сопротивления тонкой пленки в зависимости от А и р был про
веден Зондхеймером [143], Соффером [45] и Брэндли и Котти[46]; результаты показаны на фиг. 2.
Если тонкая пленка получена путем напыления на подлож ку, две поверхности пленки, по всей вероятности, будут разли чаться и параметр зеркальности будет иметь разные значения для двух поверхностей. Юречке [47] и Лукас [48], используя
Ф иг. 2. Приведенное удельное сопротивление р/р0 тонкой пленки в зависи мости от приведенной толщины k = d/l при различных значениях параметра зеркальности р.
подход Фукса, вычислили проводимость пленки с различными поверхностями, характеризуемыми параметрами зеркальности р и q. Юречке [49] получил формулы для предельных случаев
толстой и тонкой пленки:
0/<го= 1 — (3/8*) [l - 4 (р + ?)], * » 1 , (16)
o/o0 = [3(;l+pUl + q)/4(l-pq)]kln(W ), |
k C L |
(17) |
Если две поверхности одинаковы, то р = q и эти |
формулы |
пе |
реходят в (13) и (14) соответственно. |
|
|
3. ТОНКИЕ ПРОВОЛОКИ |
|
|
Анализ Фукса был также применен для расчета электропро водности тонких проволок круглого [50], квадратного 113] и прямоугольного сечений [51]. Точные выражения оказываются
сложнее соответствующих формул для тонких пленок, но в пре дельном случае толстой проволоки они принимают вид
о/а0= 1—3/4/г, k > 1 |
(18) |
для круглого и квадратного сечений, где |
k — отношение диа |
метра круглого сечения или стороны квадратного сечения к длине свободного пробега в массивном образце. В предельном случае тонкой проволоки для круглого сечения имеем
o/o0 = k, |
k < 1, |
(19) |
а для квадратного сечения |
|
|
0/сто=1,1& , |
1. |
(20) |
Проводимость проволоки прямоугольного сечения размерами а и Ъ имеет значение, промежуточное между проводимостью
тонкой пленки и проводимостью тонкой проволоки; она сводится к проводимости пленки при а[Ь = 0 и к проводимости проволоки квадратного сечения при a/b = 1. Из сравнения формул (8) и (18) следует, что при больших k ограничение движения электро
нов в двух измерениях вызывает вдвое больший размерный эффект, чем в случае тонкой пленки. Однако проводимость в слу чае тонкой проволоки убывает при уменьшении толщины гораздо
Фиг. 3. Приведенное удельное сопротивление р /р о тонкой пленки и тонкой проволоки в зависимости от приведенной толщины к = dfl.
толщина пленки или диаметр проволоки,
i —тонкие проволоки; 2 — приближение тонких проволок, формула (23); 3 —тон
быстрее, чем в случае тонкой пленки. Соответствующие кривые приведены на фиг. 3. Если определить эффективную длину сво бодного пробега для проводимости тонких образцов /афф равен ством
o = n e4 ^lm vF, |
(21) |
то формулу (19) можно переписать в виде
oho==d/l = lm ll. |
(22) |
Из (22) следует, что в предельном случае очень тонкой про волоки эффективная длина свободного пробега электрона ста новится равной диаметру проволоки.
Формула для проводимости проволоки, наиболее часто используемая при анализе результатов, получается в предполо жении, что рассеяние электронов поверхностью не зависит от других механизмов рассеяния, так что 1/4фф = 1/1 + 1М Это вы
ражение, часто называемое формулой Нордгейма [52], можно записать в виде
р/р0= 1 + 1 / £ = 1 + / М |
(23) |
Приведенная формула значительно отличается от формулы Дингла для толстых проволок (18), однако при всех k она дает
значения сопротивления, которые с точностью до 5% совпадают с результатами расчета по формуле Дингла (фиг. 3).
Если рассеяние электронов поверхностью частично упругое и описывается параметром зеркальности р, то для приближен
ного вычисления проводимости проволоки можно воспользо ваться формулой (12). Для тонких проволок круглого сечения получаются следующие предельные выражения:
о/а0= 1 — [3(1 — p)/4k], |
k > 1, |
(24) |
o/o0 = (l + p)kl{l — p), |
k < l . |
(25) |
4. ПАРАМЕТР ЗЕРКАЛЬНОСТИ
Параметр зеркальности, введенный в разд. 11,2 и 11,3, пред полагался постоянной величиной, не зависящей от дебройлевской длины волны электрона и от угла падения электрона на поверхность. Другая формулировка была предложена Пэрротом [53] и Брэндли и Котти [46]. Они рассматривали отражение электронов от поверхности по аналогии с оптическим отраже нием, при котором вклад зеркального отражения возрастает при переходе к более длинным волнам и к скользящему падению. Параметр зеркальности предполагается равным единице, когда угрл падения (отсчитываемый рт нормали к поверхности)
Ф и г. 4. Приведенное удельное сопротивление р/р0 тонкой пленки в зави симости от приведенной толщины k = djl при различных значениях критиче ского угла ■&.
больше критического угла Ф, и равным нулю, когда угол паде ния меньше Ф. Численный расчет сопротивления пленки в зави симости от ■&и k был проделан Брэндли и Котти [46]; резуль
таты приведены на фиг. 4. При уменьшении толщины пленки сопротивление стремится к постоянному значению в отличие от монотонного возрастания сопротивления, которое имеет место при р — 0 для всех углов падения (•&= 90°). Критический угол
при котором параметр зеркальности меняется от нуля до еди ницы, будет зависеть от дебройлевской длины волны электрона и шероховатости поверхности. Шероховатым поверхностям и коротким длинам волн соответствуют большие значения угла ft.
Зависимость параметра зеркальности от угла и длины вол ны изучалась также Грином [54, 55], Грином и О’Доннелом [56], Займаном [57] и Соффером [58]. Грин рассмотрел ряд специфи ческих поверхностных механизмов рассеяния и показал, что феноменологический параметр зеркальности р нельзя отожде
ствлять с вероятностью зеркального отражения в кинетической теории. Однако введенные им более сложные граничные усло вия в случае металлов сводятся к простым условиям Фукса [54]. Займан описал влияние геометрической шероховатости на за висимость параметра зеркальности от длины волны при нор мальном падении. Соффер обобщил его результаты и распро странил их на более важный случай наклонного падения. Ис
пользуя статистическую модель отражения плоских волн от поверхности с математически хорошо определенными неровно стями, Соффер нашел компоненту в виде плоской волны, рас пространяющуюся в направлении зеркального отражения, и диффузную компоненту, зависящую от тангенциальной корре ляции неровностей поверхности. При отсутствии корреляции по лучается следующее выражение для параметра зеркальности:
р = ехр [— (4яЛ/Л,)2 cos2 ft], |
(26) |
где h — среднеквадратичное отклонение, % — дебройлевская
длина волны электрона, ft — угол падения, отсчитываемый от нормали. Пользуясь этим параметром зеркальности, можно из интегральной формулы Фукса [58] получить удельное сопротив ление тонкой пленки. Зависимость этого сопротивления от тол щины оказывается промежуточной между найденной ФуксЬм и той, которую получил Пэррот, причем разница становится более заметной в предельном случае тонких пленок. В отличие от мо дели Фукса получается насыщение сопротивления, однако оно наступает при меньшей толщине, чем в модели Пэррота. В пре дельных случаях сильно шероховатой и очень гладкой пленки все три модели совпадают.
5.АНИЗОТРОПИЯ МОНОКРИСТАЛЛА
а.Тонкие пленки. Теория проводимости тонких пленок, со зданная Фуксом, относится к случаю идеального металла со сферической поверхностью Ферми и изотропным временем ре лаксации или к случаю поликристаллического металла со слу чайным угловым распределением кристаллитов, размеры кото
рых предполагаются малыми по сравнению с длиной свободного пробега электрона. Эту теорию нельзя прилагать к проблеме проводимости монокристаллических пленок, в которых необхо димо учитывать ориентацию кристаллографических осей относи тельно поверхностей образца. Наличие поверхностей приводит к анизотропии проводимости, даже если объемная проводимость изотропна, как, например, в кристаллах кубической симметрии.
Каганов и Азбель [59] впервые вывели формулы для прово димости тонких монокристаллических металлических пленок и показали, как можно из результатов измерения проводимости получить сведения о поверхности Ферми. В случае сферической поверхности Ферми их результаты переходят в формулу Фукса для диффузного рассеяния электронов поверхностью.
В работах Инглмена и Зондхеймера [60] и Зондхеймера [61] модель Фукса для диффузного рассеяния электронов поверх ностью обобщается на случай монокристаллической металличе ской пленки с одноосной анизотропией, когда поверхность