Материал: Теоретическая физика. Ч. 1. Статика. учеб. пособие. Переславцева Н.С., Бестужева Н.П

. (65)

Таким образом, главный вектор системы сил является векторным инвариантом. Для одной и той же системы сил он не зависит от выбора центра приведения.

Из векторного равенства (65) следует, что равны модули и проекции главных векторов на любые оси координат, т. е.

, , , . (65’)

Для получения второго, скалярного, инварианта используем формулу (64):

.

Умножая обе части этого равенства скалярно на , причем в правой части при умножении вместо , согласно (65), возьмем , получим

,

или

, (66)

так как смешанное произведение векторов, содержащих два одинаковых множителя , равно нулю, т. е.

.

Соотношение (66) является вторым скалярным инвариантом: скалярное произведение главного момента на главный вектор не зависит от центра приведения. Второй скалярный инвариант можно выразить в двух других эквивалентных формах, если раскрыть скалярное произведение векторов в (66). Обозначая проекции на оси координат через , , , а проекции – соответственно через , , , второй инвариант можно выразить в форме

. (66’)

К роме того, формуле (66) можно придать вид:

,

г

Рис. 53

де – угол между векторами и , а – между и (рис.53). После сокращения на получим

. (66”)

В этой форме второй инвариант утверждает, что проекция главного момента на направление главного вектора не зависит от центра приведения.

Если главный момент в каждом центре приведения разложить на две взаимно перпендикулярные составляющие, одна из которых направлена по главному вектору, то, учитывая, что главные векторы в различных центрах приведения параллельны, согласно (66”), получим

, (67)

где – составляющая главного момента по направлению главного вектора , а —составляющая главного момента по направлению главного вектора . Соотношение (67) является следствием первого и второго инвариантов.

Рассмотренные инварианты (65) и (66) являются независимыми, т.е. из одного не следует другой. Комбинируя эти инварианты, можно получить другие, зависящие от них инварианты.

§ 3. Частные случаи приведения пространственной системы сил

Произвольная система сил приводится к силе, равной главному вектору , и паре сил, векторный момент которой равен главному моменту . В зависимости от их модулей и взаимного направления, т.е. угла между ними, можно произвести дальнейшие упрощения.

Приведение к паре сил. Если , , то система сил приводится к одной паре сил, причем главный момент в этом случае, согласно (64), не зависит от выбора центра приведения. В рассматриваемом случае оба инварианта системы сил равны нулю, т.е.

, .

Приведение к равнодействующей. Возможны два случая.

1. Если , (первый инвариант , второй – ), то система приводится к равнодействующей силе , равной по модулю и направлению главному вектору , т.е.

.

Линия действия равнодействующей силы в этом случае проходит через центр приведения.

2. Если , , но , т.е. (первый инвариант , второй – ), то система сил тоже приводится к равнодействующей, причем опять

.

Н

Рис. 54

о линия действия равнодействующей силы отстоит от центра приведения на расстоянии . Действительно, в этом случае имеем силу и пару сил с векторным моментом , причем силы пары можно считать расположенными в одной плоскости с силой , так как векторный момент пары перпендикулярен силе (рис. 54). Поворачивая и перемещая пару сил в ее плоскости, а также изменяя силы пары и ее плечо, при сохранении векторного момента можно получить одну из сил пары , равной по модулю, но противоположной по направлению главному вектору . Другая сила пары и будет равнодействующей силой. Действительно,

~ ~ , ,

так как система двух равных по модулю, но противоположных по направлению сил ~0 и может быть отброшена. Таким образом, рассматриваемая система сил оказалась эквивалентной одной равнодействующей силе , которая по модулю и направлению совпадает с главным вектором . Плечо пары сил определяется из условия

,

так как . Отрезок определяет кратчайшее расстояние от центра приведения до линии действия равнодействующей силы . Первый случай является частным случаем второго, когда за центр приведения взята точка, расположенная на линии действия равнодействующей силы.

П

Рис. 55

риведение к динаме. Динамой в механике называют такую совокупность силы пары сил , действующих на твердое тело, у которой сила перпендикулярна плоскости действия пары сил (рис. 55). Используя векторный момент пары сил , можно также определить динаму как совокупность силы и пары, у которых сила параллельна векторному моменту пары сил (рис. 56). Сила и векторный момент пары сил могут быть направлены как в одну, так и в противоположные стороны.

Р

Рис. 56

ассмотрим теперь случай, в котором , , и векторы и не перпендикулярны. В этом случае оба инварианта не равны нулю, т. е.

, .

Покажем, что система сил в этом случае приводится к динаме, причем элементами динамы являются сила и момент пары , где – угол между векторами и . Действительно, после приведения системы сил к центру получим главный вектор и главный момент . Косинус угла между ними можно определить выражая скалярное произведение векторов и в двух формах:

;

.

Р

Рис. 57

азложим главный момент на две взаимно перпендикулярные составляющие и , одна из которых направлена по главному вектору (рис. 57). Имеем:

§4. Уравнение центральной винтовой оси

П

Рис. 59.

редположим, что в центре приведения, принятом за начало координат, получены главный вектор с проекциями на оси координат и главный момент с проекциями . При приведении системы сил к центру приведения (рис. 59) получается динама с главным вектором и главным моментом . Векторы , и , как образующие динаму, параллельны и поэтому могут отличаться только скалярным множителем . Имеем

, (71)

так как . Главные моменты и , согласно (64), удовлетворяют соотношению

. (64)

Подставляя из (64) в (71), получим

. (71’)

Координаты точки в которой получена динама, обозначим . Тогда проекции вектора на оси координат равны координатам . Учитывая это, (71’) можно выразить в форме

, (71”)

где – единичные векторы осей координат; а векторное произведение представлено определителем. Векторное уравнение (71”) эквивалентно трем скалярным, которые после отбрасывания можно представить в виде:

. (72)

Линейные уравнения (72) для координат являются уравнениями прямой линии – центральной винтовой оси. Следовательно, существует прямая, в точках которой система сил приводится к динаме.

§5. Частные случаи приведения пространственной системы параллельных сил

В отличие от произвольной системы сил пространственная система параллельных сил не приводится к динаме, так как для нее главный вектор и главный момент в общем случае взаимно перпендикулярны. Для доказательства этого рассмотрим пространственную систему параллельных сил, для которой главный вектор и главный момент не равны нулю. Выберем за центр приведения точку О – начало декартовой системы координат, ось которой направим параллельно силам (рис. 60). Тогда проекции главного вектора на оси координат

,