Материал: Функциональный анализ

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

416 ГЛ. VIII. ОПЕРАТОРЫ В ПРОСТРАНСТВАХ С КОНУСОМ

1. Формула

I* L .=	sup I/M l	(*<=£)
	(Яо, ^0
определяет норму, эквивалентную норме пространства Е.
2. Каждая последовательность функционалов			е	FQ{EQ, К)
имеет предельную в слабой топологии точку вида Ао/о,				где Ао > О

и/o<=F(£o, К).

Впространстве С непрерывных на компакте Q функций с ко

нусом К неотрицательных функций подпространство Е0а С вполне насыщено тогда и только тогда, когда F(E0y К) содержит все функционалы вида x{h), где В частности, если Q — = [я, &], то подпространство Е3 с базисом


	el =	l,	e2 =	t,	е3= t2		( a ^ t ^ b )
вполне	насыщено,		так	как		оно	содержит	все функции
(t — to)2	(а ^	^	Ь), являющиеся точками гладкости конуса.
Этим точкам гладкости отвечают функционалы f(x) s=x(to).
Трехмерное подпространство						Ез} с базисом
	£ , =	,	во =	.	2я/			2я/
	£ , =	1,	во =	S i n	~7----------,		£о = c o s -Г---------
	1	’	1		b — а *		*	b — а

насыщено, но не обладает свойством равномерной насыщенно

сти, так	как	F(E3\ К) содержит все	функционалы f(x) —
= x(t0)	при	/о е (а, Ь), но не содержит	функционалов fa(x) —

=х{а), fb(x) =х{Ь).

Вконечномерном пространстве (с конусом векторов с не отрицательными компонентами) понятия насыщенного, равно мерно насыщенного и вполне насыщенного подпространства совпадают.

Пусть £ 0— насыщенное	подпространство, А — положитель
ный линейный оператор, удовлетворяющий условию
Ах — х	(х е	Е0).
Тогда	(х е	£).
Ах = х

Следующее утверждение обобщает результаты п. 5 § 2 на последовательности операторов:

Пусть К — телесный конус, а £ 0— вполне насыщенное под пространство. Пусть последовательность линейных положитель ных операторов Ап сильно сходится на Е0 к единичному опе ратору:

lim ||Апх — JC||= 0

( х е £ 0).

Л -> оо

§ 3 ЛИНЕЙНЫЙ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

417

Тогда последовательность Ап сильно сходится к единичному

оператору на всем пространстве
lim I Апх — JC\|\|= 0	(х е £).
п ->оо

При переходе к нетелесным конусам возникает дополнитель ное предположение об ограниченности норм операторов Ап.

В связи с приведенными утверждениями приобретает инте рес описание насыщенных и вполне насыщенных подпространств и, особенно, конечномерных подпространств. В этом направле нии достаточно полный анализ проведен для пространства С(£2) непрерывных функций на компакте £2 с конусом К неотрица тельных функций. Для того чтобы в С(£2) существовали k-мер- ные вполне насыщенные подпространства, необходимо и до статочно, чтобы компакт £2 можно было гомеоморфно вложить в (k — 2) -мерную сферу.

Пусть Е — вещественное банахово пространство с телесным конусом /С, Р — аддитивный однородный оператор, действующий из Е в линейное топологическое пространство X, со счетной ба зой окрестностей нуля. Пусть ЗГ— система множеств нормиро ванных положительных линейных функционалов, отвечающих точкам гладкости /С, обладающая тем свойством, что пересече ние любой последовательности множеств из !F содержит мно жество из ЗГ .

Пусть выполнены условия:

1) Если Рхп —>0 (хп е £ ) , то найдется такая подпоследова

тельность Xntj		что f (хП{) -* 0 при		всех f из некоторого F G ?".
•2) Пусть Un — Pxn			(Хп^К)	принадлежит замыканию РК
множества	РК	в X,	где ип ^ Х — последовательность, сходя
щаяся в X	к	некоторому элементу из РК. Пусть f(xn)->f(x*)

при всех f из некоторого F ^ЗГ . Тогда Рхп -+Рх*. Имеет место следующее важное утверждение.

Пусть Ео — сепарабельное подпространство £, содержащее внутренний элемент Хо конуса К. Пусть множество &~(Ео) нор мированных линейных положительных функционалов, отвечаю щих точкам гладкости, лежащим в Ео, содержит некоторое мно жество F ^S T . Тогда для каждой последовательности положи тельных линейных операторов Ап из Апх->Рх ( х ^ Е 0) выте кает соотношение Апу-+Ру для всех у & Е .

Из этого утверждения вытекает следствие: в пространстве С(£2) непрерывных на конечномерном компакте £2 функций су ществует такой конечный набор функций, что из сходимости значений на них последовательности линейных положительных операторов к ним самим {по мере, или почти всюду, или по норме некоторого пространства Лебега, или равномерно на неко тором замкнутом подмножестве) вытекает сходимость значений

418	ГЛ. VIII. ОПЕРАТОРЫ В ПРОСТРАНСТВАХ С КОНУСОМ

операторов на любой непрерывной функции к ней самой (в со ответствующем смысле) .

Ли т е р а т у р а : [263], [265], [277].

§4. Нелинейные операторы

1.Основные понятия. Положительность и монотонность для нелинейных операторов определяются так же, как и для линей

ных операторов. Оператор А положителен, если А К а К , и мо нотонен, если из х<^у следует А х ^ А у . В отличие от линейных операторов в рассматриваемом случае монотонность не следует из положительности.

Оператор A cuAbnq дифференцируем по конусу К в точке х0,

если для всех h ^ K

А (х0+ К) — Ахо = А' (лг0) А + со (х0, /г),

где А' (х0) — линейный оператор, а

lim	со (Хо, h) И_А
Ле/е, \|\|Л\|\|->0	ИЛИ Г

Линейный оператор А'(хо) называется сильной производной по конусу оператора А в точке Хо.

Сильная производная А'(хо) по конусу К от вполне непре рывного оператора преобразует каждое ограниченное множе ство элементов в компактное, а сильная производная по воспро изводящему конусу К от вполне непрерывного оператора яв ляется вполне непрерывным оператором.

Важную роль при исследовании нелинейных операторов на ряду с производной по конусу играет производная на бесконеч ности. Оператор А называется сильно дифференцируемым на бесконечности по конусу К, если существует такой линейный не прерывный оператор Л'(оо), для которого

lim	sup	\|Ах-А'(оо)Х\= 0.
Д->оо \\x\\>R, xs=K		W
При этом Л'(оо)	называется	сильной асимптотической произ

водной па конусу К.

Ли т е р а т у р а : [33].

2. Существование положительных решений. Рассматривается уравнение

х= Ах

сположительным оператором Л. Решения этого уравнения бу дут неподвижными элементами оператора Л.

§ 4. НЕЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ		419
Пусть непрерывный положительный оператор А имеет силь
ную асимптотическую	производную А '(оо) по конусу и	пусть
спектральный радиус	оператора Л '(оо) меньше единицы.	Для

существования в конусе К по крайней мере одной неподвижной точки достаточно, чтобы выполнялось одно из условий:

а) оператор А вполне непрерывен, б) оператор А —монотонный и конус К вполне правилен,

в) пространство Е рефлексивно, оператор А слабо непре рывен.

Для вполне непрерывного оператора условие существования

А '(оо) можно заменить следующим условием: существует такое
R > 0, что	Ах > (1 + е) х	( х ^ К , \x\~^R)	при всех е > 0.
Другая	серия теорем	существования	решения содержится


в утверждении: для существования у монотонного на отрезке
(х0, UQ) оператора А по крайней мере одной неподвижной точки
достаточно, чтобы он отображал {Хо, Ыо)								в себя и чтобы выполня
лось одно из следующих условий:
а)	конус К сильно миниэдрален;
б)	конус К правилен, оператор К непрерывен-,
в)	конус К нормален, оператор А вполне непрерывен;
г) к о н у с К н о р м а л е н , п р о ст р а н ст во Е р е ф л е к с и в н о , о п е р а
тор А	с л а б о н е п р е р ы в е н .
При выполнении условий б)—г) неподвижная точка опера
тора	может		быть	получена		как	предел последовательности
хп = Ахп-1			(п = 1,	2,	...) . Если		дополнительно		известно,	что
в (*о,«о)		лежит единственная				неподвижная точка			оператора	А,
то в случаях б)—в)				последовательные приближения yn — Ayn-i
(л = 1 ,2 ,		...) сходятся			по норме		к	решению, каково бы		ни
было уо е		(х0, ы0).

Ли т е р а т у р а : [33].

3. Существование ненулевого положительного решения. В тех случаях, когда А0 = 0, нередко возникает вопрос о существова нии в конусе вторых (отличных от 0) неподвижных точек у по ложительного оператора А.

Говорят, что положительный оператор А (А0 = 0) является сжатием конуса на участке от г до R (0 < г < R), если

Ахг<х	( х ^ К ,				хФ$>)
и при’всех е > 0
А х > ( 1 + е ) х			(хе=/е,		\|\|х\|\| >R).
Оператор A (AQ = 0)		называется			растяжением конуса на
участке конуса от г до R		(0 <	г <	R),	если для всех е > 0
А х > ( l+ e ) *		{х<=К,		\|\|х \|\|^ г , х ф Ь )

420	ГЛ. VIII. ОПЕРАТОРЫ В ПРОСТРАНСТВАХ С КОНУСОМ
И	__	(х<^к, 1111 >/?)
	Ах< .х	(х<^к, 1111 >/?)

Имеет место следующее важное утверждение: если положи тельный вполне непрерывный оператор А является оператором сжатия (растяжения) на некотором участке конуса /<, то он имеет на К по крайней мере одну ненулевую неподвижную точку.

Еще одна теорема существования: пусть оператор А (Л0 = = 0) монотонен и вполне непрерывен на конусе К и для неко торого элемента и* щ. /С, v* Ф 0

lim	\\A(tv*) II	ОО.
t->ОО	t

Пусть для каждого х е К

Ах > || Ах И• v*

и для некоторого г > 0

Л х > х (x e /f , IM K ^, хФО).

Тогда оператор А имеет по крайней мере одну неподвижную точку х* е /С, х* ф 0, х* > ||**||V*.

Л и т е р а т у р а : [33], [266].

4. Н еп р ер ы в н ая ветвь п о л о ж и тел ьн ы х собствен н ы х векторов.

Пусть Г — граница открытого ограниченного множества Q c £ , внутренней точкой которого является 0. Пусть на Г П К опреде лен положительный вполне непрерывный оператор А, причем

inf	\|\| Ах \|\| >	0.
хегпк
Тогда оператор А имеет на	Г Г) К по	крайней мере один соб

ственный вектор х0: Ах0 = Яо*о, которому соответствует положи тельное собственное значение Х0.

Говорят, что положительные собственные векторы положи тельного оператора А образуют непрерывную ветвь длины г, если совокупность 2Я всех собственных векторов, лежащих в ко нусе, имеет непустое пересечение с границей Г каждого откры того множества, содержащего 0 и содержащегося вместе со своим замыканием в шаре ||х|| < г.

Из приведенного утверждения вытекает, что положительные собственные векторы положительного оператора А образуют не прерывную ветвь некоторой длины г, если А вполне непрерывен и удовлетворяет условию AQ — 0.

Источник: https://studfile.net/preview/19992813/

Смотрите также: