Материал: Теоретическая физика. Ч. 1. Статика. учеб. пособие. Переславцева Н.С., Бестужева Н.П

ГОУВПО

«Воронежский государственный технический университет»

Н.С. Переславцева

Н.П. Бестужева

В.А. Баскаков

Теоретическая физика

Часть 1

статика

Утверждено Редакционно-издательским советом

университета в качестве учебного пособия

Воронеж-2007

УДК 531.8

Переславцева Н.С. Теоретическая физика. Ч. 1: Статика: учеб. пособие / Н.С. Переславцева, Н.П. Бестужева, В.А. Баскаков. – Воронеж: ГОУВПО «Воронежский государственный технический университет», 2007. – 106 с.

В работе изложены основные понятия раздела теоретической физики «Статика». Рассмотрены положения, аксиомы, теоремы статики и их следствия.

Издание соответствует требованиям Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по направлению 110300 «Агроинженерия», специальности 110302 «Электрификация и автоматизация сельского хозяйства», дисциплине «Теоретическая механика».

Издание предназначено студентам 2 курса дневной формы обучения.

Учебное пособие подготовлено в электронном виде в текстовом редакторе MS WORD и содержится в файле ТМТФ-Статика.document.

Ил. 64. Библиогр.: 4 назв.

Рецензенты: кафедра физики твердого тела и наноструктур Воронежского государственного университета (зав. кафедрой д-р физ.-мат. наук, проф. Э.П. Домашевская);

канд. физ.-мат. наук, доц.

В.А. Скрипников

© Переславцева Н.С., Бестужева Н.П., Баскаков В.А., 2007

© Оформление. ГОУВПО «Воронежский государственный технический университет», 2007

Введение

Все явления природы представляют собой движение различных форм материи. В теоретической физике (механике) рассматриваются механические движения материальных объектов, таких как материальные тела или сплошные среды, и не рассматриваются такие физические объекты, как электромагнитное поле, его источники и др. Материальность тел и сплошных сред в теоретической механике характеризуется массой и другими величинами, связанными с ней.

Всякое изменение материи называют движением. Одним из простейших является механическое движение – перемещение материальных объектов в пространстве с течением времени без рассмотрения физических свойств движущихся материальных объектов и их изменения в процессе движения. Механическое движение обычно входит составной частью в более сложные виды движения материи.

В теоретической механике изучаются механические движения вещественных форм материальных объектов в пространстве с течением времени.

Пространство, время, как и материя, являются сложными понятиями. В теоретической механике используются их упрощенные понятия или модели. Пространство считается не зависящим от времени и движущейся в нем материи. Принимают, что оно обладает всеми геометрическими свойствами евклидовой геометрии. Время считают универсальным, не связанным с пространством и движущейся материей. Его характеризуют каким-либо периодическим процессом, например периодом вращения Земли.

В теоретической механике широко используются математические методы, абстрактные понятия, модели явлений и законы логики, являющиеся составной частью диалектического метода.

Каждый раздел теоретической механики имеет в своей основе ряд понятий и аксиом, имеющих опытное происхождение. Вводя новые понятия и используя законы логики, получают следствия или теоремы в форме, удобной для практического применения.

Теоретическая механика все время развивается. По мере углубления наших знаний выявляются границы применимости теоретической механики, относительность ее понятий. Выяснилось, что аксиомы или законы классической механики Ньютона не абсолютны.

Для материальных тел, скорости которых близки к скорости света, вместо классической механики следует применять механику специальной теории относительности. Классическая теоретическая механика ограниченно применима для изучения движения элементарных частиц атома, таких как электрон, протон и др., для изучения движения которых следует применять квантовую механику.

Теоретическая механика широко применяется в технике (авиации, космонавтике, машиностроении, кибернетике и т. д.). На базе теоретической механики возникли и успешно развиваются многие науки, такие как сопротивление материалов, теория упругости, гидродинамика, газовая динамика и др. В этих науках обычно к законам механики добавляются другие законы, характеризующие дополнительные свойства материальных тел. В сопротивлении материалов и теории упругости учитывается деформация тел и добавляется закон Гука о связи деформаций с силами. В гидродинамике учитывается скорость деформации и используется дополнительный закон о связи скоростей деформации и сил. В газовой динамике, кроме того, учитывается сжимаемость газа.

