Документ: Функциональный анализ, страницы 516-520

516		ГЛ. X. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
при п > 2	соответствует фундаментальное решение —				г2-я
				-----оттт- .
где г =	+	1/2		\п	) ъп
		... +*;;) .	— площадь поверхности		единич
ной сферы, а		при п = 2 соответствует решение — 2я 1° у • По

этому решением уравнения Пуассона Ди = р при условии, что массы р(х) сосредоточены в ограниченной области, служит при

п > 2 функция

и ( х и . . . , х я) —	1
	{ti —2) £2# j

( £ ь • • •> I n ) d ^ i . . .

/г-2 *

f ( * i - i l ) 2 + . . . + ( X n - tn ) 2] 2

теперь уравнение содержит время t. Пусть

— линейный дифференциальный оператор с постоян

ными коэффициентами, имеющий относительно t порядок т.

Соответствующим ему фундаментальным решением задачи Коши называют обобщенную функцию Е (х, t) такую, что

~§г)^(х' 0 =	0 и выполняются начальные условия
Е {х,	0) =	0,		дтГ2Е (х, 0) _		л
Е {х,	0) =	0,		d t m - 2	~	U
	дт~ ’ Е(х, 0)			Ь(х).
		dtm~ l		Ь(х).
		dtm~ l
Решение задачи Коши		для	уравнения		Р (у~	,	и (х, t) = 0
с начальными условиями
и(х,	0) =	0........ " OT^ f --			= 0 ,
	дт		0)	dt
	дт		0)	: ^m-l (-О
		dtm~ l		: ^m-l (-О
		dtm~ l

имеет вид

и (х, t) — E (х, t) * «m_j (х)

(при условии, что свертка имеет смысл).
Решение задачи Коши с начальными условиями
и (х, 0) =		am-2и (х, 0)			1« (лг, 0)
		0,	dt	m—2	m—1
					d/1
также	можно	выразить через функцию E (лг, t). Для				этого по-
лагают	v (я,	t) — E(x,	t ) * u m- 2 {х) и обозначают			u,m-i{x) =
dm~ l v (x, 0)		, Тогда решение указанной задачи Коши имеет вид
— atn-1
		- ^ ±	- Е ( х ,		0 * й т _,(*).

§ 5. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 517

Аналогично получается решение задачи Коши, если отлична от нуля производная (m -- k)-ro порядка. Решение задачи Коши в общем случае является суммой таких решений.

гт	ди	д2и
Для одномерного уравнения теплопроводности	— =	ОХ
фундаментальное решение задачи Коши имеет вид	Ol	ОХ
фундаментальное решение задачи Коши имеет вид
t > 0 ■

Поэтому решение задачи Коши при начальном условии и(х, 0) =

— и0(х) дается формулой

		oo		J l
и (х, t) = E (,х, t ) * и0 (х ) =		J		J l
и (х, t) = E (,х, t ) * и0 (х ) =	2 V n J	J			At Щ(.x ■
Для волнового уравнения	=		ФУнДаментальное реше
ние задачи Коши имеет вид
Е(х, t) = 2	При	I X I <			t,
Е(х, t) = 2	при	\х\ > t .
0	при	\х\ > t .

Пользуясь им, легко получить решение задачи Коши для этого уравнения в форме Даламбера.

Отметим следующее утверждение:

Если Е (х, t) является фундаментальным решением задачи Коши для дифференциального уравнения

то функция					f	0	при	t <	0,
					f	0	при	t <	0,
			£°	^	\	Е (х, f) при		t ^	0
является		фундаментальным					решением		для	оператора
д	(	д \	т• е. удовлетворяет уравнению
	— Pli		т• е. удовлетворяет уравнению
					p ( i - § ;) £ « (> :, t) = 4 x , t ) .
	Определение функции E0(x,t)						означает, что для любой функ
ции <р(х, t)		из пространства К
		(Е0 (х, t),		ф (х,'	t)) — Jоо (Е (х, t),			ф(х,	/)) dt.
						о

518	ГЛ. X. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ

В левой части равенства Е0(х, t) применяется к основной функции двух переменных <р(х, /), в правой части под знаком интеграла E(x,t) при каждом фиксированном / > 0 применяет ся к основной функции одного переменного ф(х, t).

Л и т е р а т у р а : [12], [67], [68].

2 . Фундаментальные решения для некоторых дифферен циальных уравнений. Для итерированного оператора Лапласа А™ фундаментальное решение имеет вид

(-1)т (2я)ге

2т> п и п — четное,

Е ( Х ) :

Qn

г2 т - п jn г> если

(— \)т [2п)п С-2тг2т~п

в остальных

случаях,

л

/о

п/2 Г ((Я -f- tl)/2)

s^(2m)

— вычет

Ск при

Я =

— 2т.

где

Сх — 2

я ' —

и CLi

Д л я в о л н о в о г о у р а в н е н и я

д2и

+

—

дг

дх 2

+

••• +

dxl

в нечетномерном пространстве, п = 2т +

3,

т = 0,

1,

2,

фундаментальное решение задачи Коши дается формулой

а (г -

О

t

(Q„_i — площадь поверхности

(n — 1)-мерной

единичной сфе

ры). Поэтому при начальном условии

и(х, 0) =

0,

=

решение задачи Коши имеет вид

и (X, t) =

я

1 ( d \т

Ь (г —t)

г / .

- i f n

/

d

/гч

/ 2 0 ^ У

Т а ^ г ( т л ) *

где

Mt{f)

означает

среднее

от

функции

/(х — £)

по

сфере

ш

= *•

Фундаментальное решение задачи Коши для уравнения теп лопроводности в n-мерном пространстве дается формулой

§ 5. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 519

Фундаментальные решения для дифференциальных операто ров вида Lht где

	п	д2
L —		д2
L —	2 gap дха дх$ *
имеют следующий вид:	a, (3=1
имеют следующий вид:	число,	или если	п — четное		число и
1) Если п — нечетное	число,	или если	п — четное		число и
k < м/2, то
я		■kj V\ д\|
Я, М = (-1)‘	П у -	■kj V\ д\|		——+k	,
Я, М = (-1)‘		(Р+Ю)		2 +	,
где	4* ( £ -	1)! я 2
где
Р = h gapap>		2	= Sa
a, (3=1		(3=1

(относительно обозначений, связанных с квадратичными фор мами Я, см. § 3, п. 2). Второе фундаментальное решение имеет

вид Е 2(х) = Е I (X).	и k ^	п/2, то
2) Еоли п — четное число
(*) = ( - ! ) ' --1			(Р+Ю) " +к In (Р + Ю),
4* (k- n/2)\(k- I)!
£ 2 W	= £ I	( х ) .

Ли т е р а т у р а : [12].

3.Построение фундаментальных решений для эллиптических уравнений. Пусть P (-JJ ) — дифференциальный оператор по

рядка 2т с постоянными коэффициентами, Я0— главная часть этого оператора, содержащая лишь производные порядка 2т.

Оператор	Р называетсяэллиптическим, если призамене			в Ро
символов	д	д	сопполучается
	-д— ,	-г—переменными о си , . . . ,
	С/Х1	OXfi
многочлен Р0( coi,		со»), не обращающийся в нуль при со Ф О
(со = (соь	. . . . СОтг) )•			хп),
Для получения фундаментального решения Е{хи лг2,

соответствующего эллиптическому оператору Р, заменяют урав нение

уравнением

p(JL)u = -

г = (х‘ + ... + x l ) \

520 ГЛ. X. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ

После этого разлагают обобщенную функцию гк на плоские вол ны (см. § 3, п. 1) и решают уравнения

р ^ d

j ^ __

I

+ • . .

+ 0>/г*/г 1^

/г-1

Qnn

Г

Интегрируя

эти решения

по

со

и

полагая

А =

— /г,

получают

искомое

фундаментальное

решение

(поскольку

при

А = — п

обобщенная

функция

2

"+п\

Равна

6(*))-

Таким

путем

-----д

получают

Е {x\j

• .., хп) = J Vft (cojATj -j-

... -j- (&nxn,

ti) dQ,

Q

где Q — единичная сфера,

oo

Va(h

Я) = -----;prr----------

f G (£ — У], (0) | r\ t dt\,

Qnn

2 Г

~°°

И

р(щ-Щ. ....

1, со) = 6Ш.

В случае нечетного числа' измерений

£(*1, ..

Х„) =

С,

Q

где

/г-1

/Г —

(-D

2

/г-1

однородного

Qn (2я)

2

1• 3 ..

ратора

эллиптического

(Р =

Ро) решение уравнения

Р (— ^ и (х) —

2rx

дается формулой

a ,r ( i ± ^ )

1

Г |

|

+

. . . +

<OnXn \%+2m .

и(хI, .

.

хп) = -

J \

(A +

1) . .. (Я.+ 2m)

1

■

* >

m

i

dQ,

+ 4

S

Р (щ, ....

<о„)

' к=1

Материал: Функциональный анализ

Смотрите также: