Материал: Функциональный анализ

Скачать

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

506

ГЛ. X. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ

№

Обобщенная функция f (*)

п/п

0

Обычная

интегрируемая

 

функция f(x)

1

6(х)

 

2

*+ ( Я

# - 1 , - 2 , ...)

3хп х +

4в(х)

5x i

(К ф — 1, — 2, . . .)

6х п

7(х + i0)K

8(х — i o f

9

\ х \ к ( Я * - 1 ,

- 3 ,

...)

10

| х |Аsign х

 

 

 

(Я =7^=— 2,

— 4,

. . . )

11хт

12х~ т

13х ~ 1

14X- 2

151 X r 2m—1

16х~2т sign л:

17*+ 1пх+

( Я ¥ = - 1, - 2, ... )

Таблица 1

 

 

Ее преобразование Фурье f (s)

 

 

 

оо

 

 

 

/=• [/J =

Jf n x ) e ixsdx

 

 

 

—ОО

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

А (Я) (s + ГОГ*-1 =

А (Я) s^

- 1 +

 

 

 

 

 

+

В (Я) s I A_I

in+lnl s~n~ l + ( - /)" я6(ге) (s)

 

/s’-1

+ яд (s)

 

 

 

В (Я) (s - Ю)-А- ‘ =

Л (Я) SZA_I +

 

 

 

 

 

+

в(Я) s; x- ‘

( - i)n+1 n\ s~n- 1+

tnn6(n>(s)

 

2ne

z

_ A,_I

 

 

Г ( -Л )

s-

 

 

 

2ne

- a

f

 

 

 

 

„—л_ 1

 

 

Г ( - Я )

s+

 

 

 

С (Я )|5 Г а- '

 

 

 

/£> (Я) | s |-A_1 signs

 

 

2 ( -

i)m я6(т) (s)

 

 

im (m — 1)1 ^

‘ slgns

 

in sign s

 

 

 

 

— я | s |

 

 

 

 

c(2m+l)s2m _ c(2m+l)s2m l n | s |

 

t.d(2m)s2m -l _

;rf(2m)s2m -l | g |

ie

л

- f f

Г

 

 

 

 

M

Г(Л+1) +

 

 

l L

+/ - £ г ( Я + 1 ) ] (s + /О)- A_1 —

- Г (Я + 1) (s + /0 )-А~ 1 In (s + iO) |

§ 4. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ

507

№

Обобщенная функция f (х)

п/п

18

х \ In *

 

(X ф — 1, — 2 , ... )

19 In**

Продолжение табл. 1

Ее преобразование Фурье F (s)

 

- i e - д т2 г| г[ Г'(Л - bD —

 

- » у Г ( Я + 1 ) ] (s - Z O ) - * - 1-

 

- Г (Я + 1) (s - ГОГ*” 1 In (s -

ГО) |

*•{(г a )+ «•-£) [(s+ ГО)-1 —

 

— (s + /0)- 1 In (s +

ГО)] |

20In х -

21\х |* In I X I

(Я Ф

1»

2, •..)

22 ! х Г In | х | sign x

( К Ф - 1, -2 , ...)

[(s- Г О Г 1-

- (s - ГО)- 1 In (s - ГО)] |

ie

Л т г г

 

 

+

 

 

 

 

| ^ Г ( Я + 1 )

 

 

 

+

< у Г ( Я + 1 ) ]

(s +

ZO)-*-1-

 

 

-

Г (Я + 1) (s +

/О)-

*- 1 In (s + /0) | -

 

- i e

~ а Т ( Г

 

 

 

 

 

2

| [Г ( Я + 1) -

 

 

- / | - Г ( Я

+

1)] (s — <0)“ *—1—

 

 

 

-

 

Г (Я +

1) (s - ГО)- * - 1 In (s -

iO) }

ie

a

T

j

( Г

 

 

+

 

 

 

 

|г '(Я + 1)

 

 

 

+

< у Г ( Я +

1)] (s +

/О)- * - 1 —

 

 

-

Г (Я + 1) (s +

/О) - * - 1 In (s + iO) | +

 

+ le

- а Т ( Г

 

 

 

 

 

2

| | г ' ( Я + 1 ) -

 

 

-

/

 

Г (Я +

1)] (s -

ГО)- *- 1 -

 

 

 

-

 

Г (Я +

1) (s - ГО)- *-1 In (s -

ГО)}

508

ГЛ. X. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ

№

Обобщенная функция f (х )

п/п

23x~~2m In | X |

24х~2т~ Ч п \х \

25| лг|“ 2т~ 1In | х\

26| х г 2т In I л; | sign х

Продолжение табл. 1

Ее преобразование Фурье f (s)

c(2m)|s |2m - l _ c(2m) | s |2 m - lin |s |

id f m+l)s2m sign s —

- i4 2m+'ls2m In | s | sign s c(2m+ l)s2 m _ c(2m+l)s2m,n | 5| +

+ ^ c (l ? +l)s2m In2 \S\ idfm)s2m-\ _ W(2m)s2m-1 ,n | s | +

 

 

 

 

 

+

y d i! ? )s2m1ln2 |s |

27

U ~ X %

 

 

/ я Г (Л + 1 ) ( |)

^

h +4,(s)

 

( Х Ф - \ ,

- 2 ,

...)

 

 

 

 

 

28

 

 

 

v~n d p

' /_„+*<*)

 

 

29

(1 + * 2)*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

30

 

 

 

 

/ - 1 s

Г я-'/*

 

 

 

 

- Г ( Я + 1 ) У ^ |у |

 

i V . ^ d s I )

 

{ Х Ф -

I,

- 2 ,

...)

 

 

 

 

 

31

 

 

 

2 я ( - 1 ) « ( 1 + - ^ - ) Пб(5) +

 

 

 

 

 

+

( - l ) n+1/ *

( y

)

П” ,/а/ п+1/г(5)

32

еЬх

 

 

2я6 (s — /6)

 

 

 

 

33

е#П

 

 

Функционал (f* ф) =

 

i OO

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= — 2JX

f

e5*72ф (s) {/s

 

 

 

 

 

 

 

 

—/ OO

34

6<2т) (х)

 

 

(—l)m s2m

 

 

 

 

35

6(2ш+1)М

 

 

( - D m ;s2m+l

 

 

 

 

36

sin bx

 

 

— In [6 (s + b) — 6 (s — 6)]

 

37

cos b x

 

 

я [6 (s +

b) + 6 (s -

 

6)]

 

 

38

Многочлен

Р ( х )

 

 

 

 

 

 

 

2 л Р ( ~ 1 - к ) ь { 8 )

§ 4 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ

509

Коэффициенты а{*\>

а^

и а\п)

имеют вид:

 

 

 

•л-1

 

 

 

 

 

 

 

 

чЫ)_____

'

 

 

 

 

 

 

 

-I

( / г - 1)1

 

 

 

 

 

 

 

 

,л—1

 

 

 

+ d r + •’'«> + if].

 

4”,=5T=TF[I + T +

 

 

 

;Л—1

/г-1

>

 

+

 

2

i

-

fl<n)

(п — 1)!

£

 

 

 

 

/=1

 

 

млI¥*k

 

 

 

 

 

 

 

 

1</, /г<я-1

 

 

 

 

+

( 1 + у +

••• +

Г ^ Т )Г'(1) +

Г"(1) +

 

 

 

 

 

+

г’т [ 1 + 4

+

+ 7 3 Т + Г'( 1)]}-

 

 

Коэффициенты

Ы*\ и т. д. выражаются

через а^} по фор­

 

мулам:

__

 

 

 

 

d f = 2 1 m а£К

 

 

bin) = a(n)t с(п) = 2 Re а<£\

 

В частности,

( - г

-

 

 

 

 

 

 

 

ЬМ :

’

МП)

(п--1)!

 

 

 

 

( п -

1)!

-1

 

 

 

л\п)_ 2 (—1

.

/

<ч я

 

 

 

Ли т е р а т у р а : [12], [309], [310], [311].

5.Положительно определенные обобщенные функции. Пусть

Е— функциональное пространство, содержащее вместе с любой

функцией (р(х) функцию <p*M= <p(— х)у а вместе с любыми двумя функциями ф и ф их свертку ф*ф. Линейный функционал

F в Е называется положительно определенным, если для любой функции ф(х) из Е выполняется неравенство (F, ф*ф*)>0. Для того чтобы обобщенная функция в пространстве D была поло­ жительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы она являлась преобразованием Фурье положительной меры степен­ ного роста.

Положительно определенные обобщенные функции в про­ странстве Z являются преобразованиями Фурье положительных мер. Обратно, преобразование Фурье любой положительной меры является положительно определенной обобщенной функ­

цией в пространстве Z.

 

 

При К>

—-1 обобщенные функции

 

 

*

пК1

 

- 2 sin

Г (X + . 1) | х Г * -\

1е 2 Г (А + 1)

(х + /О)"*"1.

 

пЫ

 

 

 

- i e 2 Г(А +

1 )(х -Ю Г * -‘

 

510 ГЛ. X. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ

положительно определены (они являются преобразованиями

Фурье положительных обобщенных функций | х |\ х+, х~). Любая положительно определенная обобщенная функция

может быть представлена в виде F = (1—-Д)т/(х), где f(x) — положительно определенная непрерывная функция, Д — опера­ тор Лапласа. Свертка двух положительно определенных обоб­ щенных функций положительно определена.

Отмеченные результаты позволяют получить описание ин­ вариантных относительно сдвигов положительно определенных эрмитовых функционалов. Функционал В(ф, ф) называют эрми­ товым полуторалинейным, если при фиксированном ф он ли­ неен и непрерывен относительно ф, а при фиксированном ф он антилинеен и непрерывен относительно ф. Функционал В(ф, ф) инвариантен относительно сдвигов, если

В (ф (х + h)f ф (х + Щ) = В (ф, ф).

Если В(ф, ф)>0, то функционал называется положительно определенным.

Всякий положительно определенный инвариантный относи­ тельно сдвигов эрмитов полуторалинейный функционал в про­ странстве D имеет вид

В(<р, Ф) = | ф(Я)ф(А)йр(Я),

где (ы(Я)— некоторая положительная мера степенного роста, а ф(Я) и ф(Я)— соответственно преобразования Фурье функции ф(х) и ф(х).

Ли т е р а т у р а : [15].

6.Условно положительно определенные функции. Обобщен­ ную функцию F называют условно положительно определенной порядка s, если неравенство {AAF, ф*ф*)^>0 выполняется для

всех основных функций и всех линейных однородных дифферен­ циальных операторов А порядка s с постоянными коэффициен­ тами. Всякая условно положительно определенная обобщенная функция порядка s в пространстве D имеет вид

Здесь Qo — Rn — {0}, ф(Я) — преобразование Фурье функции ф(я), (X— такая положительная мера степенного роста, что

J

|Я|2‘ ф ( А , ) < + ° ° ,

о < |я,|< I

Источник: https://studfile.net/preview/19992813/

Смотрите также: