Материал: Теоретическая физика. Ч. 1. Статика. учеб. пособие. Переславцева Н.С., Бестужева Н.П

Активные силы, действующие на катки в виде колес (рис. 47), кроме силы тяжести обычно состоят из силы , приложенной к центру колеса параллельно общей касательной в точке А, и пары сил с моментом , стремящейся катить колесо, называемое в этом случае ведомо-ведущим. Если , а , то колесо называют ведомым; если , а , то ведущим. Ведомо-ведущими являются колеса локомотива, идущего вторым в составе поезда.

Е

Рис. 47

сли активные силы, действующие на колесо, привести к точке А соприкосновения катка с плоскостью, у которых нет деформации, то в общем случае получим силу и пару сил, стремящиеся заставить каток скользить и катиться. Следует различать чистое качение, когда точка соприкосновения А катка не скользит по неподвижной плоскости, и качение со скольжением, когда наряду с вращением катка есть и скольжение, т.е. точка А катка движется по плоскости. При чистом скольжении, наоборот, каток движется по плоскости, не имея вращения.

С

Рис. 48

оприкосновение среднего сечения колеса с неподвижной плоскостью из-за деформации колеса и плоскости происходит по некоторой линии ВD. По этой линии на колесо действуют распределенные силы реакции (рис. 48). Если привести распределенные силы к точке А, то в этой точке получим главный вектор этих распределенных сил с составляющими (нормальная реакция) и (сила трения скольжения), а также пару сил с моментом . При симметричном распределении сил по линии ВD относительно точки А момент пары сил равен нулю. В этом случае нет активных сил, стремящихся катить каток в каком-либо направлении.

П риведем активные силы в общем случае к точке А. В этой точке получим главный вектор этих сил и пару сил, момент которой равен главному моменту (рис. 49).

П

Рис. 49

ри равновесии катка, т.е. когда каток не катится и не скользит по плоскости, активные силы уравновешиваюся силами реакций связи и, следовательно,

; .

Изменив активные силы, приложенные к катку так, чтобы увеличивался момент пары активных сил, стремящейся катить каток. Пока каток находится в равновесии, увеличивается и равный ему по числовой величине, но противоположный по направлению момент пары сил, препятствующий качению катка и возникающий от действия на каток неподвижной плоскости. Наибольшее значение достигается в момент начала качения катка по плоскости.

Установлены следующие приближенные законы для наибольшего момента пары сил, препятствующей качению:

1. Наибольший момент пары сил, препятствующей качению, в довольно широких пределах не зависит от радиуса катка.

2. Предельное значение момента пропорционально нормальному давлению, а следовательно, и равной ему нормальной реакции :

. (60)

Коэффициент пропорциональности называют, коэффициентом трения качения при покое или коэффициентом трения второго рода. Из формулы (60) следует, что имеет размерность длины.

3. Коэффициент трения качения зависит от материала катка, плоскости и физического состояния их поверхностей. Коэффициент трения качения при качении в первом приближении можно считать не зависящим от угловой скорости качения катка и его скорости скольжения по плоскости. Для случая качения вагонного колеса по стальному рельсу коэффициент трения качения ~0,5 мм.

Законы трения качения, как и законы трения скольжения, справедливы для не очень больших нормальных давлений и не слишком легко деформирующихся материалов катка и плоскости.

Эти законы позволяют не рассматривать деформации катка и плоскости, считая их абсолютно твердыми телами, касающимися в одной точке. В этой точке соприкосновения в среднем сечении катка кроме нормальной реакции и силы трения надо приложить еще и пару сил, препятствующую качению.

Коэффициент трения качения равен длине , которую вычислим следующим образом. Сложим нормальную реакцию с парой сил, препятствующей качению в момент, когда . Получим ту же силу , но сдвинутую параллельно самой себе на расстояние

.

В предельном случае равновесия катка . Эту величину следует отложить в направлении, в котором активные силы стремятся катить каток (рис. 50).

Д

Рис. 50

ля того чтобы каток не скользил, необходимо выполнение условия:

. (61)

Для заданных активных сил соответственно

.

Для того чтобы каток не катился, должно выполняться условие

. (62)

Для активных сил оно имеет вид

.

Д ля примера рассмотрим случай ведомого колеса, к которому кроме силы тяжести приложена еще горизонтальная активная сила (рис. 51).

Е

Рис. 51

сли каток находится в равновесии, то из условий равновесия плоской системы сил, приложенных к катку, получаем

, , ,

где за моментную точку взята точка А.

В случае отсутствия скольжения по формуле (61) с учетом условий равновесия

.

Аналогично, при отсутствии качения по формуле (62) имеем

.

Т.о., при отсутствии скольжения сила должна удовлетворять условию , а при отсутствии качения эта же сила – удовлетворять другому условию:

.

Если , то, пока , каток находится в равновесии.

Если , то каток катится без скольжения (чистое качение). При кроме качения появляется еще и скольжение.

При каток находится в равновесии, пока . Если , он скользит не вращаясь (поступательное движение). При наряду со скольжением возникает качение.

В том случае, если , каток находится в равновесии, пока . Если же , то он катится со скольжением.

Обычно и, следовательно, для начала качения катка требуется значительно меньшая сила , чем для начала его скольжения. Поэтому по мере увеличения силы каток сначала начинает катиться, а при дальнейшем ее росте к качению добавляется еще и скольжение.

С точки зрения затраты энергии выгодно заменять скольжение качением. Этим объясняется преимущество шариковых и роликовых подшипников по сравнению с подшипниками скольжения, если даже в них трение и не уменьшается введением смазывающего вещества.

Аналогично трению качения можно рассмотреть и явление возникновения так называемого трения верчения, т.е. случая, когда активные силы стремятся вращать тело, например в форме шара, вокруг нормали к общей касательной поверхности соприкосновения.

В этом случае возникает пара сил, препятствующая верчению, причем наибольший ее момент, возникающий в момент начала верчения, также прямо пропорционален нормальной реакции. Коэффициент пропорциональности, т.е. коэффициент трения верчения, обычно значительно меньше коэффициента трения качения.

VII. Частные случаи пространственных систем сил. Центр параллельных сил

§ 1. Изменение главного момента при перемене центра приведения

П

Рис. 52

ри перемене центра приведения векторные моменты сил изменяются, так как изменяются радиусы-векторы их точек приложения. Вследствие этого изменяется главный момент. Оценим изменение главного момента системы сил . Пусть система сил приведена к центру О и получены в этой точке главный вектор и главный момент (рис. 52). Выберем в качестве центра приведения другую точку и вычислим главный момент рассматриваемой системы сил. Так как

~ , то для получения главного момента достаточно привести к новому центру систему . Силу из точки О перенесем в точку . Получим в этой точке силу и, согласно теореме о параллельном переносе силы, присоединенную пару сил с векторным моментом . Векторный момент пары сил , вычисленный относительно точки О как вектор свободный, можно приложить в любой точке тела. Новый главный момент относительно точки по правилу сложения пар сил является векторной суммой моментов и , т. е.

;

. (63)

По формуле для векторного момента силы имеем

.

С учетом этого формула (63) примет вид

. (64)

Итак, главный момент системы сил при перемене центра приведения изменяется на векторный момент главного вектора , приложенного в старом центре приведения, относительно нового центра приведения .

§ 2. Инварианты системы сил

Инвариантами в статике называются такие величины для рассматриваемой системы сил, которые не изменяются при изменении центра приведения. Одним из инвариантов является главный вектор, так как в любом центре приведения он выражается векторной суммой системы сил. Если в одном центре приведения главный вектор , а в другом , он , то