Материал: Функциональный анализ

Для приложений этого утверждения нужно уметь конструи­ ровать поле F, уметь доказывать, что это поле не вырождено, и уметь вычислять вращение ус. При вычислении вращения по­ лезно знать, что вращение четного (F(x) = F(— x)) поля есть четное число.

Пусть, например, k = 2 и ро является характеристическим значением оператора В второй кратности (р = 2). В этом слу­ чае поле F будет иметь две компоненты r|i и т]2, каждая из ко­ торых будет квадратичной формой относительно gi и £2:

\ = b nl\ + 2bl2l {l 2+ b 22l l

Если одна из этих форм положительно или отрицательно опре­ делена, то поле F не вырождено и его вращение равно нулю. Если ни одна из этих форм не знакопостоянна, то для невыро­ жденности поля достаточно, чтобы прямые £1 = а |2, на которых аннулируется одна из форм, состояли из точек, на которых вто­ рая форма принимает ненулевые значения. Угловые коэффициен­ ты и 02 прямых, на которых аннулируется первая квадратич­ ная форма, определяются из квадратного уравнения

1

X (0 = у J к (t, s) f [х (s)] ds

о

с ограниченным симметричным ядром K{t, s) функция f(x) достаточное число раз дифференцируема, f(0) = 0 и f'(0) = 1. Линеаризация этого уравнения приводит к линейному инте­ гральному уравнению с ядром K(t, s).

Если характеристическое значение ро ядра K(t, s) имеет не­ четную кратность, то оно будет точкой бифуркации для исход­ ного уравнения.

при нулевых граничных условиях

у(0) = у(1) = 0

(см. рис. 1). Функция

А Л; \ ( 1 — |)t|, если

является функцией Грина оператора у" при нулевых граничных условиях. Дифференциальное уравнение изгиба стержня сводит­

Это уравнение имеет нулевое решение при всех значениях параметра р. При' некоторых нагрузках р уравнение может иметь ненулевые решения, которыми определяются формы по­ тери устойчивости. Нагрузку ро называют критической нагруз­ кой Эйлера, если при некоторых близких к ро нагрузках урав­ нение имеет малые ненулевые решения. Иначе говоря, критиче­ ская нагрузка Эйлера — это точка бифуркации для уравнения

изгиба стержня.

Одной из важных задач теории упругости является отыска­

ние критической нагрузки.

Полученное интегральное уравнение можно рассматривать как операторное уравнение вида х = А(х, р) с вполне непре­

рывным оператором в пространстве С. Линеаризация приводит к уравнению

ф ( I ) =р р ( I ) J К ( & , л ) Ф dx\( л .)

О

Если е{%)— ненулевое решение этого уравнения при р = р0,

то функция

1

#(£) = J *f(£. лМ лМ л

О

будет решением уравнения

«/"(l) + tlop(l)'/(E) = 0,

удовлетворяющим нулевым граничным условиям. Отсюда выте­ кает, что каждое характеристическое значение линеаризованного уравнения является простым и, следовательно, является точкой бифуркации. Соответствующие значения р дают критические на­ грузки.

Оператор С для рассматриваемого уравнения имеет вид

и, следовательно, имеет третий порядок малости (k = 3). Здесь

поэтому ненулевые решения появляются при р > р0. Это вполне соответствует физическому смыслу задачи: потеря устойчивости происходит тогда, когда нагрузка превосходит критическое зна­ чение.

Иногда в литературе встречается другое уравнение для из­ гиба стержня:

у " (0 + рр (0 у (0 [1+ у 'г (O f2 = о

при граничных условиях

У(0) = у ( 1 ) = 0.

Оно соответствует тому, что кривизна выражена не как функция длины дуги £, а как функция координаты t. При этом прибли­ женно считается, что р(£) = р(/), и в граничных условиях не учитывается изменение координаты незакрепленного конца стержня, представляющее собою величину третьего порядка

малости по сравнению с прогибом стержня. Однако эта величина третьего порядка сказывается на знаке к. В этом случае для к получится выражение

- 2

Kt (t, s) е (s) ds dt > 0,

у соответствующего интегрального уравнения ненулевые реше­ ния появляются при р < ро, что противоречит физическому смы­ слу задачи. Таким образом, пренебрежение в уравнениях вели­ чинами третьего порядка малости приводит к неправильному описанию задачи о формах потери устойчивости сжатого стер­

Это уравнение можно рассматривать как операторное урав­ нение в пространстве С на отрезке [0, 2п]. При всех значениях р оно имеет нулевое решение. Точки бифуркации этого уравне­ ния соответствуют значениям параметров, при которых возни­ кают волны.

Линеаризованное уравнение имеет вид 2я

x(t) = ii J К (t, s) х (s) ds.

о

Его характеристическими значениями будут числа \in = Зп с со­ ответствующими собственными функциями en(t) = sin nt. Все характеристические значения простые, поэтому они и только они будут точками бифуркации для уравнения Некрасова.

Оператор С имеет вид

о0