Документ: Функциональный анализ, страницы 481-485

		§ 2. РАСХОДЯЩИЕСЯ ИНТЕГРАЛЫ		481
4) Ф ун кц и и	\| х \|	2m s ig n л: со о тв етств у ет	о б о б щ е н н а я	ф у н к ц и я
(\| х \ ~ 2т s ig n л:,	<р) =	Jоо х ~ 2т \| ф (х) — ф (— х )	—
		О
- 2 [ * ф' ( 0 ) + - £ ф' " ( 0 )+ ... + (2/п ■" Т)Т<Р(2ст~1) (°)е (1 ~				*)] } d x -

Э та ф у н к ц и я не я в л я е т с я зн ач ен и ем о б о бщ ен н о й ф у н кц и и

I л: \|л s ig n JC при	Х =	— 2т.
5) Ф у н кц и и			—{\|	0	при	д. < 0
	х^+ тlnmх+		—{\|	0	при	д. < 0
			Г х Ч п т х		при	х > 0 ,
соответствует	при	ReA, >	— га — 1,		— 1, —2, . . . . обобщен
ная функция

(х+ lnm х+, ф) =

1

= J* lnmл [ф(дс) - ф(0)- хФ'(0) - . .. - - ( £ г | -у, Ф^-1*(0 )] dx +

о

		+	j ххlnm хф (х) dx				+	(- \)тт\ ф^-1) (0)
								(* — 1)! (Я, + k ) m+l '

При — га — 1 < ReА<<			— га	ее	можно		задать		более	простой
формулой:		Jоо х%In '” X [ф ( х )
(х * l n m Х + , ф) —					— ф (0) —
		о					-		Ф(ге-1) (Q)] d x .
			— Х ф '( 0 ) - . . .
Последняя формула получается из формулы для х^										(см. п. 2)
заменой	х % на	хЧпт х. Точно так				же	обобщенная			функция
xMnmx_	задается формулой,				получаемой			из	формулы для
х % заменой х % на хЧпт х.
Аналогичное		замечание			справедливо			для обобщенных
функций
x~"lnmx+,		х-"1 пв,х_		1 \| х Iх 1 пт		х 1\|,	\| х	sign х 1 пт \| х \|.

Они определяются формулами, получаемыми из формул для х-", XI", | х |S | х Iйsign х соответственно заменой х ~ п (или хх)

на x- "lnmx (или хЧпт х).

482 ГЛ. X. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ

6	)	Обобщенные функции In(лг -f- г'О) и ln(x — г'О) определяются
формулами:
		In (я + г'О) =	lim	In (х + г'е) =	In \| х		Ц- г‘я 0 (— х ) ,
			е->+0
		In (х — г'О) =	lim	In (я — г'е) =	In \| х		\| — г'я0 ( — я),
			£ +0
где,	как и выше, 0 (х) = 0			при х < 0	и	0 (х) = 1 при х			> 0 .
7)		Обобщенные функции (х + г'О)* In (х+г'О) и (х—г'0 )я In(х—г'О)
задаются формулами:
(х +	i 0 ) x In ( х + г'О) =
	*+ In х + + i n e iXnx x + e iXnx x In х _				при		Х ф — п ,
	(—1)" гя*-" Н- (— l)"-1 \				+	х ~ п In\| -У\|		при	Х =	— п;
(х -г'0		)Ч п (х - /0 ) =
	х х+ In х + — i n e ~ iXnx x +			e ~ iXnx x In x _		при % ф		— гг,
	{ - \ ) n~ li n x z n +		(—l)n~‘ 4		+	x ~ " \ n \ x \		при X =		- n .

Ли т е р а т у р а : [12].

7.	Обобщенные функции x x+ ,	x }	и	им аналогичные как
функции от параметра к .		была		основана на	равенстве
1)	Регуляризация функции х*±
(х^)' =	Я,х+-1. Существует другой	путь	регуляризации		этой

функции (приводящий к тому же результату), который основан на идее аналитического продолжения. Если <р(х) — фиксирован ная функция из пространства D , то выражение (X х., ср) является

аналитической функцией от % в полуплоскости Re % > —1. Про должая эту функцию аналитически на всю плоскость X, полу

чают значения	выражения		<р)	и	при	Re X ^		—1.	Оказы
вается, что при	R e X > —	n — l , Х		ф	— 1,	—2 , . . . ,		— п,	значе
ние этого аналитического		продолжения дается формулой п. 2 ,
а при — п — 1 < Re Я < — п — более					простой		формулой, при
веденной там же. Аналитическая функция						( х х+>	<р) имеет простые
полюсы при X =	—1 , —2 , ..		, —k,	. . .	Вычеты в этих полюсах
даются формулами			ф(А—О (о)
	Выч ( х х ,
			Ф)=	(ft-1)1		'
	А » = - А Ч	+

Можно сказать, что обобщенная функция х \ является анали тической функцией, зависящей от X, с полюсами в точках

§ 2. РАСХОДЯЩИЕСЯ ИНТЕГРАЛЫ

483

X = —1,

, —k,

причем

Выч х \ =

1)п/ 6 <fe-I) (*),

к — 1,

2, ...

^

1« —‘Я

Удобно нормировать обобщенную функцию х*, рассматри

вая

вместо

нее функцию

*+/Г(Я 4- 1).

Эта функция является

целой

аналитической

функцией

от

X,

принимающей

при

Л,=

— 1........ — к, ...

значения

6№-1)(х)

(поскольку

функция

Г (Я 4-1)

имеет

полюсы

в

тех

же точках, что и функция

Разложение функции

х^. по

степеням

X — Я0, Я0 Ф — 1, . . .

