Материал: Функциональный анализ

(Q + /О)2 ( 2 +

сматриваемой обобщенной функции при %— s.

Ли т е р а т у р а : [12].

5.Обобщенные функции на гладких поверхностях. Пусть по­

ляют следующим образом. В достаточно малой окрестности Ux любой точки х поверхности S вводят новые координаты, поло­ жив «1 = Р и выбрав остальные координаты иг, .... ип произ­

вольно, с тем лишь ограничением, что якобиан D ^ j отличен

от нуля в Ux■Если функция <р(х) обращается в нуль вне Ux, то полагают

В общем случае разлагают функцию ф(х) на слагаемые щ ( х ) 9 обращающиеся в нуль вне окрестностей UXh-

Можно показать, что обобщенная функция б(Р) зависит только от функции Р, но не зависит от выбора координат ии ... , ип- Эту функцию можно определить также следующим образом. Пусть 0(Р) — обобщенная функция

§4. Преобразование Фурье обобщенных функций

1.Мультипликаторы и свертыватели. В главе II, § 1, п. 4

дано определение преобразования Фурье обобщенных функций, рассматриваемых как функционалы над линейным простран­ ством Е, плотно вложенным в S. Это преобразование опреде­ ляется формулой

(Р, ф) = (F, ф),

где ф— преобразование Фурье основной функции ф.

Есть иное определение преобразования Фурье обобщенных и быстро растущих функций. Пространства растущих функций интерпретируются как пространства мультипликаторов в некото­ рых пространствах быстро убывающих бесконечно дифференци­ руемых функций.

Пусть Ф и W — линейные топологические локально выпуклые пространства функций или функционалов, и Ь(Ф, 4я)— простран­ ство линейных непрерывных операторов из Ф в W с топологией ограниченной сходимости. Пусть М(Ф, 4я) — замыкание в £(ф, 4я) пространства операторов умножения на функции из S. Например, M(Dt D) — пространство С°° всех бесконечно диффе­ ренцируемых функций, M (S ,S ) — пространство бесконечно диф­ ференцируемых функций, имеющих вместе с производными лю­ бого порядка степенной рост, M (Z ,Z )— пространство целых аналитических функций экспоненциального типа, имеющих на

тывателями. Топология в М(Ф, 4я) и С(Ф, 4я) задается тополо­ гией пространства £(Ф, 4я). Для краткости М(Ф, Ф) обознача­ ется через М(Ф), а С(Ф, Ф) через С(Ф).

Пусть пространство Ф состоит из непрерывных суммируе­

мых функций и через Ф обозначено пространство преобразо­ ваний Фурье функций из Ф, а через Ф* — сильно сопряжен­

ное с Ф пространство. Топология в Ф индуцируется тополо­

М(Ф, 40~ С (Ф , чо

и, в частности, М(Ф) « С(Ф).

но. Если в Ф определено и ограничено отображение ф-*ф, то

Отметим еще, что

М {М (Ф)) « М (Ф), С(С(Ф))«С(Ф).

Л и т е р а т у р а : [13], [308].

2. Пространство типов S и <ЁГ. Пространство S замкнуто от­ носительно операций умножения на независимые переменные, дифференцирования, умножения и свертки - функций. Построен широкий класс пространств, обладающих указанными свойст­ вами. Пусть