Материал: Функциональный анализ

5.Пространство функций x(t), определенных и измеримых

на всей оси (—оо, оо) и таких, что существует предел

будет гильбертовым, если положить

I

(х, у ) = Нш 4 г { x{t)i<j)dt.

Г-*ОО -г

Пространства из примеров 1- -4 сепарабельны, пространство из примера 5 не сепарабельно.

Ли т е р а т у р а : [1], [9], [39], [52].

3.Ортогональность. Проекция на подпространство. Два эле­ мента х и у гильбертова пространства называются ортогональ­

ортогональным дополнением к L. Подпространства L и М имеют общим лишь один элемент 0.

Одним из основных свойств гильбертова пространства яв­ ляется следующее.

Если L — подпространство пространства Н, то для всякого ^ е Я существует единственное представление

x = y + z ,

где у е L, a z l L .

Элемент у называется проекцией х на L. Он обладает тем свойством, что по сравнению с другими элементами L находится на наименьшем расстоянии от х.

Каждый элемент Н разлагается в сумму элементов из под­ пространства L и его ортогонального дополнения М. Иначе го­

Из предыдущего вытекает весьма полезное следствие: для того чтобы линейное многообразие L было всюду плотно в про­ странстве Н, необходимо и достаточно, чтобы не существовало элемента, отличного от нулевого и ортогонального всем элемен­ там множества L.

Л и т е р а т у р а : [1], [9], [39], [52].

182ГЛ. IV. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

4.Линейные функционалы. Из неравенства Буняковского — Шварца следует, что линейный функционал f(x) = (x, и) при

фиксированном и ^ Н является ограниченным. Оказывается, что этим исчерпываются все линейные ограниченные функцио­ налы на Я, т. е. для всякого /(х )еЯ * найдется единственный элемент и ^ Н такой, что

f(x) = (x, и),

при этом II / ||я* = II и ||я .

Таким образом, сопряженное пространство Я* изометрично самому пространству Я. Сопряженное пространство рассматри­ вается здесь в смысле, изложенном в гл. I, § 5, п. 9. Гильбер­ тово пространство является самосопряженным и, следователь­ но, рефлексивным.

Всякий линейный функционал f, определенный на L2(a,b), может быть представлен в видеъ

f (х)= J x(t)U{t) dt,

Всякий линейный функционал f, определенный на l2l может быть представлен в виде

З а м е ч а н и е . Иногда удобно линейные функционалы на гильбертовом пространстве Я представлять не через скалярное произведение простран­ ства Я, а через скалярное произведение в некотором другом гильбертовом пространстве. Тогда сопряженное к Я пространство Я* будет уже реализо­

ваться с помощью элементов другой природы. Например, в пространствеWl2(G)

удобно линейный функционал f(x) представлять через скалярное произве­ дение в L2(G)yт. е. в виде

/ (я) = Jх (t) й (t) dt.

G

При этом u(t) будет уже, вообще говоря, обобщенной функцией (см.

Л и т е р а т у р а : [1], [9], [39], [52].

5. Слабая сходимость. В соответствии с общим определением слабой сходимости (см. гл. I, § 4, п. 3) последовательность эле­

мированных полиномов Лежандра. Ортогонализация этой си­

п

из которой и следует утверждение о конечности или счетности множества отличных от нуля коэффициентов са. Выражение

2 с аеа представляет собой ряд (или конечную сумму), назы-

а

ваемый рядом Фурье для элемента х; коэффициенты са удовле­ творяют неравенству Бесселя:

2 к . 2<1И Р.

а

Элемент / = 2а с / а есть проекция х на замкнутую линей-

ную оболочку L системы {еа}. Если L совпадает со всем Я, т. е. линейная оболочка системы {еа} плотна в Я, то система {еа}

называется полной (или замкнутой). Необходимым и достаточ­ ным условием полноты является равенство Парсеваля

н * | р = 2 | са\2

а

для любого х ^ Н .