. .

— к, . .

имеет

вид

*£ =

*£ + (Я .-^ д $ 1 п х + + •••

+

-(Х~ ! оГ Д^1п” х+ + ...

Разложение же х^

по степеням X + k

имеет вид

, _

( - ! ) * - « а<*-»(ж)

1

к

—

,и

,ч.

Г + й

^ Х+ +

(ft -

1)1

Я-

+

(Я + k) x~kIn х++

...

+

- ^

х~к \пт х+ + ...

Аналогичные утверждения справедливы для функции х*.

Она

имеет

полюсы

при

Х =

— 1 , . .. ,

— k,

... с

вычетами

Ь(к' 1) <*)

.

u

А

г

£

1)

является

целой

■

Нормированная

функция

аналитической функцией от X, принимающей

при X — — 1, .. .

.... — k,

...

значения (— l)*-16(ft-1) (х). Имеют

место

формулы:

=

х1* + (Я -Я 0)хЧ п х _ 4 - ... 4~—

* Чп - х _ + ....

^0

1 >

2, • . . ,

k9 • • • t

6(k~]) (х)

1

(k —1)!

X + k +

* z k +

-f- (Я -f- k) x~^ In x__ -{-

.

+

(Л

xzk In- x_ -f-

2)Обобщенная функцияК| х | является аналитической функ

цией	от X, имеющей	простые	полюсы	при X — — 1, —3, . . .
. ..,	— 2/г — 1, .. . с	вычетами
		Выч \| х f	2Ь(2к) (х)
		Выч \| х f	(2ft)1	*
	Л=—2ft—1		(2ft)1	*

484 ГЛ. X. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ

Нормированная функция	I X I	аналитическая
Нормированная функция	^^ qr^j/2) — Целая	аналитическая
функция от Я, принимающая при Я = — 2 k — 1		значение
( -	\)k k\bm (х)
	(2ft) I

Справедливы формулы:

\| х Г	=1* Г +	( Я	- Я 1П0 )\| \| ** \| х+ ,				• • •
				...	+	(Я — Я0)т \| х \|Л\|11пт \| л: \| +
		К ф — 1, — 3,				— 2 k — 1,
■ л _	2б(2*> (х)	_____ 1		и	г 24-' +
1 1	(2ft)I	Л + 2Й+1		и	г 24-' +
		+ (Я +	2А: +	1)\| лгI—2fc-l l			n U I + . . .
			...	+	(A, +	ml	\ X \I—2fe—1lnm\ x I +
					(A, +	2ft +	1)”

3)Обобщенная функция | x f sign x также аналитична, имеет

простые полюсы при			Я = — 2,	—4, ....	—2k, ...			с вычетами
		В ш	1 х f sign х = — 2		ffi- ■
Нормированная		функция р		2У/1) является		целой		аналитиче
ской	функцией	от	Я, принимающей		при	Я =	— 2, — 4, ..
. . . .	— 2 k ,...	значения
		,	,4ft ( f t - 1)1
		1	4	(2ft- 1 ) !
Справедливы формулы:
I х \|л sign х = \| х f* sign х + (Я — Я0) \| х \%>In \| х \| sign х							+ ...
				... + - JjL \|* \|A',,lnra\|* \|s ig n * + ....

А Ф — 2, — 4, . . — 2 k y

§ 2. РАСХОДЯЩИЕСЯ ИНТЕГРАЛЫ

485

и
I х Iх signx = - 2	+	\х re s ig n * +
+ (Я + 2k) \| х \|	2к In\| х \| sign х +			•..
... +	( Я + Щ	т	I х I 2к	In'" I X I sign X 4- ...
... +	ml		I х I 2к	In'" I X I sign X 4- ...

4)Обобщенные функции (я + гО)* и (лг — г0 )я являются целыми

аналитическими функциями 9				т Я. Они принимают при А =	— 1,
— 2	, . . . ,	— k , ...	значения
		е + ю	г ‘ - * - ‘ -
		(* - 1	0)-* —	йи ~ " ( х )
соответственно.
	Ли т е р а т у р а : [12].
8	.	Однородные обобщенные функции. Обобщенная функция
f(x)	одного переменного называется однородной функцией				сте
пени Я, если для любого а >				0 выполняется равенство f(ax) =

= axf(x). При каждом Я однородные обобщенные функции сте

пени Я являются линейными комбинациями двух линейно неза висимых однородных функций. В качестве этих функций можно

взять, например, (х + Ю)*' и (х — Ю)\	При	Я =й=—1, —2, ...
..., —k , ... можно взять функции х+ и	х_,	а при Я = —k —

функции х~к и Ь(к~1) (х).

Обобщенная функция f(x) называется присоединенной одно родной функцией степени Я и порядка пг, если имеет место ра

венство

f (ах) — axf (х)-\- ax\nm af0 (х),

где fo(x)— присоединенная однородная обобщенная функция

степени Я и порядка m — 1 (однородные обобщенные функции степени Я совпадают с присоединенными однородными функ циями той же степени и нулевого порядка).

При любом значении Я существуют две линейно независимые присоединенные однородные обобщенные функции степени Я и порядка т , линейными комбинациями которых являются все та кие функции. При любом Я можно выбрать (х + i0)x\nm(x + /0)

и( х — iO)Mnm(x — i0). При Я ф — 1 ........— k, ... можно взять

функции x^lnmx+ и xMnmx_, а приА = — 1 , .... — k , ... — функции x^k1 пт х+ и x~ft 1 пт х_.

Ли т е р а т у р а : [12].

Материал: Функциональный анализ

Смотрите также: