Материал: Физика тонких пленок. Современное состояние исследований и технические применения. Т. 6

Ферми представляет эллипсоид вра­ щения. В этих работах рассмотрены как однозонная, так и двухзонная модели. Если главная ось эллипсои­ да постоянной энергии образует угол 1]) с поверхностью пленки, то

сопротивление пленки оказывается зависящим от угла ф и от направ­ ления тока в плоскости пленки. В случае двухзонной модели анизо­ тропия оказалась подобной той, ко­ торая получается при расчете высо­ кочастотного поверхностного сопро­ тивления в условиях аномального скин-эффекта [32, 62]. Несмотря на то что аномальный скин-эффект с успехом использовался для опреде­ ления поверхности Ферми меди [32], алюминия [63], олова 64] и вис­ мута [65], не предпринималось ни­ каких попыток использовать для этого анизотропию статической про­ водимости. Поскольку поверхность

Ферми многих металлов известна, изучение анизотропии сопро­ тивления тонких пленок могло бы дать информацию об анизо­ тропии длины свободного пробега электрона вдоль поверхности Ферми.

Обобщение теории проводимости монокристаллических пле­ нок с учетом возможности зеркального отражения электронов от поверхности было выполнено Прайсом [66], Пэрротом [53, 67] и Горкуном и Рашбой [68]. Расчеты Прайса показали, что про­ водимость тонкой пленки при несферической поверхности Фер­ ми в общем случае анизотропна и меняется с толщиной даже при чисто зеркальном отражении (см. также статью Пиппарда [69]). Подробный расчет показывает, что проводимость па­ дает при уменьшении толщины и стремится к конечному зна­ чению при нулевой толщине. Пэррот [67] показал, однако, что такой размерный эффект исчезает при чисто зеркальном отра­ жении в случае металла с поверхностью Ферми в виде одного эллипсоида. Горкун и Рашба утверждают, что при чисто зер­ кальном отражении размерный эффект должен отсутствовать даже при более общих условиях, рассмотренных Прайсом. Во всяком случае, характер зеркального отражения в металле с несферической поверхностью Ферми довольно необычен, что показано на фиг. 5. Из графика видно, что углы падения и от­ ражения в общем случае неравны, поскольку вектор, изобра-

жающий изменение квазиимпульса электрона при отражении, должен быть направлен по нормали к поверхности пленки.

Пэррот [53] использовал метод Хэма и Мэттиса [70] для рас­ чета проводимости тонких пленок со сферической и эллипсо­ идальной поверхностью Ферми, когда параметр зеркальности является функцией изменения квазиимпульса электрона при зеркальном отражении. Как было указано выше, в разд. 11,4, эта теория приводит к выводу о насыщении проводимости при уменьшении толщины.

За последние 15 лет появился целый ряд теоретических ра­ бот, посвященных анизотропной проводимости металлических пленок; в то же время экспериментальных данных явно недо­ статочно. Недавно, правда, была опубликована эксперименталь­ ная работа Райнеса и Соллиена [70а] об анизотропии сопро­ тивления алюминиевых пленок. Их исследование охватывает область температур от 2 до 15 К и обнаруживает четкую зави­ симость сопротивления от кристаллографической ориентации пленок. Для объяснения анизотропии было выдвинуто предполо­ жение, что электроны вблизи границ зоны Бриллюэна не дают вклада в ток. Необходимы дальнейшие экспериментальные ис­ следования в этом направлении для проверки некоторых кон­ цепций и дальнейшего развития теории.

б. Тонкие проволоки. Проведенный Динглом расчет сопротив­ ления металлических проволок основан на тех же допущениях, что и вычисления Фукса для пленок: предполагаются сфериче­ ские поверхности Ферми и изотропные времена релаксации. Бэйт, Мартин и Хилл [71] и Александров и Каганов [72] обобщили теорию на случай монокристаллических пленок. В обеих рабо­ тах приближенное выражение для проводимости, когда длина свободного пробега электрона гораздо больше диаметра про­ волоки (А:«с1), приобретает следующий вид:

где d — диаметр проволоки, Ф — угол между осью проволоки

(которая предполагается совпадающей с главной осью тензора объемной проводимости) и нормалью к поверхности Ферми, а dS — элемент площади поверхности Ферми. В случае эллипсо­

идальной поверхности Ферми интеграл в формуле (27) можно выразить через эффективную массу электрона. Таким образом, измерения размерного эффекта в монокристаллических прово­ локах могут быть использованы для определения интеграла в [27] или для получения информации об эффективной массе эле­ ктрона. В условиях, когда длина свободного пробега электрона гораздо меньше диаметра проволоки ( 6 > 1 ) , Бэйт и др. [71]

получили следующее выражение для проводимости:

ного пробега электрона, изменяющаяся в общем случае вдоль

сводятся должным образом к формулам Дингла соответственно для тонких и толстых пленок [формулы (19) и (18)]. Бэйт и сотр. вычислили также сопротивление поликристалла кубиче­ ской симметрии при условии, что размеры кристаллитов велики по сравнению с длиной свободного пробега электрона. В пре­

Из этого результата следует, что соотношение Нордгейма (23) может нарушаться даже в случае поликристаллической про­ волоки с кубической симметрией, если длина свободного про­ бега анизотропна.

6. ТЕМПЕРАТУРНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ

а. Модель Фукса— Дингла. В разд. II. 2 и II. 3 были выведе­ ны формулы для проводимости тонких пленок и проволок, при­ чем основное внимание уделялось зависимости проволоки от толщины. Интересно рассмотреть также температурную зависи­ мость проводимости (или сопротивления). Рассмотрим снача­ ла зависимость температурного коэффициента сопротивления а = (1/р) (dp/dT) от параметра k = d/l, затем зависимость сопро­

тивления от температуры.

Зависимость температурного коэффициента сопротивления от k очень легко вычислить, если удельное сопротивление можно

где р0 — объемное удельное сопротивление, a f(k) — произволь­ ная функция k. Используя (2), легко показать, что dkjdT = kom

и, следовательно,

где ао — объемный температурный коэффициент сопротивления. Из этого выражения можно найти а/ао для толстых и тонких

пленок и проволок. При р — 1 формула (31) сводится к равен­ ству а = OQ. При р < 1, используя (13) и (14), можно получить

предельные выражения для пленок:

Область применимости этих предельныхвыражений обсужда­ лась Кэмпбеллом [73].

Можно получить также соответствующие выражения для

Интересно отметить, что в предельных случаях тонких пленок и проволок исчезает зависимость от параметра р. Для пленок

общее выражение для а/ссо было получено Саворнином [74] и Кэмпбеллом [73]; зависимость а/ао от 6 и р показана на фиг. 6.

На фиг. 7 изображена зависимость температурного коэффи­ циента сопротивления от размеров для пленок и проволок при р = 0. В предельном случае малых k размерный эффект в про­

волоках опять-таки выражен гораздо сильнее, чем в пленках. Чтобы воспользоваться формулами Фукса и Дингла для вы­ числения температурной зависимости сопротивления тонких пленок и проволок, нужно знать температурную зависимость длины свободного пробега I. Зная 1 = 1(Т), можно вычислить сг0 = а0(Т) и k = k(T), а затем, используя выражение (7) или

соответствующую формулу Дингла [50] для проволок, найти р или а. В общем случае, однако, определить функцию 1{Т) экспе­

риментально или теоретически оказывается нелегко1). Харак­ терный вид температурной зависимости сопротивления тонкой пленки показан на фиг. 8 (кривая 2).

б. Модели с рассеянием на малые углы. В модели Фукса рас­ сеяние электронов дефектами решетки и фононами предпола­ гается изотропным. Это допущение позволяет пользоваться ки­ нетическим уравнением Больцмана в приближении времени релаксации. Рассеяние на примесях действительно изотропно, но рассеяние электронов на фононах при низких температурах уже не является таковым. При низких температурах электроны)*

*) Для экспериментального определения I(Г) нужно измерить объемное сопротивление ро как функцию от температуры и р как функцию от толщины при данной температуре, используя образцы с одинаковым содержанием де­ фектов. Последнее измерение дает / при фиксированной температуре, н, сле­ довательно, мы можем определить ро/ при этой температуре. Делая довольно произвольное допущение, что ро/ не зависит от температуры, можно по резуль­ татам измерения ро(7) найти /(7).