§ 2. РА С Х О Д Я Щ И Е С Я И Н Т Е Г Р А Л Ы |
487 |
в нуль на полуоси (—оо, 0), задается формулой Коиш: X
U ( * ) = J fW ( * - tr' dt.
о
Эту формулу можно записать в виде
fq
По аналогии с этим равенством первообразная порядка Я от обобщенной функции f(x)> равной нулю на полуоси (— оо, 0), определяется следующей формулой:
Обобщенная функция |
Х*-1 |
обозначается |
через Фх(х). |
|||||
ТЩ" |
||||||||
В п. 7 было показано, что |
|
|
|
|
|
|||
Ф-* (х) = |
lim |
хь-1 |
= б№) (х) |
(k = О, |
1, |
.. .)• |
||
1 W |
||||||||
Поэтому |
K->-k |
|
|
|
|
|
||
|
Ф_, (X)= |
|
|
|
|
|||
f-k(X) = |
/ W * |
/ ( * ) * |
6(k>(X) = |
fk)(X). |
||||
Таким образом, первообразная порядка —k есть не что иное, как производная порядка k от обобщенной функции f(x). В соответ ствии с этим полагают для любого К
Справедлива формула
(fi |
( |
dyf \ |
rf3+vf |
dx3 |
\ |
dxy ) |
C?A:3+Y |
вытекающая из равенства
фр * Фу = Фр+г
Для функции Фц(л:)
dx / JFlJr1'N_
dx% Vг (и) / г (I*—Л) *
В частности,
dxe(x) х+х
488 |
ГЛ. X. ОБОБЩЕННЫЕ |
ФУНКЦИИ |
|||
|
|
|
|
|
- k - X - \ |
|
г(*(*’ W) |
T(— k — X) |
|||
|
dx‘ |
|
|
||
|
Л-k-l |
|
|
||
|
-Ч Л — |
------) = 6(k) (*)• |
|||
|
dxK \ Г (Я - |
k) ) |
|
W |
|
Интегральное уравнение Абеля |
|
||||
|
g fr) — |
|
1 |
f |
f(t)dt |
|
' |
Г (1 — a) J ( x - t ) a |
|||
можно записать в виде |
|
|
|
|
|
где Я = —a + |
1. |
|
|
|
|
В силу формулы для свертки функций Ф*.(х) |
|||||
g (х) * Ф_а (х) = / (х) * Фл (х) * Ф_А(л:) = / ( * ) * 6 (л:) = / (л:). |
|||||
При О <С а < |
1 получается формула |
|
|||
|
f М = г ( a h ) |
I |
(* - |
0“- 2 г (0 dt, |
|
где интеграл понимается в смысле регуляризованного значения. Если g (x )— дифференцируемая функция, то последнее ра
венство можно записать так:
я
f (*) = ТГ5Г J ^ “ О"-1 g' W dL
О
Л и т е р а т у р а : [12].
11. Выражение некоторых специальных функций в виде про изводных дробного порядка. Пользуясь операциями дифферен цирования и интегрирования дробного порядка, можно кратко записать интегральные представления некоторых специальных функций. Например, для г и п е р г е о м е т р и ч е с к о й ф у н к ции справедливы следующие равенства:
Л-1 |
р—v |
|
О < x < |
1, |
F{а, р, у; х) |
|
Г(Р) |
||
Г(у) |
|
|
|
|
CV-1 (1 _ ^a+p-v |
|
|
|
|
F (a, p, у; л:) = |
|
|
|
|
Г(у) |
d-& Г 4 -Р -1 (1 _ х)“-гГ |
|
||
|
* < 1. |
|||
|
dx~*{ |
Г (у — P) |
0 < |
|
|
L |
|
||
§ 3. Ф У Н К Ц И И Н Е С К О Л Ь К И Х |
П Е Р Е М Е Н Н Ы Х |
489 |
|
Для б е с с е л е в о й ф у н к ц и и |
справедливо равенство |
|
|
7-P-V* |
os V x |
|
|
2PV n x Pl2Jp(Vx)-- |
|
V7 J- |
|
dx-P-V2 |
|
||
Пользуясь формулами дифференцирования и интегрирова ния, можно получить из этих выражений ряд соотношений для гипергеометрической и бесселевой функций. Например, беря производную порядка —q — 1 от обеих частей последнего ра венства, получают
[ Л |
, ( У * 2) q+lxip+q+l),] = |
2Jp+q+l ( V D . |
В интегральной форме это равенство означает следующее:
2q+lx(p+q+mJp+q+l W~x) = J tpl2Jp(VT) j * ~ dt^ .
0
Ли т е р а т у р а : [12].
§3. Некоторые обобщенные функции нескольких переменных
1. Обобщенная функция гК Аналогом обобщенной функции |х|* для функций многих переменных является обобщенная
функция r \ r — Y x\-\- ... |
+ х *. |
При Re %> |
—« она задается |
формулой |
|
|
|
(гк, ф ) = г%ф| ( х )dx = |
|
|
|
== J (х\ Ч- |
• • • Н~ |
■**) Ф (■*!» • • |
• > •*•„) d x l . . . |
Выражение (г\ <р) является аналитической функцией от X в об ласти Re X >> —п. Продолжая аналитически эту функцию, по лучают
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
(Лф) = 0 „ | |
гг1+л~15ф (г) dr, |
|||
|
|
|
о |
|
|
|
где Q„ = |
2 (VH)n |
|
|
|
единичной сферы |
|
Г(п/2)---- площадь поверхности |
||||||
n-мерного пространства, S 9(r) — среднее значение функции ф(я) |
||||||
на сфере |
радиуса г и |
интеграл в |
правой части понимается |
|||
в |
смысле |
регуляризованного |
значения |
(как (г^+п-1, 5ф(г))). |
||
В |
точках % = — п, |
— п — |
2, |
. . —. ,n — 2k% . .обобщенная. |
||