Теоретическая механика имеет свою историю становления законов и понятий. Она создавалась вместе с развитием техники под непосредственным влиянием развития производительных сил общества и всей человеческой культуры. Теоретическая механика берет свое начало в глубокой древности, задолго до нашей эры.

Наибольший вклад в основу современной теоретической механики внесли великие ученые Галилей (1564–1642) и Ньютон (1643–1727). Дальнейшее развитие теоретической механики связано с именами многих ученых, наиболее выдающиеся из которых Гюйгенс (1629–1695), Даламбер (1717–1783), Эйлер (1707–1783), Лагранж (1736–1813) и многие другие.

Большой вклад в развитие современной механики внесли русские ученые, такие как М.В. Остроградский (1801–1862), Н.Е. Жуковский (1847–1921), С.В. Ковалевская (1850–1891), А.М. Ляпунов (1851–1918), К.Э. Циолковский (1857–1935) и др. Своими исследованиями и открытиями они в значительной мере содействовали развитию механики и ее приложений в технике и естествознании.

Теоретическая механика делится на три части: статику, кинематику и динамику. Статика – раздел теоретической механики, в котором рассматривают свойства сил, приложенных к точкам твердого тела, и условия их равновесия. В кинематике изучают чисто геометрические формы механических движений материальных объектов без учета условий и причин, вызывающих и изменяющих эти движения. В динамике изучаются механические движения материальных объектов в зависимости от сил, т.е. от действия на рассматриваемые объекты других материальных объектов.

В данной части учебного пособия кратко изложены основные положения, понятия и законы, которыми оперирует статика.

I. Основные понятия и аксиомы. Сходящиеся силы

В статике твердого тела рассматриваются свойства сил, приложенных к твердому телу. В частности, изучается приведение сложных систем сил к более простому виду и устанавливаются условия равновесия различных систем сил, действующих на твердое тело или материальную точку.

Теоретическая механика, как и всякая другая наука, имеет свои понятия и определения, которые используются для формулирования ее аксиом и теорем. Статика базируется на аксиомах, из которых по законам логики, вводя новые понятия, получают все необходимые следствия в удобной для применения форме.

§ 1. Основные понятия и определения

Материальная точка – простейшая модель материального тела любой формы, размеры которого достаточно малы и которое можно принять за геометрическую точку, имеющую определенную массу.

Механической системой называется любая совокупность материальных точек.

Абсолютно твердым телом (или неизменяемой механической системой) называют механическую систему, расстояния между точками которой не изменяются при любых взаимодействиях. Все тела в природе в той или иной мере деформируемы, но в некоторых задачах деформациями тел можно пренебречь, считая тела твердыми. При рассмотрении движения Земли вокруг Солнца ее можно считать абсолютно твердым телом и даже материальной точкой, хотя в действительности она не твердая, так как на ней есть океаны, воздушная оболочка и т. д. В дальнейшем абсолютно твердое тело будем называть просто твердым телом.

Основным, первичным понятием в теоретической механике является понятие силы. Силой называют одну из векторных мер действия одного материального объекта на другой рассматриваемый объект. Имеются разные меры действия: скалярные и векторные. Обычно за эталон числового значения силы принимают значение линейной силы упругости, например пружинного динамометра, которая пропорциональна его деформации. Числовые значения сил различной природы определяют путем сравнения со значением линейной силы упругости.

Сила кроме числового значения характеризуется точкой приложения и направлением действия. Она является векторной величиной. Механическое действие материальных тел друг на друга осуществляется при их соприкосновении (давление стула на пол в местах соприкосновения ножек с полом) или как действие на расстоянии при посредстве силовых полей (притяжение Луны Землей и т.п.).

Силу как величину векторную обозначают какой-либо буквой со знаком вектора, например или . Для выражения числового значения силы или ее модуля используется знак модуля от вектора, т.е. , или те же буквы, но без знака вектора, т. е. , .

Системой сил называют совокупность сил, действующих на рассматриваемое тело или в более общем случае на точки механической системы. Можно рассматривать систему сил, приложенных к одной материальной точке.

Системой сил, эквивалентной нулю (или равновесной системой сил), называют такую систему сил, действие которой на твердое тело или материальную точку, находящиеся в покое или движущиеся по инерции, не приводит к изменению состояния покоя или движения по инерции этого тела или материальной точки.

Две системы сил называются эквивалентными, если их действие по отдельности на одно и то же твердое тело или материальную точку одинаково при прочих равных условиях, т.е. если одна система сил приводит твердое тело или материальную точку в какое-то движение, например из состояния покоя, то другая система сил, эквивалентная первой, сообщит такое же движение. Движения, вызванные действием эквивалентных систем сил, имеют одинаковые характеристики для каждого момента времени. Условие эквивалентности двух систем сил и выражают в форме:

~

где и – число сил в системах.

Равнодействующей силой рассматриваемой системы сил называют силу, действие которой на твердое тело или материальную точку эквивалентно действию этой системы сил. Равнодействующая сила обозначается , условие ее эквивалентности рассматриваемой системе сил выражается в виде:

~ .

Равновесная система сил имеет равнодействующую, равную нулю.

Уравновешивающей силой заданной системы сил считается такая сила, добавление которой к заданной дает новую систему, эквивалентную нулю. Если является уравновешивающей силой системы сил , то, согласно определению, она удовлетворяет условию:

~0.

В дальнейшем убедимся, что не всякая система сил имеет равнодействующую и уравновешивающую силы. Есть системы сил, которые не находятся в равновесии и не эквивалентны одной силе.

§ 2. Аксиомы статики

Справедливость аксиом механики проверяется на опыте как непосредственно, так и по тем следствиям, которые из них получают.

При формулировке аксиом предполагаем, что на твердое тело или материальную точку действуют силы, которые указаны в соответствующей аксиоме. Твердое тело или материальную точку в общем случае следует считать свободными, имеющими возможность совершать в рассматриваемый момент любые перемещения в пространстве.

I. Аксиома о равновесии системы двух сил. Для равновесия системы двух сил, приложенных к точкам твердого тела, н

Рис. 1

еобходимо и достаточно, чтобы эти силы были равны пол модулю и действовали вдоль одной прямой, проходящей через точки их приложения, в противоположных направлениях (рис. 1). Этой аксиомой устанавливается простейшая система сил, эквивалентная нулю. Если силы и находятся в равновесии, то, естественно, они образуют систему сил, эквивалентную нулю. Действие такой системы сил на покоящееся твердое тело не изменяет состояния покоя этого тела. Аксиома справедлива и для сил, приложенных к одной точке тела или одной материальной точке.

II. Аксиома о добавлении (отбрасывании) системы сил, эквивалентной нулю. Если на твердое тело действует система сил, то к ней можно добавить (отбросить) систему сил, эквивалентную нулю. Полученная после добавления (отбрасывания) новая система сил является эквивалентной первоначальной системе сил. Под действием заданной системы сил и новой, полученной после добавления (отбрасывания) равновесной системы сил, тело будет двигаться (или находиться в покое) совершенно одинаково при прочих равных условиях. В частности, к любой системе сил можно добавить (отбросить) простейшую равновесную систему сил, состоящую из двух равных по модулю сил, действующих вдоль одной прямой в противоположных направлениях и приложенных в одной или разных точках твердого тела в соответствии с первой аксиомой.

III. Аксиома параллелограмма сил. Две силы, действующие в одной точке твердого тела или на одну материальную точку, можно заменить одной равнодействующей силой, равной по модулю и направлению диагонали параллелограмма, построенного на заданных силах (рис. 2). Очевидно, справедливо и обратное. Одну силу, приняв за равнодействующую, можно разложить по правилу параллелограмма на две составляющие силы.

Э ту аксиому долгое время в истории развития механики пытались доказать и, следовательно, считали теоремой. Тщательный анализ таких доказательств, часто очень остроумных, показал, что для этого дополнительно используются положения, которые следует принимать за аксиомы.

З

Рис. 2

амену двух сил одной равнодействующей силой по правилу параллелограмма называют векторным сложением этих сил. Векторное сложение сил и математически выражают так:

.

Если силы и направлены по одной прямой в одну или противоположные стороны, то векторное сложение переходит в алгебраическое.

Модуль равнодействующей силы как векторную сумму сил вычисляют по формуле диагонали параллелограмма