Документ: Функциональный анализ, страницы 471-475

§ 2. РАСХОДЯЩИЕСЯ ИНТЕГРАЛЫ	471
Пр и ме р . Равенство
Ф (*) + ф (— х) — 2ф (0)	dx
м *

задает регуляризацию обобщенной функции | х | Вообще говоря, одна и та же функция может иметь различ

ные регуляризации. При этом регуляризации различных функ ций могут быть не согласованы друг с другом, так что, напри

мер, может нарушаться равенство	(/i + /2, ф) = (fu q>)-+ (/2, ф).
Вводится понятие канонической	регуляризации. Пусть L — ли
нейное пространство, состоящее	из функций f(x) (вообще го

воря, не локально суммируемых), каждая из которых имеет дис кретное множество особых точек и бесконечно дифференцируема на дополнении к этому множеству. Предполагается, что про странство L содержит вместе с каждой функцией f(x) все ее производные (на дополнении к множеству особых точек) и все функции a(x)f(x), где а(х) — бесконечно дифференцируемые функции.

Пусть каждой функции f(x) из пространства L сопоставлен линейный функционал (/, ф) — регуляризация этой функции. Эта регуляризация называется канонической, и функционал обозна чается через к.р./(х), если выполнены следующие условия:

1)	к. р. [Л,/, (х) + %2f2(*)] = %1 к. р. /, (х) + л2 К. р. f2 (х);
2)	к- р - Ш ~ г г ( к- Р' Пх));

здесь слева -gj — производная от функции в обычном смысле,

асправа — производная от обобщенной функции;

3)для любой бесконечно дифференцируемой функции а(х)

к. р. (а (я) f (*)) = а {х) к. р. f (я).

Примером пространства функций, для которого существует каноническая регуляризация, служит класс функций со степен ными особенностями. Точка Хо называется степенной особой точ кой функции f(x), если в окрестности этой точки функцию f(x)

можно представить в виде

ТП

f (х) = 2 а/ (х) hI (х),

где аj(x) —бесконечно дифференцируемые функции, a hj(x) — одна из следующих функций:

( х — х0)+> \ ( х —Х п)1, {х — х^ ~ 'п„ А ф — 1, —2, ..ч

472	ГЛ. X. ОБОБЩЕННЫЕ			ФУНКЦИИ
Функция	определяется равенством
		( хк	при ж>0,
	Х+	I 0	при л:< О,
а функция х \	— равенством
	.	[\ 0	при	х> 0,
		{ \ х\к	при	х<0 .

Функция f(x) называется функцией со степенными особенно стями, если она имеет на любом интервале конечное множество степенных особых Точек. Для того чтобы определить канониче скую регуляризацию в пространстве функций со степенными особенностями, сначала решают вопрос о регуляризации функ ций А , х~п.

Ли т е р а т у р а : [12].

2.Регуляризация функций ж*, ж*, х~п и их линейных ком

бинаций.

1) Если Re Л > — 1, то интеграл

оо

(*+> ф) = J А р (x)dx

о

сходится для произвольной функции ф(х) из пространства D и задает линейный функционал в этом пространстве. Чтобы оп

ределить		функционал				ф) при Re Л < — 1, используют усло
вие 2)		канонической				регуляризации.		Пусть	Re Л >	— п — 1,
Я Ф —1, —2,			. .. ,	—п,		...	Тогда Re (Я + п) >		— 1 и	потому
функционал				ф) определяется равенством
							оо
				(х^+п, ф) = J xl+nq>(х) dx.
							о
		р	/Л I	\| \
Но х \	== г (Л + П + 1) (A:++n)(”>• Поэтому в силу условия 2) должно
иметь	место равенство
(*+’ Ф)=		г(Я +		1)	l(xl+nf		\ ф] =
(*+’ Ф)=		Г(Я + « + 1)			l(xl+nf		\ ф] =
		Г(Я+1)		г..				г (Я + 1)	оо
		Г(Я+1)		г..		,ф (")]=(-1)"		г (Я + 1)	J xl+nqfnl(x) dx.
	Г(Л + п +			1 ) Г	+			Г(Л+П+Г) О
	Г(Л + п +			1 ) Г				Г(Л+П+Г) О

§ 2. РАСХОДЯЩИЕСЯ ИНТЕГРАЛЫ		473
Таким образом, при Re A> — п — 1	функционал	(хх+, <р) за
дается формулой	оо
	оо
И , 1') = < - 1)“ г№ + » + 0	J

Можно проверить, интегрируя по частям, что эта формула рав носильна следующей:

			1
(*+ >	ф	) = \|	Xх [ф (х) — ф (0)— х<р' (0) — ...
			(п Г)Г Ф(п_1) (°)] dx + { ххц(х) dx + ^			( 0 )
			(п Г)Г Ф(п_1) (°)] dx + { ххц(х) dx + ^			1)!(Я + k) *
				1	k—1
При	-	п — 1 < Re Л < — п		можно воспользоваться		более про
стой	формулой:
			оо		Jl—1
			хх \|^ф (х) — ф (0 )	— х<р' (0 ) —	Jl—1
(*+» ф) =			хх \|^ф (х) — ф (0 )	— х<р' (0 ) —	(« —1)! Ф(п -1 )
		о

Приведенные формулы и задают регуляризацию функций х%при Re А, < — 1. Следует отметить, что эта обобщенная функ ция не определена при А = — 1, — 2, ..., — п, ...

2) Обобщенная функция (х^, ф) задается при ReA> —п—1,

А ф	— 1,	— 2, ... , — п,	...,	формулой
(хх ,	ф) =	I	Ф (0)	+ xq>' (0) — . . .
(хх ,	ф) =	{ Xх [ ф ( — х) —	Ф (0)	+ xq>' (0) — . . .
		о

и при — п — l<ReA<— п	более простой формулой:
(хх, ф) = Jоо Xх [ф ( —х) — ф (0) +
о
+ дсф'(0)—	... — ( - 1)*-1	<P{a~l) (0)] dx.

3)Наряду с обобщенными функциями хх+ и х)_ иногда

полезно рассматривать их линейные комбинации (при

474

ГЛ. X. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ

X

1,

2, ...):

I х |я =

х \ +

х \,

| х I* sign х = х^_ — я*,

(х +

/0)я =

lim (х + 1г)к =

+

eiKnx \ y

в->+0

(х —

Ю)к =

l i m(х — ie)K= х \ +

е~апхК

е-*+0

+

Для этих линейных комбинаций можно указать более удоб

ные формулы. Так, при — 2т — 1 <

Re А, <

— 2т +

1

(U W ф) = Jоо х%{ф (х) + Ф(— х) —

о

-

2 [ ф ( 0) + 4 ^

<

° )

+

1

^

Ё

ж ' > '

При Х— — 2т пишут | х \~2т=

х~2т, так что

(Х~2т, ф) =

Jоо х ~ 2т | ф (х) +

ф (— х) —

о

{2-+

^

W<p(2m'

}dx-

-

2 [ф (0) +-

£ ф" (0)

+

. . .

2) Н

В частности,

ж)&—

l0)-dx.

(X-*,

Ф) =

J

ф(ж) +

<р(~

о

При

— 2т — 2 < R e ^ < — 2т имеет место формула

(U P1signх,

ф) =

Jоо

|Ф(х) — ф(— х) —

О

. . .{2С +

1-)\ Ф(2т_1)

-

2[x tf(0)

+

4

ф<» (0) +

(0)] )

При X — — 2т —

1

пишут |х |

2m_I sign х —

х~2т~1, так

что

оо

(x~2rn~l, ф) =

|*х~2т~1| ф (я) — ф (—

х) —

о

- 2 [xtf (0) +

4

ф(3) (0) + • • • +

V(2m~l) Н )

dx'

§ 2. РАСХОДЯЩИЕСЯ ИНТЕГРАЛЫ

475

В частности,

оо

т) „ Г	dx,
О
оо
(*-», Ф)= f	H fL r .T (-^ )-W (0 ) dx%

6 Выражение (х~1, ф) называется главным значением интеграла

Jоо	в с м ы с л е К о ш и .
— оо	А — — п обобщенная функция	(л: -ф- Ю)я определяется
При	А — — п обобщенная функция	(л: -ф- Ю)я определяется
равенством
	(х + Ю)~п= х~п -	Ь(п~1) (х),

а обобщенная функция (х — Ю)~п — равенством

(х - /о)- = + ■" ^ У -а(я"1) (*),

где (агп, ф) д л я четных и нечетных п определено выше.

Ли т е р а т у р а : [12].

3.Регуляризация функций со степенными особенностями.

Пусть функция f(x) имеет единственную особую точку ^ = 0 и может быть записана в виде

f	(х) = 2	а/ (к) h , {х),
где а/(х) — бесконечно дифференцируемые функции,				a h ; { x ) —
одна из функций х х	%, х ~ п,	% ф — 1, 2, ...	Тогда
		П
(/. ф )=		2 (А/, аУф).
	У==1
Так как а3-(я)ф(я)— функции		из пространства	D, то	все сла

гаемые в правой части имеют смысл. Этим определяется регу ляризация функции f ( x ) .

Аналогично определяется регуляризация функции f ( x ) , имеющей степенную особую точку х — XQ. Для любой функции f ( x ) со степенными особенностями можно построить такие функ

ции f k ( x ) ,	1 ^ k < оо, что	/ = 2 / ь	каждая	из функций f k ( x )
имеет одну	особую точку,	причем на	каждом	отрезке \х\ ^ а

Материал: Функциональный анализ

Смотрите также: