ 2. РАСХОДЯЩИЕСЯ ИНТЕГРАЛЫ

479

ф(х), совпадающую на интервале (0, 1/6) с некоторой функцией из пространства D. При Я Ф —- 1, 0, 1, ... по определению

оо	1/6
J А р ( x ) d x =	J y - %- \ { \ l y )	dy,
ъ	О
где интеграл в правой части	понимается в	смысле, указанном
в п. 4.	вид xxg ( x ) f	где g (х) — функция
Если функция f{x) имеет	вид xxg ( x ) f	где g (х) — функция
класса D(6, оо), то полагают
оо	оо
J f{x) qp(х) dx = J Xхg (х) qp(х) dx.
ъ	ъ

Аналогичным образом регуляризуютсяфункции на интер вале (— оо, — 6). Для регуляризации функции на всей оси по лагают

оо	— 6	6	оо
J	f(x) Ф (я) dx — j f(x) <р(л:) dx	j	f(x) <р(х) dx + J f (х) <p(л) dx,
— оо	— оо	— b	b
применяя к отдельным слагаемым			указанные выше	формулы.
	Примеры.			1
	1. Подстановка у — 1/х показывает, что приЯф —			1

оо1/6

j x * d x = j y - b - * d y = - j ^ L .

ь	о
(ср. пример’п. 4). Поэтому при %Ф — 1
оо	Ъ	оо
J хк dx =	J хх dx +	J xx dx = 0.
0	0	6
2. Равенство	оо
	оо

В (Я, ц )= J лА>(1 + x ) - K~*dx,

о

справедливое в классическом смысле при Re Я > 0, Re р > 0, остается справедливым при всех значениях Я и р (кроме Я, р = = — 1, —2, ...), если понимать интеграл в смысле регуляризованного значения.

3. Интегральное представление функции Макдональда

480	ГЛ. X. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ

справедливое в классическом смысле лишь при Rep > — V2, со храняет силу для всех р ( р ф — Ч 2, — 3/г, . ..)> если понимать

интеграл в смысле регуляризованного значения.

Ли т е р а т у р а : [12].

6.Неканонические регуляризации. В некоторых случаях ока зываются полезными неканонические регуляризации расходя щихся интегралов.

1) Пусть х + п ““ функция, задаваемая равенствами

х ~ п =	f х ~ п	при	х > 0 ,
	<	при	х < 0 .
+	1 О

Ей соответствует функционал (х ~п, ф) вида

оо

( х + а > ф) = | х ~ п [ф(*) — ф(0) — щ ' (0) — ...

■■•- oSir ч’1"-” <°>- тйуг ф<-1(0) е(1- лг)] Лх,

где 0 ( л ; ) =		О при х < 0 и 0 ( л ; ) = 1						при х		> 0. Этот функционал
не является значением функционала х^_										при Я = —п.
2)	Функции					0		при
					х ~ п	0		при	х	> 0 ,
					х ~ п	\| х	\|~"	при		< 0
						\| х	\|~"	при	х	< 0
соответствует обобщенная						функция
		оо
(л г у 1,	ф ) =	\|	Х~п [ф		( — л:) —	ф ( 0 ) +		Х ф ' ( 0 )	— . . .
		о
					••• -	( - 1)""17Г=Т)Г <Р(П_1) (0)0(1-)]<*.
Она	также		не	является		значением обобщенной функции х \
при X = — п .
3)	Функции \| х Г 2т~1 соответствует обобщенная функция
( \| X \-2т~\		ф) =		Jоо х~2т~11 ф (х) + ф (— х) —
	— 2 [ф(0) +				-\|р Ф" (0) + ...			+ - \| ^ ГФ<2'пЧ О )0(1 -л :)]}^ .
Эта	функция			не	является		значением			обобщенной функции
\| х р при Я — — 2т					— 1.

Материал: Функциональный анализ

Смотрите также: