146 |
ГЛ. Ill" ЛИНЕЙНЫЕ |
ОПЕРАТОРЫ |
при 0 < 00 < 01 < |
1, о < 0' < 1 и |
0 = (1 — 0')0оЧ“ 070г, равен |
ство пространств здесь понимается как изометрия. Если Еi вло жено в Е0 компактно, то [£0, E{\Q компактно вложено в [Е0,
( О < 0 о < 0 1< 1 ) .
Другой метод построения интерполяционных пространств со стоит в том, что рассматривается пространство s&(Eo,Ei) всех
функций |
cp(z) |
(0<: Re 2 ^ :1 ) со значениями в Ео + Еи голо |
|
морфных |
внутри полосы 0 < R e z < C l , непрерывных в замкну |
||
той полосе 0 ^ |
Re z |
1 и удовлетворяющих неравенству |
|
11ф(2)||£о+Й1< с(1+ |2 |).
Кроме того, предполагается, что функции
ф(/ + ” ч) — ф( / + *т2)
принимают значения из пространств Ej и справедливы неравен ства
IIФ(/ + ™ \ ) — Ф(У + *т2) | | < М | т, — т21.
В пространстве s4-(E0,Ei) вводится полунорма
i«PiUr |
=max>х{ |
sup |
ф U + |
<Т|) — |
ф (/ + 1 Т 2) |
|
— |
%2 |
|||
|
/=о.1.11 |
- оо < Т < оо |
|
|
|
Факторизация пространства s^(E^Ei) по подпространству кон стант приводит к банахову пространству, обозначаемому снова
через s&(E0f £i). |
|
Рассматривается множество [£0, ^ I]9 всех элементов х е £о+ |
|
+ £i, представимых в виде х = |
--JQ-—, где (p e i( £ o ,£ i) . От- |
носительно нормы |
|
11*11° = |
inf IIФ11^- |
х=<р' (0) |
|
[E0,E i]Qявляется банаховым пространством, интерполяционным между Ео и Е { с нормальным типом 0.
Если одно из пространств Ej (/= 0, 1) рефлексивно, то [£0, £Y|e изометрично [E0lEi]Q. В общем случае пространство [£0, £i]0 нор мально вложено в пространство [£0, £т]9 (см. гл. I, § 4, п. 10).
Если Ео П Е1 плотно вложено в Ej (/ — 0, 1), то сопряженное пространство [Е0, Еi]'Q изометрично пространству [£о, £i]9.
Исследовались также промежуточные пространства, состоя |
||
щие не из всех значений функций ф(г) |
из s£(Eo,Ei) |
при z — 0, |
а из значений некоторых обобщенных |
функций на |
функциях |
ф(г) из s&(E0 Ei), например, значений обобщенных функций б(п)(х — 0) : (бп, ф) = ф^п)(0). При этом рассматривались как об
§ 4. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ |
147 |
общенные функции на интервале (0, 1 ), так и обобщенные функ ции в полосе 0 < Re z < 1.
Ли т е р а т у р а : [101], [104], [128].
4.Интерполяционные семейства и шкалы пространств. Пусть
EQ, Ei (F0, FI)— интерполяционные пары пространств и Ea(Fa) — семейства банаховых пространств, зависящих от параметра а е ^[0,1], причем при 0 < а < 1 пространства Ea(Fa) являются
промежуточными между Е0 и Ei(F0 и Fi). Говорят, что семейство Еа относительно семейства Fa обладает
1 ) интерполяционным свойством, если для всякого линейного
оператора, действующего из £ 0+ £ I |
в Fo + |
^ь сужение которого |
||||
на Ej |
является ограниченным оператором |
из Ej в Fj |
(/ = |
0, 1 ), |
||
сужение на пространство Еа дает ограниченный оператор |
из Еа |
|||||
в Fa (0 < а < 1); |
|
|
|
|
||
2 ) |
нормально интерполяционным свойством, если, кроме того, |
|||||
|
|
, Г “ (1И)Ц»Р1Г; |
|
|
||
3) |
строго |
интерполяционным свойствам, если для |
всяких |
|||
осо, ai е [0, 1] |
семейство пространств |
Еа= |
ЯаоО-со+с^а |
обладает |
||
нормально интерпаляционным свойством относительно семейства
Fa== Fa0(1—a)+ata (0 ^ a ^ 1 );
4) почти интерполяционным свойством, если сужения на про странства Еа оператора, описанного в 1), являются ограничен
ными из Еа в любое пространство £ 3 (0 < |3 < a < |
1). |
Семейство банаховых пространств Еа (0 ^ а ^ |
1) называет |
ся шкалой пространств, если: 1 ) пространство Е$ плотно вложе
но в Еа при р > а, и \\х\\Еен^ |
с (а, Р)||х||^з; 2) |
существует конеч |
ная во всех точках области 0 ^ а < р < у ^ 1 |
функция с(а, р, у) |
|
такая, что |
|
|
11* 11* <с(а, |
р, у ) \ \ х \ \ ^ \ \ х \ \ ^ |
|
^3 |
a |
|
для любого х ^ Е Y. Если c(a, Р) = с(а,’р, у) = |
1, то шкала на |
|
зывается нормальной. Говорят, что нормальная шкала непре
рывна, если || х || = lim || х |L (х е Е{). a-*1
Пусть пространство Еi нормально вложено в пространство Е0. Эти пространства называют родственными, если существует не
прерывная нормальная шкала £ а, соединяющая их |
(т. е. Еа==0 = |
= Е0 и Ea== = Ei). Для того чтобы пространства |
Еi и Е0 (Ei |
нормально вложено в Е0) были родственными, необходимо и до статочно, чтобы единичный шар пространства Еi был замкнутым в топологии, индуцируемой в Еi нормой пространства Е0. При выполнении этого условия непрерывная нормальная шкала,
148 |
ГЛ. III. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ |
соединяющая Е0 и |
Еi, может быть составлена из пространств |
£ а Ш, получающихся пополнением линейного пространства Е{ по
нормам |
|
\f(x)\ |
|
|
ILmin — |
S lip ■ |
(X Z E E{1 0 < а < 1 ) . |
||
11р7а I |
||||
а |
f*=E0 |
Ео |
E \ |
Эта шкала называется минимальной. Любые две минимальные шкалы обладают нормально интерполяционным свойством по отношению друг к другу.
Непрерывная нормальная шкала Еа (0 ^ |
а ^ 1) называется |
правильной, если функция ln||ff| , выпукла |
при любом f е EQ. |
Еа |
|
Для любой правильной шкалы пространство Еа нормально вло
жено в пространство £ а Ш. Всякая правильная шкала обладает строго интерполяционным свойством относительно любой мини мальной шкалы.
Всякая шкала £ а, вложенная в минимальную (Еа cz Е™1п), и в частности, всякая правильная шкала обладает почти интерпо ляционным свойством относительно любой шкалы Fa, соединяю щей родственные пространства F0 и Ft.
Среди всех нормальных шкал Еа (0 ^ а ^ 1), соединяющих два нормально вложенные банаховы пространства Е0 и Еи су
ществует максимальная шкала |
Е™ах, т. е. такая, что |
|
11*11* < IU II |
max |
( x s = E u a e [ 0 , 1]). |
Максимальная шкала |
£™ах |
обладает строго интерполяцион |
ным свойством относительно любой нормальной шкалы Fa. Семейство Ea= [£0, £i]a, построенное методом комплексной
интерполяции в п. 3, обладает строго интерполяционным свой ством по отношению к любому другому такому семейству Fa= = [Fo, Et\a- Если EQ и EI родственны, то пространства [£0, Е\\а образуют непрерывную нормальную шкалу, соединяющую Е0 и Е\. Шкала [E0lE\]а вложена в минимальную и поэтому обладает почти интерполяционным свойством относительно произвольной шкалы Fa, соединяющей родственные пространства F0 и F{.
Семейство пространств (Е0, Ei)a> Pt к при каждом р е [ 1 , о о ] обладает нормально интерполяционным свойством относительно
любого семейства |
(Ео, Fi)a>р>к. Семейство пространств |
средних. |
S(a, ро\ а — 1 , ри |
Ei) также обладает нормально интерполяци |
|
онным свойством |
относительно любого семейства S(а, |
/?0, Е0; |
а — 1 , ри Ei). |
|
|
Если Е1 нормально вложено в £ 0, то любое семейство прост
ранств |
Еа такое, что £ 3 плотно вложено в Еа при р > |
а и S(a, |
00, Е0; |
а — 1, Еи а)=э E a ZD S(a, 1, E Q\ а — 1 , 1, ЕД, |
образует |
§ 4. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ |
149 |
шкалу. Шкала S(a, 1; Е0; а — 1, 1, Е\) вложена в любую дру гую шкалу, соединяющую пространства Е0 и Е{. Любая шкала S(a, ро, £о; а — 1, ри Ei) вложена в минимальную и поэтому об ладает почти интерполяционным свойством относительно лю бой шкалы Fa, соединяющей родственные пространства Fо
Ли т е р а т у р а : [101].
5.Интерполяция в пространствах суммируемых функций.
Пусть £2 — множество, на котором задана a-конечная мера (см.
гл. II, § 3, п. 2). Пространства Li(£2) |
и /^ (й ) вложены в линей |
|||
ное метрическое пространство S(Q) |
всех измеримых функций на |
|||
Q и, следовательно, образуют интерполяционную пару. Для х е |
||||
E S(Q) |
была введена функция mx(t) = |
mes{s: |* ( S ) | > T}. Об |
||
ратная |
к этой функции функция x*(t) = |
inf {т : тх(х) ^ |
t) (0 ^ |
|
t < |
оо) называется невозрастающей |
перестановкой |
функции |
|
x{s). |
|
|
|
|
Для того чтобы промежуточное пространство Е между Li(£2) и Loo(Q) было интерполяционным, необходимо и достаточно, что бы оно обладало свойством: если х ^ Е , y ^ S ( Q ) и
|
г |
г |
|
|
J |
у* (0 dt < J JK*(0 dt |
( 0 < г < о о ) , |
|
О |
О |
|
то у ^ Е . |
Если, кроме того, из последнего неравенства .вытекает, |
||
что |
\\х \\е , то константа МЕ в определении интерполяцион |
||
ного пространства (см. п. 1) равна 1. |
|
||
Справедливо |
более общее утверждение. Если £2i — другое |
||
пространство с a-конечной мерой, то для того, чтобы всякий ли нейный оператор, ограниченно действующий из Li(Q) в Li(£2i)
и |
из |
Loo(Q) в |
Lоо(Qi), |
действовал из |
промежуточного между |
Li(£2) |
и Loo(Q) |
пространства Е в промежуточное между Li(£2i) |
|||
и |
Loo(Qi) пространство |
Z7, необходимо |
и достаточно, чтобы из |
||
написанного неравенства для х<=Е и y<=S(QА) вытекало, что j/e F .
Для пространств 1ДЙ) и 1оо(й) функционал K(tyx) из п. 2 имеет вид
К (t, х) = J я* (т) rft.
о
Если ввести обозначение
о
150 ГЛ. III. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
то |
пространство |
Lpq(Q) = |
(L, (Q), |
(Q)),_1/p>q к, |
построенное |
|||||||||||||
по |
функционалу |
K(t, х), |
будет |
состоять |
из |
всех |
функций |
|||||||||||
из MQJ + L^Q), |
обладающих конечной нормой |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
РЧ(Q)' |
|
|
|
|
|
|
(1 < |
р < оо, |
1 |
< |
оо), |
|||||
|
|
sup {tVPX**{t)) |
|
|
(1 |
|
р ^ |
оо, |
q = |
оо). |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
0 <t<оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При |
p |
= q пространства |
Lpp(Q) |
(1 < р < оо) |
изоморфны |
||||||||||||
пространствам |
Lp{Q) и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
II х \\Lp (£2) < |
II х \\Lpp (£2) < |
р/(р |
— |
1)11 х \\Lp т . |
|
|
|
|||||||
|
Пространства |
L]oo(Q) и ^ „ (Q ) |
изометричны соответственно |
|||||||||||||||
пространствам |
L, (Q) |
и /,«,(0). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
В случае 1 < р < |
оо, q = oo пространства Lp<x>{Q) совпадают |
||||||||||||||||
с пространствами Марцинкевича М^, = МР с ф = |
Я-4р (см. гл. И, |
|||||||||||||||||
§ |
3, |
п. |
2), |
состоящими |
из |
всех |
функций, |
для |
которых |
|||||||||
sup |
(tl/px*(t)) < |
оо. |
Наконец, |
при |
1 < |
р < оо |
и |
<7= |
1 |
полу- |
||||||||
0 < t < ОО |
пространства |
Лоренца |
LpI(Q) = |
A^(Q) |
с ф — ptx!p. |
|
||||||||||||
чаются |
|
|||||||||||||||||
|
Из |
теоремы о реитерации п. 2 следует, |
что пространство |
|||||||||||||||
|
|
(LJQ), Lp2(Q)\ qK |
( 1 < р , < р 2 < о о , |
1 < р < о о ) |
|
|||||||||||||
изоморфно пространству |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
Lpq(Q) |
с |
1/р = (1 - 0 )/Л + |
0/А. |
|
|
|
|||||||
|
Первыми результатами в теории интерполяции линейных опе |
|||||||||||||||||
раторов были классические теоремы М. Рисса — Торина и Мар цинкевича, которые здесь приводятся.
Если линейный оператор А определен на множестве простых комплекснозначных функций на £2 (т. е. функций, принимающих лишь конечное число ненулевых значений на множествах конеч ной меры), действует в S(£2i) и обладает свойствами
II (Qi) ^ И* ^Lp] (Q) Qi ^ j = 0, 1),
то этот оператор может быть расширен по непрерывности до
ограниченного оператора, |
действующего из LP(Q)(Q) в L9(0)(£2I), |
где 1/р(0) = (1 — 0)/Ро + |
0/рь 1/?(0) = (1 — Q)/q0 + 0/<7i (0 < |
^ 0 ^ 1), и при этом |
|
I Ах LQ(0)(QI) < м Г 0М?||х '•t-Р (0) <Q)
( т е о р е ма М. Р и с с а — Т о р и н а ) .