Документ: Функциональный анализ, страницы 521-525

§ 5. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 521

где

	т	*2m—2k
	Qi (Е) ■ S	*2m—2k
	Qi (Е) ■ S	(2k - 1)! (2т — 26)! (А, Ц- 2k) '
	При к = — п получаем	фундаментальное решение, соответст

вующее оператору Р. В фундаментальном решении можно оста вить лишь те члены многочлена Qx(£), которые нужны, чтобы

получаемая	функция не имела полюса при к = — п.
Если п	нечетно		и	2т ^		п,	то	фундаментальное решение
имеет вид
Е{хи ..., хп) =				ГI®*1+		••+®я*п
		М—1							f m П
=- - ^- - - -									f m П	dQ
										dQ
4t (2ял)2£		(2пгт — п)\ «!								р («1........1®п)
Если п четно и 2т ^				/г, то
									п f m~ n X
									1	dQ
Если п нечетно и 2т < гг, то									1Р((о,........*соп)
Если п нечетно и 2т < гг, то
Е(х 1, .... х„) =
	гс—1		(гс—2гсг—1)
( - D		2	(гс—2гсг—1)							dQ
2(2я)		гс—1	6(			((O^ATj		. • •	“ I" СОп Х п )	Р(о>1........	®ге)
2(2я)		2 й
и если п четно		и 2т<п,			то
Е(х 1, . * „ )	=
(2п ) п		>1 J \|			+		... + ад , Г"«"			dQ
(2п ) п		>1 J \|			+		... + ад , Г"«"			р (©1,..	СОп)
Фундаментальное решение является обычной функцией, ана-
литичной при л; Ф 0 и удовлетворяющей									в окрестности начала
координат соотношениям
Е(х) =		О (r2m~nIn г),				если		п четно и 2т ^ п,
Е(х) =		0{г2т- п)				в остальных случаях.
		0{г2т- п)				в остальных случаях.
При 2т > п функция Е (я)					имеет в начале координат непрерыв
ные производные до порядка 2m — n — 1.

Л и т е р а т у р а : [12].

522	ГЛ. X. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ

4.Фундаментальные решения однородных регулярных урав

нений. Линейный дифференциальный оператор с посто янными коэффициентами называется регулярным, если он одно

роден	(т. е. все члены являются производными одного и того же
порядка т)		и если на конусе P(coi,				соп) =	0 градиент функ
ции Я(соь		соп) не обращается			в нуль при со ф 0. Для регу
лярного оператора фундаментальное решение имеет вид
		Е {х\ у ... ухп		fтп (2 1		x k°>k) dQ
		Е {х\ у ... ухп			Р (©!,	.... (Оп)	’
					Р (©!,	.... (Оп)	’
где Q — единичная сфера, а функция						f m n { x )	имеет следующие
значения:			м, то
1)	если п четно и т ^		м, то
			\—		1
		f m n ( х ) =	(21)п ( т	-	я)! Х 'П~ П 1п I х I;
2)	если п четно и т <		п, то
			"о-+пг
		(-1)2		(я —т - 1 )!
		/ тп (я ) :		(2п)п

3) если п нечетно и m > п, то

п—1

2

/ тп (х) :	( - D	'sign х;
4 (2п)п~~{ (га — п)\
4) если п нечетно и т <	п, то
	п—1
f (х\ — (-1)___.(п—т—1) /		ч
Гтп()	2 (2 < - ‘	1 ,‘

При этом интеграл понимается в смысле регуляризованного

значения:	xn) = limEe(xl,	хп),
£(*,,

е->0

где

Ее(Х|у ... у хп

fmn (S Xk(Ok) d Q

Р («1...... (On)

Здесь через Q8 обозначено множество точек на единичной сфе ре, для которых | Р (coi, .... con) | > е.

Л и т е р а т у р а : [12].

§ 5. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 523

5. Фундаментальное решение задачи Коши. Пусть дано ли нейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффици ентами

д_	’	и = О
р { dt

порядка т по переменному t. Пусть дифференциальный опера тор

таков, что для уравнения

Р <*[~дТ’ d f)

задача Коши корректна. Тогда фундаментальное решение за дачи Коши для исходного уравнения имеет вид

	Е {t,	х) =		J	(t, х {®{ +			... + хпа>п,	— п) dQ,
где								оо
								оо
	I.	4 =		--------------------				\|би(, I —
a Gait,	\| ) — фундаментальное решение задачи Коши для урав
нения	Ра [ j j , -\|-) о =				0.
В случае нечетного числа переменных получается более про
стая формула:				Г С -1
			-	Г С -1
	E(t, х) =			(~ 1}	\	2	/	Г dn
	E(t, х) =			-	~-^= rGJ		a (t, t)dQ.
				Qnn	2 (n — 1)!			a
Однородный линейный оператор с постоянными коэффици-
ентами	р (-Ш' Тх~ ’				~Ш~)		называется		гиперболическим,
если при любых			значениях			сор		со^, 2	= 1» уравнение’

m-го порядка относительно v:

P ( v , СОр . . (оп) = 0 ,

имеет т вещественных и различных корней. Решение гиперболического уравнения

д__	д	_д_
dt	дх\	-)«(*> 0 = (
dt	дх\	дхГС/

524 ГЛ. X. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ

при начальных условиях

дки (х, 0)

= 0,

0 < 6 < т

—2,

dtk

дт~ \ ( х , 0 ) _______ 2 /

dtm-i

имеет вид

и{хь ....

хя,

t) =

--------

2 Г m

X

m-1

v

Г f

\ 1 Г х- п \ Ъ ч 1 к + Л х+т

1 « M

S **£* +

*)'

A

J . l

( Я+1)( Я +

2) ...

(Я + m - l )

tf=0

, _ f 2

1

CO,

+ Q\

in

г д е

< ь ( в - S

fc/n—2fe—1

(2k — 1)! (m — 2k — 1)! (%-

2k) '

fe=l

через H(lu

| n) обозначена

функция P(l, |i,

и через

to — выражение

da

| grad H | sign

V t J¥L

2u lk dlk

(da— элемент поверхности H = 0).

решение задачи

При Я = — п

получается фундаментальное

Коши. Если п нечетно, то решение имеет вид

"±1

Е

(Х[, • . . у

Хп)

;

( - 1)

2

1)! X

2 (2я)п-1 ( т - п -

X

J (2 х & ь + t)m~n' x[sign (2 xkU + ^)]m

1со;

я = о

если же п четно, то решение имеет вид

Е

, ... ,

хп) —

п

2 xk% + t

=

I)!

| Ц х*-М Г"-'In

G)

я = о

2 х /Лк

§ 6. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ В КОМПЛЕКСНОМ ПРОСТРАНСТВЕ 525

(формулы Герглотца — Петровского). Когда порядок га уравне ния меньше, чем п — 1, формулы для фундаментального реше ния задачи Коши приобретают вид

Е{хи ....	п+ 1	J в<»-и>(2^ +)ю
при нечетном п и
Е (хц ... \| хп)	(—1) 2 (п — т)\		/	п—т+1
Е (хц ... \| хп)	(2я)"		/	п—т+1
			я=ю ( 2	xk% + О

при четном п.

Все интегралы в этих формулах понимаются в смысле регуляризованного значения.

Л и т е р а т у ра: [12].

§ 6 . Обобщенные функции в комплексном пространстве

1 . Обобщенные функции одного комплексного переменного.

При рассмотрении функций комплексного переменного исполь зуются операторы

_ д _ _ \_(_д___. _ д \		J L — L ( J L J L
дг — 2 \ д х	1 ду ) ’	дг ~ 2 \ дх + 1 ду ) ’

где z = х + iy. Например, ряд Маклорена пишется так:

f 1 (х,

у) =

f(z,

2) =

J ]

fU'

0)

z>2k’

1, fc=о

где положено

fu’k)(z, 2)

di+kf (г,

г)

и

Hz,

z ) = f , ( ± ± i

z —•z

dz^ dzk

2i )■

Для

аналитических

функций

= 0

(это

следует

из

условий Коши —Римана).

пользуются дифферен

При интегрировании функций f(z, 2)

циальной формой

dzdz = — 2idxdy.

дифференци

Пусть

D — пространство финитных бесконечно

руемых функций ф(г, 2).

Пусть Я и р — такие комплексные чи

сла, что п = А — р — целое число. Тогда при

Re(A,-f р) >

—2

сходящийся интеграл

уJ гх2^ф(z,

(г\г*

ф) =

z) dz d2

Материал: Функциональный анализ

Смотрите также: