Материал: Теоретическая физика. Ч. 1. Статика. учеб. пособие. Переславцева Н.С., Бестужева Н.П

Условимся векторный момент силы относительно точки О обозначать , а его числовую величину – . Тогда, согласно определению,

.

К ак и для алгебраического момента, векторный момент силы относительно точки равен удвоенной площади треугольника, построенного на силе и моментной точке:

.

С

Рис. 16

праведлива формула

, (9)

где – радиус-вектор, проведенный из моментной точки О в точку приложения силы или любую другую точку линии действия силы.

Чтобы убедиться в справедливости формулы (9), достаточно показать, что по величине и направлению выражает векторный момент силы относительно точки О. По определению векторного произведения двух векторов известно, что

.

Как показано на рис. 16, , причем это равенство справедливо для любой точки линии действия, куда проведен радиус-вектор . Итак,

,

что совпадает с векторным моментом силы относительно точки О. Вектор , как известно, перпендикулярен плоскости, в которой расположены векторы и , т.е. плоскости треугольника ОАВ, которой перпендикулярен векторный момент .

Н аправление тоже совпадает с направлением . Заметим, что векторный момент силы относительно точки считается вектором, приложенным к этой точке.

Векторный момент силы относительно точки не изменяется от переноса силы вдоль ее линии действия. Он станет равным нулю, если линия действия силы пройдет через моментную точку.

Е

Рис. 17

сли сила дана своими проекциями на оси координат и даны координаты точки приложения этой силы (рис. 17), то векторный момент относительно начала координат, согласно формуле (9), после разложения по осям координат вычисляется по формуле

, (10)

где – единичные векторы, направленные по осям координат.

Используя формулу (10), можно выделить проекции на оси координат:

(11)

Модуль векторного момента и косинусы углов его с осями координат определяем по формулам:

. (12)

В формулах (12) числовую величину берем со знаком плюс.

§ 3. Момент силы относительно оси

М

Рис. 18

оментом силы относительно оси называют алгебраический момент проекции этой силы на плоскость, перпендикулярную оси, относительно точки пересечения оси с этой плоскостью (рис. 18). Момент силы относительно оси считается положительным, если проекция силы на плоскость, перпендикулярную оси (проекция силы на плоскость является вектором), стремится вращать тело вокруг положительного направления оси против часовой стрелки, и отрицательным, если она стремится вращать тело по часовой стрелке. Момент силы, например, относительно оси Оz обозначим . По определению,

, (13)

где – вектор проекции силы на плоскость , перпендикулярную оси Оz, а точка О – точка пересечения оси Оz с плоскостью .

Из определения момента силы относительно оси следует, что введенный выше алгебраический момент силы относительно точки можно считать моментом силы относительно оси, проходящей через эту точку, перпендикулярно плоскости, в которой лежат сила и моментная точка. Момент силы относительно оси можно выразить через площадь треугольника, построенного на проекции силы и точке пересечения О оси с плоскостью:

. (14)

Из формулы (14) можно получить следующие важные свойства момента силы относительно оси:

1. Момент силы относительно оси равен нулю, если сила параллельна оси. В этом случае равна нулю проекция силы на плоскость, перпендикулярную оси.

2. Момент силы относительно оси равен нулю, если линия действия силы пересекает эту ось. В этом случае линия действия проекции силы на плоскость, перпендикулярную оси, проходит через точку пересечения оси с плоскостью, соответственно, равно нулю плечо силы относительно точки О.

В обоих этих случаях ось и сила лежат в одной плоскости. Т.о. можно сказать, что момент силы относительно оси равен нулю, если сила и ось лежат в одной плоскости.

§ 4. Связь момента силы относительно оси с векторным моментом силы относительно точки на оси

И спользуя формулу (14), имеем (рис. 19):

. (14’)

В

Рис. 19

екторный момент силы относительно точки О, взятой на пересечении оси Оz с перпендикулярной плоскостью , выражается в виде:

. (15)

Векторный момент направлен перпендикулярно плоскости треугольника ОАВ. Аналогично, для другой точки О₁ оси Оz:

, (16)

причем векторный момент направлен перпендикулярно плоскости треугольника О₁АВ. Треугольник ОА₁В₁ является проекцией треугольников ОАВ и О₁АВ на плоскость . Из геометрии известно, что площадь проекции плоской фигуры равна площади проецируемой фигуры, умноженной на косинус угла между плоскостями, в которых расположены эти фигуры. Угол между плоскостями измеряется углом между перпендикулярами к этим плоскостям. Перпендикуляром к плоскости треугольника ОА₁В₁ является ось Оz, а перпендикулярами к плоскостям треугольников ОАВ и О₁АВ – соответственно векторные моменты и . Таким образом, , где – угол между вектором и осью Оz. Отсюда по формулам (14') и (15) имеем:

, (17)

причем знак полностью определяется знаком . Аналогично,

,

т. е.

, (18)

где О₁ – любая точка на оси Оz.

Формулы (17) и (18) отражают искомую связь между моментом силы относительно оси и векторными моментами силы относительно точек, лежащих на этой оси: момент силы относительно оси равен проекции на эту ось векторного момента силы относительно любой точки на оси.

Эту зависимость между моментом силы относительно оси и векторным моментом силы относительно точки на оси можно принять за определение момента силы относительно оси.

§ 5. Формулы для моментов силы относительно осей координат

Используя связь момента силы относительно оси с векторным моментом силы относительно точки на оси, можно получить формулы для вычисления моментов относительно осей координат, если даны проекции силы на оси координат и координаты точки приложения силы.

Для оси Ох имеем:

.

Согласно (11), следовательно, .

Аналогично, для осей Оу и Оz. Окончательно получим:

. (19)

По формулам (19) можно вычислить моменты силы относительно прямоугольных осей координат.

По этим формулам получаются необходимые знаки для , если проекции силы на оси координат и координаты точки приложения силы подставлять в них со знаками этих величин.

При решении задач момент силы относительно какой-либо оси часто получают, используя его определение, т.е. проецируя силу на плоскость, перпендикулярную оси, и вычисляя затем алгебраический момент этой проекции относительно точки пересечения оси с этой плоскостью.

III. Теория пар сил

§ 1. Пара сил и алгебраический момент пары сил

Пару сил в механике рассматривают как одно из основных понятий наряду с понятием силы.

П арой сил называют систему двух равных по модулю параллельных сил, направленных в противоположные стороны (рис. 20).

П

Рис. 20.

ара сил не составляет системы сил, эквивалентной нулю.

Известно, что под действием пары сил свободное твердое тело выходит из равновесия. Обычно пару сил прилагают к телу, которое должно вращаться, например, к маховику вентиля при его закрывании и открывании (рис. 21). Поэтому пару сил нельзя заменить одной силой и, следовательно, она не имеет равнодействующей, а является такой системой сил, упростить которую нельзя. Каждая из сил, входящих в состав пары сил, имеет свойства обычных сил.

П ара сил, действующая на твердое тело, характеризуется прежде всего плоскостью действия, аналогично тому, как сила характеризуется линией действия. Плоскостью действия пары сил называют плоскость, в которой расположены силы пары.

Д

Рис. 21

Рис. 22

ля количественной характеристики действия пары сил на твердое тело и указания направления, в котором пара сил стремится вращать тело в плоскости действия, введем понятие алгебраического момента пары сил.