Материал: Функциональный анализ

также монотонно возрастает, ограничена оператором KI и, сле­

довательно, имеет сильный предел В = limРп(А). Этот оператор

п

естественно обозначить через F(A) и назвать функцией от опе­ ратора А. Оператор F (А) принадлежит Ка и, более того, пере­ становочен с любым оператором из Ка -

В частности, для положительного оператора А можно ввести функцию В — УА . Оператор В положителен, и В2 = А_Он од­

нозначно определяется этими свойствами. Определить У А можно как предел последовательности многочленов ВПу определяемых из рекуррентного соотношения

В0= 0,

В , „ - В , + Ч,(А-В>).

Для любого самосопряженного оператора А оператор А2 по­ ложителен, поэтому естественно обозначить У А2 = \ А |.

Л и т е р а т у р а : [1], [39], [45], [50], [52].

2. Разложение единицы, спектральная функция. Важнейшим классом функций от операторов являются функции, соответ­ ствующие характеристическим функциям интервалов веществен­ ной оси. Так как квадрат характеристической функции равен ей самой, то и квадрат соответствующего самосопряженного опе­ ратора будет равен ему самому, т. е. оператор будет проекцион­ ным. Через Ех обозначают оператор, соответствующий характе­

Как было описано выше, всякому ограниченному самосопря­ женному оператору отвечает разложение единицы Ех- Операторфункция Е%при этом называется спектральной функцией опера­ тора А. По спектральной функции строится спектральная мера:

дающий скачок спектральной функции в этой точке. Спектраль­ ная мера обладает замечательным свойством ортогональности:

208ГЛ. IV. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

3.Функции от самосопряженного оператора. Спектральное представление оператора позволяет ввести более широкий класс функций от оператора, включающий ранее определенные функ­ ции. Полагают

м+о

П А ) - S

т

если последний интеграл существует. В частности, он существует для любой непрерывной функции. Соответствие между функ­ циями вещественной переменной и функциями от оператора об­ ладает следующими свойствами:

Л и т е р а т у р а : [1], [24], [39], [45], [50], [52].

4. Неограниченные самосопряженные операторы. Если А —

линейный неограниченный оператор с всюду плотной в Н об­ ластью определения D (Л), то его сопряженный оператор А* будет определен на тех элементах у, для которых функционал (Ах, у) является ограниченным (см. гл. Ill, § 1, п. 4). В гиль­ бертовом пространстве это означает, что

но и совпадение областей определения D(A) и D(A*) операто­ ров А и А*. Таким образом, при проверке самосопряженности оператора необходимо для каждого элемента у, для которого функционал (Ах, у) ограничен, показать, что y ^ D ( A ) , а затем проверить справедливость предыдущего тождества.

Неограниченный самосопряженный оператор всегда замкнут. Для неограниченных самосопряженных операторов остаются верными с некоторыми видоизменениями основные результаты

спектральной теории, изложенной выше для ограниченных са­ мосопряженных операторов, в частности, верна спектральная теорема. А именно: пусть А — неограниченный самосопряженный оператор с областью определения D(A). Тогда этот оператор по­

4) ВЕк = Еф, если В — любой ограниченный оператор, пе­ рестановочный с А. При этом ограниченный оператор В назы­ вается перестановочным (или коммутирующим) с неограничен­ ным оператором А, если из x ^ D ( A ) следует B x ^ D ( A ) и АВх — ВАх.

Элемент х принадлежит D(A) тогда и только тогда, когда

оо

J I2d (Ехх, х) < оо.

Для этих х

Интеграл J XdEKx понимают как предел собственного инте-

—оо

аN

Ь—> оо.

Самосопряженный оператор А называется полуограниченным снизу, если (Ах, х) ^ а(х, х) при всех x<=D(A). В этом случае

оо

А х — j hdExx.

а

Аналогично определяется полуограниченный сверху оператор. Если функция /(Я) конечна и измерима по отношению ко всем мерам, порожденным функциями а (Я) = (E%z,z) (г<=#), то можно определить оператор f(A). Этот оператор, вообще го­ воря, не ограничен. Его областью определения D(f(A)) служит

совокупность элементов х, для которых

оо

j \f(K)\2d{Exx, х) < ОО.

Множество D(f(A)) плотно в //, оператор f(A) задается фор­ мулой

—оо

иявляется самосопряженным (для вещественной функции /(Я)).

является резольвента. Если Я0 не принадлежит спектру операто­

В случае сепарабельного гильбертова пространства совокуп­ ность всех функций от самосопряженного оператора А допу­ скает «внешнее» описание. Если через К а обозначить совокуп­ ность всех линейных ограниченных операторов, коммутирую­ щих с Л, то множество функций от Л совпадает с совокупностью всех замкнутых операторов, коммутирующих с любым операто­ ром из К а .

Л и т е р а т у р а : [1], [24], [39], [45], [50], [52].

5. Спектр самосопряженного оператора. Спектр самосопря­ женного оператора Л представляет собой замкнутое множество вещественной оси, состоящее из всех точек роста функции Е%. Скачки функции Е%соответствуют собственным числам операто­ ра Л; оператор Е\+0 — £\_0 является оператором проектирования на собственное подпространство, отвечающее собственному чис­ лу Я. Собственные числа образуют точечный спектр оператора Л.

, Остаточный и точечный спектры самосопряженного операто­ ра (см. гл. III, § 2, п. 3) совпадают.