Материал: Функциональный анализ

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

406	ГЛ. VIII. ОПЕРАТОРЫ В ПРОСТРАНСТВАХ С КОНУСОМ

где т — некоторое натуральноечисло, ио — фиксированный не нулевой элемент К,, следовало неравенство

тп__

г ( Л ) < / р ,

достаточно, чтобы выполнялось одно из следующих условий:

1)конус К телесен и нормален, ио— внутренний элемент;

2)конус К нормален, оператор А и0-ограничен сверху в про странстве Е;

3)конус К нормален и воспроизводящий, оператор А

ио-ограничен сверху, и0— квазивнутренний	элемент К;	\|А\| =
4) спектр оператора А на спектральной окружности
= г (А) состоит из конечного числа полюсов конечной кратности,
Но — квазивнутренний элемент /С.	Лти0< ри 0,	причем
Если А — неразложимый оператор и

Агпи0Ф $и0, то при выполнении одного из условий 1)—4)			имеет
место строгое неравенство г (А) <		m
место строгое неравенство г (А) <		.
В качестве примера можно рассмотреть интегральный опе
ратор
Ах (t)= J К [U		s) х (s) ds,
Q
(Q — ограниченное замкнутое	множество конечномерного		про
странства) с неотрицательным	ядром. Пусть оператор А дей

ствует и вполне непрерывен в одном из пространств Lp { 1 ^ р < < оо). Пусть для некоторой почти всюду положительной функ ции vo(t) <=LP(Q) выполняется почти при всех < е Й неравен ство

J К (t, s) i>0 (s) ds < рг»о (0-

Тогда г(А) ^ р. Если при этом ядро K(t, s) порождает нераз ложимый интегральный оператор в пространстве Ьр и почти при всех t из некоторого измеримого подмножества в с Й, m esw>0,

J К (t, s) v0 (s) ds < Po0 (t), Q

TO r(A) < p.

'Пусть конус К нормален, оператор А «0 — ограничен сверху,

Auo<;buo. Пусть р„ — наименьшее из всех чисел р, для которых
		П_
выполняются	неравенства	Л"«0<рыо. Тогда lim Y$n — г (Л),
причем для	всех п = 1,	Я->оо
причем для	всех п = 1,	2, ... имеют место неравенства

п___

г{А) ^ Y$n • Если при этом оператор А является также Ыо-огра-

§ 3. ЛИНЕЙНЫЕ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

407

ниченным		снизу	и	имеет в К собственный		вектор, Лао5>ш/о,
а	ап — наибольшее			из	чисел ос, для которых А пщ^> аао, то
	п ___		причем		п ___	2, ...).
Нш У а„ = г(Л ),					У ап <>(Л ) (п = I,
П	> о о	__
	Пусть Q(A) — множество таких чисел А, для которых хотя бы

при одном х ^ К, х Ф 0, для линейного положительного опера тора А выполняется неравенство

Л х > Ах

А (Л) = sup {А: А<=£2(Л)}.

Аналогично, пусть Q(A) — множество таких чисел Я, для ко

торых хотя бы при одном х е Ку х Ф 0, выполняется неравен ство

Ах <^Хх

Я (А) = inf {Я: Ac=Q (А)}.

Соответствующим образом определяются числа Я (Л*), Я (Л*)* Пусть конус К телесен. Тогда

Я(Л)^А(Л*), Я(Л*)>А(Л).

Если при этом оператор неразложим, то

Я(Л) = Я(Л*),

Я (Л*) = А (Л).

Пусть конус К содержит квазивнутренние элементы, а спектр оператора Л на окружности |А| = г(А) состоит из конечногочисла полюсов конечной кратности. Тогда

г (Л) = Я (Л) > Я (Л), г (Л) = А (Л*) > Я (Л*).

Если к тому же оператор Л неразложим, то

г (А) = Я (Л) = Я (Л) = Я (Л*) = Я (Л*).

В случае, когда конус К нормален и миниэдрален, Л — ^-по ложительный оператор, такой, что для всех достаточно малых е > 0 отрезок [г(А) — е, г(А)] содержит по крайней мере одну регулярную точку оператора Л, справедливо соотношение

408	ГЛ VIII. ОПЕРАТОРЫ В ПРОСТРАНСТВАХ С КОНУСОМ

Пусть А — неотрицательная неразложимая матрица, р(А) — положительное собственное значение матрицы А. Тогда из ска занного выше вытекает, что

п п

р (А) = шах	min	2 аих1У)	min max	2	ачх1У)
р (А) = шах	min	1’ 1=~~--------=	min max	l’ ~	---------.
х ^ О	(у, у)= 1	'ЧГ1	xi ^ 0	VI
(х, х)=\	(у, у)= 1	2 а	(у, у ) = 1 (х, х)=\	2л
		i= 1		i= 1

Вопрос об оценке сверху спектрального радиуса произволь ного оператора может быть сведен к аналогичной задаче для положительного оператора. А именно, имеет место следующее утверждение: пусть линейный оператор В и линейный положи тельный оператор А связаны соотношением

А.

Пусть конус К — нормальный и воспроизводящий. Тогда г(В)<г(А ).

При оценке сверху спектрального радиуса линейного опера тора является полезным утверждение: пусть Ef Ei — банаховы пространства, причем £ 4 полуупорядочено конусом Ки ф(А) — отображение пространства линейных операторов, действующих в £, в пространство линейных операторов, действующих в Е4. Пусть выполнены следующие условия:

Г Ф(А)>9;

2° ф(М) = \|1\|ф(А)		для всех комплексных			t\
3° Ф(Ап+ Ат) Ф{Ап) + Ф(Ат)				(п, m — lj	2, ...);
/4°	ф (Ля) < фя(Л)	( п = 1,	2, ...);
5°	из \|\|<р (Л„) \|\|—►0	следует,	что	\|\|Л„Ц->0.

Тогда

г( Л ) < г [ф (А)}.

Вкачестве применения последнего утверждения можно рас смотреть задачу оценки сверху спектрального радиуса линейного интегрального оператора

		Ах (t) =			[ К (t, s) х (s) ds
				6
с непрерывным	в	квадрате			0 ^ 1 ,	s ^ l		ядром К. (t, s). Пусть
	0 =	/0< * 1 <			••• < /„-1 <			/» = 1
— произвольное	разбиение			сегмента		[0,	1] и
ф	(Л ) =		(М	<й)	k =	l,	2	.(t, . п),

§ 3. ЛИНЕЙНЫЕ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ			409
где
Mik = max	Г \| К (t, s) \| ds	(/, k = 1, 2, ... ,	n).

- ^ 4 - , Тогда r(A) <г[ф(Л)].

Ли т е р а т у р а : [261], [272], [273], [274], [275].

7.Существование вторых положительных собственных значе

ний. Пусть Е — вещественное банахово пространство с телес ным конусом К, А — линейный вполне непрерывный неразложи мый оператор. Тогда оператор А имеет в К собственный вектор*

хи	отвечающий простому собственному значению Я1 = г{А) =
=	г (А') этого оператора.

Рассматривается внешнее произведение Ё2 = Е А Е про странства Е на себя (см. гл. I, § 1, п. 4), нормированное так, чтобы произведение х А у было непрерывным по обоим множи

телям. Предполагается, что оператор А2 = А А А ограничен па этой норме; в пространстве Е2 выделен телесный конус К(2) и

А2— неразложимый относительно /С<2) оператор. Тогда оператор А имеет второе вещественное и простое собственное значение Я2: 0 < Я2 < Яь В кольце Я2 < |Я| < Я1 нет точек спектра опера тора А. Собственному значению Я2 отвечает такой собственный вектор х2е £, что Xi А х2с KS2).

Аналогичным способом формулируется утверждение о суще ствовании третьего простого собственного значения Яз оператора А: 0 < Яз < Яг < Яь

В конечномерном случае конусы К(г) в пространствах Ег мо жно выбирать из всех векторов с неотрицательными координа

тами. Элементами матриц Аг будут всевозможные миноры г-го

порядка	матрицы А	(см. гл. I, § 5, п. 8).	Если матрицы
Аг ‘ (1 ^	г ^ р ^ п )	неразложимы, то исходная	матрица А

имеет р положительных простых собственных значений Я1 >Я 2>

> ...	> Я Р >	0, которым отвечают собственные векторы хи
х2, . . . ,	хр. При	этом х { <^К, х{ А х2<= к}2\ ... , ххА х2 А

... А х р^ К {Р) и являются внутренними элементами соответ ствующих конусов. Пользуясь тем, что координаты вектора Х\ А х2А ... Лхг являются минорами соответствующих матриц (см. гл. I § 1, п. 4), можно показать, что из последних включе ний следует наличие в ряду координат вектора хг точно г — I перемен знака. При р = п отсюда вытекают свойства осцилляционных матриц, имеющих только положительные миноры всех порядков.

Ли т е р а т у р а : [260], [280].

410ГЛ. VIII. ОПЕРАТОРЫ В ПРОСТРАНСТВАХ С КОНУСОМ

8.Сравнение спектральных радиусов и собственных значе ний положительных операторов. Пусть конус К нормален и вос производящий, Л, В — линейные положительные операторы, дей

ствующие в Е, причем Л	В (т. е.	Ах Вх	для всех х е К) .
Тогда г (А) ^ г (В). Если	к тому же	конус К	содержит квази-

внутренние элементы, а операторы А и В неразложимы и вполне непрерывны, причем А Ф В, то г (Л) < г (В).

В частности, если В — неотрицательная неразложимая матри ца и Л (Л Ф В) — неотрицательная матрица, элементы которой не превосходят соответствующих элементов матрицы В, то наи большее по модулю неотрицательное собственное значение мат рицы Л меньше наибольшего положительного собственного зна чения матрицы В. _

Будем писать х у, если у — х ё= /С Пусть линейный оператор Л неразложим и удовлетворяет од

ному из двух условий:
1. Л вполне непрерывен, 3?{К) = Е;		К — воспроизводящий и
2. А Wo-ограничен сверху, конус
нормальный.		/С, w0 Ф 0 выполнено со
Пусть для некоторого элемента w0е
отношение	(А0 > 0).
Aw0> X0w0
Тогда для каждого ненулевого х е		/( ы каждого А: 0 ^ А <
< Ао
Ах <	Ах.

Если конус К обладает свойством нормальности и миниэдралъ- ности, то из неравенства

AXQ А0х0 (XQси /С XQ-у—0)

следует, что Хо = для некоторого постоянного с > 0 w Лх0=АоХ0.

Пусть положительный оператор А щ-ограничен снизу, причем Аи0 A0w0.

Тогда для любого ненулевого х е /С яри А < А0

Лх < Ах,

a W3

Лх < AQX ( х е /С)

следует, что

х — &WQ, Ли0 —AQWQ.

Сформулированные здесь теоремы можно применить к срав нению собственных значений двух операторов.

Источник: https://studfile.net/preview/19992813/

Смотрите также: