Документ: Функциональный анализ, страницы 526-530

526	ГЛ. X ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ

определяет обобщенную функцию zKz^ в D. Эта функция одно родна, а именно: для любой функции ф(г, г) из D справедливо равенство

= aK+la^+l (z^z*4, ф(г,

г)).

При

Re(X +

M ' ) < —2 обобщенная функция

z%z^

опреде

ляется

с помощью аналитического

продолжения

по

s =

^+ p,:

т--1\

,

{zxz^, ф) = j

J

ZXZ»

ф (z, z) —

2

<p(fe-п(о, 0)

,>=|

dz dz +

|2 | < 1

kin

z

k+l= 0

+

-

z^2^ ( z ,

z) dz dz +

2я

m " 1

( Ь

\

^

Ф(Д!-1)(0, 0)

^

2

|z|> l

k+l=0

ft! /! (ft

+

/

+

X +

ц + 2 ) ’

где Re(A, +

l*>) >

— m — 2.

k—/=—П

регулярна

всюду,

за исключе

Обобщенная

функция z^z*4

нием точек Я, ц = — 1, —2, ... В этих точках функция zKz^f как

функция от s =	X+ М- при фиксированном п = К— ц, имеет про
стые полюсы. При этом
Выч z^z*4=		2я	1 = ^ 4 *		г ) ,
л=— 1			ft! Л
\i=——1
где					дк+1Ь (г, г)
(б, ф) = ф(0, 0)		и	бik,l)(z,	z) =	дк+1Ь (г, г)
					dzk dz1
Нормированная обобщенная функция
		г1^
		s +	I п I + 2
является целой	аналитической		функцией от s =			А + р, при фик
сированном п =	А — ц. При		А = — k — 1,		ц =	— / — 1	имеем
z1^			* 1 -3 1 ^ 4 1			z- ) t
s + \|« \| + 2				ft! 11
	'k=—k—1
	\|x=—l—1
где j = min (k, l).							zkz^.
Обобщенная функция z~h~l является частным случаем							zkz^.
Ее можно определить равенством
	z -ft-i =		k 1 d*(z->)
	z -ft-i =	(_l)*_L		dzk
			ft!	dzk

При этом

<3(- - ь - \ \

I

1 \ k n

« ( f t , 0) /

- 4

§ 6. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ В КОМПЛЕКСНОМ ПРОСТРАНСТВЕ

527

(производная не равна нулю, так как г~к~^ не аналитична в точ ке г = 0).

Так же, как и в вещественном случае, вводятся присоединен ные однородные функции zK»lnm\z\:

(z^z^ lnm| г | , cp) = -j Jzkz^ lnm | г | ф (z, z) dz dz,

где интеграл надо понимать в смысле регуляризованного значе ния. Присоединенной однородной функцией является и функция

fe-U-Z-	ф) = т			Ц 2'г < -
( z -	ф) = т	L		Ц 2'г < -
		L	«+/*=о
	- 0 ( 1	- \| 2 \|)	У	П/I 01 гlzlj dz dz.
			i+j=k+l
Преобразованием Фурье функции <p(z, I)				называют функцию
	ф(ау, W ) = Y	Jф(г, z)eiRezm dz dz.

Преобразование Фурье обобщенной функции F определяется равенством

(F, <p) = 4n2(F, фО,

где фЛг, г) = ф(— z, — 2). Имеет место формула

		zxz*			. ог.+ц.Ч-2—jl Я—р. \|		W ^	Я 1
	r ^	+ \|«\| + 2j			ш

где s =	+	п — Х — р..
Так же вводятся обобщенные функции вида								fl (z)f>l(z), где
f(z)— мероморфная			функция и п = %— ц — целое число. Если
финитная функция ф(г, I)					сосредоточена в области, содержащей
один нуль кратности k функции f(z)						и не содержащей полюсов
этой функции, то интеграл					\| f (г) Р	(г)ф (z, z) dz dz
		(Р Р >	=ф)\
при заданном %— \|я сходится в области Re(^ + \|я) > 0.									анали
При	Re(^ + p,)<0			его	значение	определяют путем
тического продолжения				по s = X +			Единственными		особен
ностями	этого интеграла				как аналитической			функции от X
и (я являются простые полюсы в точках							(X, \|я) =	(—р/£,	—<7/&),
p ,q = 1,2, ... (X— [я — целое).

528	ГЛ X ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ

Точно так же, если функция <p(z, z) сосредоточена в области, содержащей один полюс порядка I функции f(z) и не содержа щей нулей этой функции, то интеграл сходится при Re(A.-fp) < 0 . При Re(A. + p) > 0 его значение определяется путем аналити ческого продолжения по s = %+ тр Единственными особенно стями этого интеграла как функции от X и р являются простые полюсы в точках (X, р) = (p/l, q/l), р, q = 1,2, ...

В общем случае интеграл определяют путем разбиения функ ции <p(z, 2 ) на конечное число слагаемых, каждое из которых сосредоточено в области, содержащей не более одного нуля или полюса функции f(z).

Л и т е р а т у р а [16].

2. Обобщенные функции т комплексных переменных. Пусть S — поверхность в m-мерном комплексном пространстве, зада ваемая уравнением

P ( z ) * P ( z „ ,..., гт) = 0*),

где P (z )— бесконечно дифференцируемая функция от z и г.

Предполагается, что дифференциальная форма dP dP не обра щается в нуль на поверхности S. Дифференциальную форму d(o порядка 2т — 2 определяют соотношением

dzdz = ±-dP dPda

и полагают

(6(Р), ф )= J Ф da.

р=о

Здесь приняты обозначения

/ i \ т	_ / i \т
^yj	dz dz — ^yj dZi dzi ... dzm dzm

Пусть

(. i) (p . _	дк+1'б (P)
K ’	dPhdP1 '

Для этой обобщенной функции остаются справедливыми свойства, установленные в вещественном случае (см. § 3, п. 5):

*) Чтобы не усложнять записи, функции т комплексных переменных часто обозначают через P(z) вместо P(z, г).

§ 6. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ В КОМПЛЕКСНОМ ПРОСТРАНСТВЕ 529

	1)	б{к’l)(Р) =		■§: 6,ft+1' 0 (Р) +			-g - б(*’/+,) (Р), и		аналогии-
	i				i		i
ная	формула		для		б(*’0 (Р);
	2) Р6(Р) =		Р6(Р) =		0,
			Р6(А*г) (Р) +			/гб'*-1, л (Р) =		О,
			p8(k, D(р) +			/б<*. /_\|>(/>) =		0;
	3) если поверхности Р =					0, Q =	0 не имеют особых точек
и не пересекаются,				то
			б (PQ) =		р -'р -'б (Q) +		Q_1Q_I6 (Р).
	В частности, если				функция а (г)		не обращается в нуль, то
					б(аР) =	а - 1й -,б(Р).
	Если функция Р			аналитична			— o j, то
			б^«(аР) = « -й- 1а - г- 1б(ЛЛ)(Р)
для	всех	функций а (г), нигде не обращающихся в нуль.
Пусть G(z) — целая аналитическая функция от т комплекс
ных переменных zlt				..., zm. Если %— р =				п — целое	число, то
полагают		(G%G», <р) = (if2)т J GK(z) G* (2)ф (z, z) dz dz,

где					__ j Q	^ (^—P>) arS		О

Если поверхность G (z) = 0 не имеет особых точек, то един

ственными особенностями обобщенной функции GXG^ рассмат риваемой как функция от А, р, являются простые полюсы в точках

(А, р) = (— k — 1, — / — 1),		k, 1 = 0, 1,	• •
с вычетами
Выч	GA,GM' = (—1)*+г -гпг 6(к’l) (G).
X= - k-	1	S I г1
ц = - / - 1
Пусть P ( z ) — невырожденная		квадратичная	форма от т
комплексных переменных:
	т

Р = . 2 gijZiZp

530	ГЛ. X. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
Рассматривается
(РЛР*\	ф) =	(</2)” J Р^ (2) Р* (2) ф (2, 2) С?2 dz.
Этот интеграл сходится_при Re (X 4-				ц) > 0.	вводят дифферен
Чтобы выразить			при Re(^+M') < 0 ,		вводят дифферен
циальные операторы
	8		д2		д2
	8		d z t dzj	g l	dzt d2j
i, / = 1				i, /=1
где
Хогда при Re(A.+ (а)		>	— k — I определяют Р\Р** формулой
РХР» =		С (Я, jfe) С (р, 1) LkpLlpPx+kPv'+l,
где
С (v, р) = {4Р (v +	1) ... (v + р) (v +			т/2) ... (v + m/2 + р — 1)}

Обобщенная функция РлРа имеет две серии особых точек:

(Я, р) =		(—&— !, —		1),	k,	1 =		0,	1, 2, ...
(Я, р) =		(— m/2 — k, — m/2 — /),			k,	1 =		0,	1, ...
Если	точка	(Я, р) принадлежит только одной из этих серий,
то в ней P V		имеет простой полюс; если же (Я, р) принадлежит
обеим сериям, то РХР^ имеет в ней полюс порядка 2.
В	случае,		когда точка	Я — — k — 1,		р =		— / — 1		принад
лежит только первой серии,				Выч РХР^ есть обобщенная функ-
				/г—1
ция,				\|Lt=—/—1	Р ==0.		Определяют
	сосредоточенная на поверхности
		6(fe-г)(Р) = Ц - ( - 1 )*+/kin			Выч		Р1Р*.
			2л		А,=—&—1
					]!=—/—1
Если	точка	(Я, р) принадлежит только				второй			серии, т. е.
Я = — т/2 — к,			р — — т/2 — /, причем т			— нечетное				число, то

ВычР^Р1* в этой точке равен

m—1

^2 2“W_2^_2^+1J1w+1

w „ r ( - f - + t ) r ( - i + ,)|4 |

где Л — дискриминант квадратичной формы Р.

Материал: Функциональный анализ

Смотрите также: