196 ГЛ. IV. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Многие свойства 5-чисел вытекают из минимаксимального
принципа |
|
^„+1 (Л) = min |
max || Л* ||/||*|| (в частности, s{(Л) —1| А ||) |
z v . . . , z n |
........ |
и следующего аппроксимационного свойства: 5„+1(Л)==шт || А — К II,,
где минимум берется по всем конечномерным операторам /С, ранг которых не превосходит п.
Быстрота убывания s-чисел вполне непрерывного оператора характеризует близость его к конечномерным операторам. Од
нако так же, как и сами свойства вполне непрерывности |
(см. |
гл. I, § 5, п. 7) и конечномерности, свойство той или иной |
бы |
строты убывания s-чисел оператора есть не столько свойство
самого |
оператора, |
сколько |
свойство |
его |
области |
значений. |
|||
Пусть |
Я 1 — гильбертово |
пространство, |
компактно |
вложенное |
|||||
в гильбертово |
пространство |
Я (см. гл. I, |
§ 4, п. 10), и / — со |
||||||
ответствующий |
оператор |
вложения: 1х = |
х |
(х <= Н\). Опера |
|||||
тор Я / |
будет положительным самосопряженным вполне непре |
||||||||
рывным |
оператором |
в Н\. Пусть рт — собственные числа этого |
|||||||
оператора, занумерованные в порядке убывания с учетом их кратности. Тогда для любого линейного ограниченного опера тора Л в Я с областью значений R(A)cz Н\
P m - S m ^ X 00- |
|
В аж н ы й прим ер: пусть А —линейный |
ограниченный |
в L2(G) оператор (G —ограниченная область с гладкой грани |
|
цей в Rn) такой, что область его определения |
R (Л) с: W[ (G) |
(см. пример 4), тогда |
|
sm{A) = 0 {m -lin).
Важным в теории вполне непрерывных операторов является вопрос о полноте системы собственных и присоединенных эле ментов вполне непрерывного оператора (см. гл. III, § 2, п. 4). Для самосопряженного вполне непрерывного оператора суще ствует базис из собственных векторов. Однако если к самосо пряженному вполне непрерывному оператору добавить конеч номерный, то полученный оператор уже может не иметь пол ной системы собственных и присоединенных векторов. Так, на пример, если к интегральному оператору с симметрическим
ядром
(t — l)s при s < /,
§ 2. ЛИНЕЙНЫЕ ОГРАНИЧЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ |
197 |
добавить одномерный оператор 1
t J (1 — s)x(s)ds,
о
то получится оператор Вольтерра t
J (/ — s) х (s) ds,
о
который вообще не имеет собственных функций.
Из имеющегося ряда критериев полноты здесь приводятся следующие: пусть А — такой вполне непрерывный оператор, что значения формы (Ах, х) при любом ^ е Я содержатся в сек торе комплексной плоскости
|a r g g |< ^ -
Система собственных и присоединенных элементов оператора А полна в пространстве Н, если его особые числа рп, располо женные в порядке убывания., обладают свойством
lim nllpiifl — О, П->оо
в частности, если сходится ряд
2М^р < оо.
Эти условия не очень удобны тем, что в них фигурируют
особые числа оператора А. При р > 1 в этих условиях можно особые числа заменить на собственные числа вещественной
Л I д* |
л _А* \ |
или мнимой части оператора А (операторов— |
или— §/— )* |
При р = 1, т. е. для диссипативного оператора, система соб ственных и присоединенных элементов полна, если он имеет конечный след
2l l*n < °0 .
Однако это утверждение становится несправедливым, если за менить особые числа на собственные числа" вещественной или мнимой части оператора А. Если же и вещественная, и мни мая части диссипативного оператора А имеют конечный след, то система его собственных и присоединенных элементов пол на в Я.
Вполне непрерывный оператор может вообще не иметь соб ственных векторов. В связи с приведенным выше примером та кие операторы называются волътерровыми. Спектр вольтеррова
198 ГЛ. IV. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
оператора состоит из точки К = 0. Глубоким является тот факт, что всякий вольтерров оператор в гильбертовом пространстве (и даже в банаховом пространстве) имеет хотя бы одно нетри виальное (отличное от Я и 0) инвариантное подпространство. Этот факт позволил построить для вольтерровых операторов тео рию, аналогичную приведению матриц к треугольному виду (см. [21, 4]).
Л и т е р а т у р а : [1], [20], [21], [24], [48], [50], [176].
7.Ядерные операторы и операторы Гильберта — Шмидта. Че
рез обозначается класс всех вполне непрерывных операто ров в гильбертовом пространстве Я, для которых
оо
2 s${A) < ОО. i=\
Каждый класс ©р является идеалом в алгебре всех ограни ченных операторов в Я. Относительно нормы
/ оо |
\Ур |
M ||p = (J]s? 0 4 )J
пространство ©р является банаховым. Очевидно, ©р с= ©7 при
Р < Q-
Операторы класса ©i называются ядерными. Для них
оо
2 Si (Л) < оо. Из разложения Шмидта (п. 6) следует, что это i=l
определение согласуется с общим определением ядерного опе ратора (см. гл. I, § 5, п. 7).
Следом ядерного оператора называется сумма всех его собственных чисел *)
t r 4 = f l M i 4 ) .
г= 1
След обладает свойствами:
1) tr (аЛ -Ь рБ) = а tr Л + Р tr Я (Л, fle® ,);
2)tr Л* = 1гЛ;
3)tr(4B) = tr(54);
4)tr (В-1Лв) = tr Л.
где В — ограниченный и ограниченно обратимый оператор в Я. След является непрерывным линейным функционалом на
банаховом пространстве ©ь
) Иногда след обозначается через sp А.
§ 2. ЛИНЕЙНЫЕ ОГРАНИЧЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ |
199 |
Весьма важной является следующая формула для следа:
= 2а (Аеа, еа),
где {еа} — произвольный ортонормальный базис в Я. Справедливо неравенство
I tr Л | <11,411,,
причем равенство в нем имеет место в том и только том слу чае, когда при 0 = arg(trЛ) оператор e~iQA самосопряжен и положителен.
Для ядерного оператора сходится произведение чисел 1—
— Яг(Л), которое естественно назвать определителем оператора
1 — А:
det(/ — Л) = П (1 - М Л )) .
i
Это произведение может состоять из конечного или беско нечного числа сомножителей в зависимости от количества не нулевых собственных чисел у оператора Л. Для вольтеррова ядерного оператора det (/ — Л)*= 1.
Определитель det(/—Л) является непрерывным функционалом
на пространстве |
Если Л — вполне непрерывный, В — ограни |
|||
ченный операторы в Я и Л В ^ © Ь |
В Л ^@ Ь |
то det (/ — АВ) = |
||
= det(/ — ВА). |
Для любых Л, B E |
S I |
имеет |
место равенство |
det [(1 — А) (I — В)] = det [(/ — В) (1— А)]. |
|
|||
Если {еп} — ортонормированный базис в сепарабельном про |
||||
странстве Я, то |
- |
|
|
|
det (/ — Л) = lim det (6Jk — (Aeh ek))nv |
||||
|
tl-> o o |
|
|
|
Характеристическим определителем ядерного оператора Л |
||||
называется |
|
|
|
|
|
det (/ — гЛ) = П (1 — |
(Л)). |
|
|
|
i |
|
|
|
Характеристический определитель является целой функцией комплексного переменного 2, обращающейся в нуль в точках
= 1/ЯДЛ). При этом справедлива оценка
| det (/ — zA) | < exp ( I z 11| Л ||,).
Характеристический определитель непрерывен в норме прост ранства @i, равномерно на каждом ограниченном множестве комплексной плоскости г.
Если /(Я) — функция, аналитическая в окрестности спектра ядерного оператора Л и /(0) = 0, то оператор f(A) (см. гл. III» § 3, п. 1) будет также ядерным.
200 |
ГЛ IV. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ |
Операторы класса ©2 называются операторами Гильберта — Шмидта. Если А — оператор Гильберта — Шмидта, то оператор Л*Л будет ядерным и
Для любого ортонормированного базиса {ej в Н
|
|
M ||2 = |
{ | l l Аеа|р| 1/2 |
|
|
||
И |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lMll2 = |
{ S lM ee, ер) I21'/2. |
|
|||
Для |
собственных чисел |
оператора |
А е |
©2 справедливо |
не |
||
равенство |
2 |
l b (А)? <11 А 1§. |
|
|
|||
|
|
|
|
||||
Произведение |
двух |
операторов |
Гильберта — Шмидта |
яв |
|||
ляется |
ядерным, |
поэтому для Л, б е б 2 |
определена величина |
||||
(Л, В) = 1г(Л£Г),
обладающая всеми свойствами скалярного произведения. От носительно этого произведения пространство ©2 является гиль бертовым.
Если оператор Л задан матрицей (ам) |
в пространстве /2, то |
|
он будет оператором Гильберта — Шмидта |
тогда и только |
то |
гда, когда |
|
|
оо |
|
|
2 \ а {к\2< оо. |
|
|
i, к |
|
|
Интегральный оператор Л, заданный в пространстве |
Ь) |
|
измеримым на [а,Ь]У^[а,Ь] ядром K(t,s), будет тогда и только тогда оператором Гильберта — Шмидта, когда
|
ь |
ь |
|
|
|
I |
J |/c(f, s) р dt ds < оо, |
|
|
|
а |
а |
|
|
причем величина, стоящая слева, равна Mill. |
величины |
|||
Если |
А — оператор |
Гильберта — Шмидта, то |
||
det(/ — А) |
и det(/ — zA) |
могут уже не иметь смысла. |
В связи |
|
с этим вводится понятие регуляризованного определителя опе ратора /4е® 2
а е М / - Л ) ^ П ( 1 - М Л ) ) е МЛ)