Материал: Теоретическая физика. Ч. 1. Статика. учеб. пособие. Переславцева Н.С., Бестужева Н.П

Алгебраическим моментом пары сил называют взятое со знаком плюс или минус произведение одной из сил пары на плечо пары сил.

Плечом пары сил называют кратчайшее расстояние между линиями действия сил пары (рис. 22).

Алгебраический момент пары обозначим или . Согласно определению,

. (20)

Алгебраический момент пары сил выражается в тех же единицах, что и алгебраический момент силы относительно точки.

Алгебраический момент пары сил имеет знак плюс, если пара сил стремится вращать тело против часовой стрелки, и знак минус, если пара сил стремится вращать тело по часовой стрелке.

Алгебраический момент пары сил не зависит от переноса сил пары вдоль своих линий действия и может быть равен нулю, если линии действия сил пары совпадают, т.е. в случае двух равных по модулю, но противоположных по направлению сил, действующих вдоль одной прямой. Такая система двух сил, как известно, эквивалентна нулю. Алгебраический момент пары сил численно равен площади параллелограмма, построенной на силах пары:

.

§ 2. Теорема об эквивалентности двух пар сил, расположенных в одной плоскости

Докажем, что пары сил, расположенные в одной плоскости, по своему действию на тело отличаются одна от другой только алгебраическими моментами.

Д

Рис. 23

Д окажем теперь следующую теорему об эквивалентности двух пар сил: пару сил, действующую на твердое тело, можно заменить другой парой сил, расположенной в той же плоскости действия и имеющей одинаковый с первой парой алгебраический момент. Иначе: две пары сил, расположенные в одной плоскости, эквивалентны, если они имеют одинаковые алгебраические моменты.

Пусть на твердое тело действует пара сил с алгебраическим моментом (рис. 23). Перенесем силу в точку О₁, а силу – в точку О₂, проведем через точки О₁ и О₂ две любые параллельные прямые, пересекающие линии действия сил пары и лежащие, следовательно, в плоскости действия заданной пары сил. Соединив прямой точки О₁ и О₂, разложим силы в точке О₁ и – в точке О₂ по правилу параллелограмма, как указано на рис. 23. Тогда

,

.

Так как силы и образуют пару сил, то

и, следовательно,

,

.

Итак

~ ~ ,

т.к. ~0 и, следовательно, эту систему двух сил можно отбросить.

Таким образом, заданную пару сил заменим другой парой сил . Докажем, что алгебраические моменты у этих пар сил одинаковы. Направление вращения у них одно и то же. Имеем:

;

.

Но , так как эти треугольники имеют общее основание О₁О₂ и равные высоты (их вершины расположены на общей прямой, параллельной основанию).

Таким образом, теорема доказана и можно сделать следующие выводы:

а) пару сил как жесткую фигуру можно как угодно поворачивать и переносить в ее плоскости действия;

б) у пары сил можно изменять плечо и силы, сохраняя при этом алгебраический момент пары и плоскость действия.

Эти операции над парами сил не изменяют их действия на твердое тело.

§ 3. Теорема об эквивалентности двух пар сил, расположенных в одной плоскости

Д ействие пары сил на твердое тело не изменяется от переноса этой пары сил в параллельную плоскость (рис. 24).

Д

Рис. 24

, .

Выберем силы и так, чтобы они удовлетворяли условиям

и

Сложим две равные и параллельные силы и . Их равнодействующая параллельна этим силам, равна их сумме и приложена посередине отрезка АВ₁ в точке О, так как складываются равные параллельные силы. Равнодействующая двух равных параллельных сил и тоже равна их сумме, параллельна им и приложена на середине отрезка ВА₁, т.е. в точке О, где пересекаются диагонали прямоугольника АВА₁В₁. Так как , то система сил эквивалентна нулю и ее можно отбросить.

Таким образом, пара сил эквивалентна такой же паре сил , но лежащей в другой, параллельной плоскости. Пару сил, не изменяя ее действия на твердое тело, можно перенести из одной плоскости в другую, параллельную ей.

§ 4. Векторный момент пары сил

Пару сил, приложенную к твердому телу, можно охарактеризовать плоскостью действия, моментом пары сил и направлением вращения пары. Все эти элементы пары сил в пространстве можно выразить одной величиной – векторным моментом пары сил.

В

Рис. 25

Согласно определению, числовое значение векторного момента пары сил совпадает с модулем алгебраического момента пары сил и, следовательно,

,

где – плечо пары сил.

Векторный момент пары сил численно выражается площадью параллелограмма, построенного на силах пары:

.

Отметим простейшие свойства векторного момента пары сил: его числовое значение не зависит от переноса сил пары вдоль своих линий действия, и он может быть равен нулю, если одна из сторон параллелограмма АВСD превратится в точку, т.е. плечо пары или сила пары становится равной нулю.

Векторный момент пары сил можно выразить в виде векторного произведения двух векторов:

. (21)

Действительно,

,

что совпадает с модулем векторного момента пары сил.

Направления векторных произведений и перпендикулярны плоскости, где лежат сомножители векторных произведений, а следовательно, и плоскости действия пары сил. Они совпадают с направлением векторного момента пары сил .

§ 5. Эквивалентность пар сил

Сформулируем условия эквивалентности двух пар сил, используя наиболее общую характеристику пары сил – ее векторный момент.

Известно, что пару сил можно как угодно поворачивать и переносить в плоскости ее действия; действие пары сил на твердое тело не изменяется, если алгебраический момент пары сил остается таким же. Следовательно, векторный момент пары сил можно переносить параллельно самому себе в любую точку твердого тела, лежащую в плоскости действия пары сил. Так как к тому же пару сил можно переносить в параллельную плоскость, то векторный момент пары сил можно переносить параллельно самому себе в любую точку тела, не изменяя действия пары сил на твердое тело. Поэтому векторный момент пары сил, действующей на твердое тело, есть свободный вектор, т.е. он характеризуется только модулем и направлением, а точкой приложения у него может быть любая точка тела; следовательно, векторный момент пары сил не обязательно прикладывать посередине отрезка, соединяющего точки приложения сил пары.