Материал: Теоретическая физика. Ч. 1. Статика. учеб. пособие. Переславцева Н.С., Бестужева Н.П

§ 6. Распределенные силы

В статике рассматривают силы, приложенные к твердому телу в какой-либо его точке, и поэтому такие силы называют сосредоточенными. В действительности обычно силы бывают приложены к какой-либо части объема тела или его поверхности, а иногда к некоторой части линии. Так как все аксиомы и теоремы статики формулируются для сосредоточенных сил, приложенных к твердому телу, то необходимо рассмотреть способы перехода от распределенных сил к сосредоточенным в простейших, наиболее часто возникающих случаях.

Распределенные силы прежде всего характеризуются интенсивностью распределенной силы, т.е. силой, приходящейся на единицу объема, поверхности или длины линии. В основном встречаются параллельные и сходящиеся распределенные силы. К параллельным силам, распределенным по объему тела, относится вес частиц этого тела. Сила давления воды на плотину относится к распределенным параллельным силам по поверхности плотины. Сила тяжести частиц тонкой проволоки характеризует распределенные силы по длине линии.

Рассмотрим замену сосредоточенными силами только распределенных сил по длине линии, т.е. линейных распределенных сил. Для простоты возьмем случаи, когда отрезок линии, по которому распределены силы, является отрезком прямой, а интенсивность этих сил или постоянна (силы распределены по прямоугольнику), или распределена по линейному закону, в простейшем случае – по треугольнику. Комбинируя эти два случая, можно получить линейное распределение интенсивности распределенной силы в более общем случае.

Параллельные силы постоянной интенсивности, распределенные по отрезку прямой линии

Пусть на участке АВ прямой линии длиной распределены параллельные силы, интенсивность которых постоянна (рис. 39,а).

а) б)

Рис. 39

Заменим эти распределенные силы сосредоточенными. Для этого отрезок АВ разобьем на отрезки достаточно малых размеров по сравнению с его длиной. На каждый такой малый отрезок действует сила которую при достаточной малости длины отрезка , можно считать сосредоточенной силой. Заменяя полученную таким образом систему сосредоточенных параллельных сил , одной равнодействующей силой, получим

.

Равнодействующая параллельна распределенным силам и приложена вследствие симметрии распределения сил в середине отрезка АВ.

Если параллельные силы постоянной интенсивности распределены по отрезку прямой, наклоненному к распределенным силам, то модуль равнодействующей таких сил равен . Линия действия ее, параллельная распределенным силам, проходит через середину отрезка (рис. 39, б). Модуль равнодействующей в этом случае не равен площади параллелограмма, образованного прямой АВ и распределенными силами.

Параллельные силы, распределенные по отрезку прямой с интенсивностью, изменяющейся по линейному закону

Рассмотрим распределенные параллельные силы, изменяющиеся по линейному закону (рис. 40, а). Обычно считают, что такие силы распределены по треугольнику. Параллельные распределенные по треугольнику силы приводятся к равнодействующей , по модулю равной

,

где – наибольшая интенсивность силы.

Это легко можно проверить путем сложения параллельных сосредоточенных сил , приложенных к каждому элементарному отрезку длиной . Наиболее просто это можно сделать путем интегрирования. Действительно,

а) б)

Рис. 40

.

Если отсчитывать от точки А, то из подобия треугольников имеем:

.

После этого, вставляя под интеграл вместо его значение, получаем:

.

Точка приложения С равнодействующей силы смещается в сторону, где интенсивность силы больше, и совпадает с центром тяжести площади треугольника, который находится в точке пересечения медиан, расположенной на расстоянии от основания треугольника и от его вершины А, т.е. . Точку приложения равнодействующей силы можно также определить вычислив момент элементарных сосредоточенных сил , например относительно точки А, и применив затем теорему Вариньона о моменте равнодействующей силы.

Имеем

.

Заменяя его значением , получаем

.

Учитывая, что , найдем

.

Если параллельные силы с интенсивностью, изменяющейся по линейному закону, распределены по отрезку прямой, наклоненному к направлению сил (рис. 40, б), то их равнодействующая и делит отрезок АВ так же, как и в том случае, когда распределенные силы перпендикулярны отрезку АВ. Величина равнодействующей в этом случае не равна площади треугольника, образованного отрезком прямой АВ и распределенными силами.

В более сложных случаях распределенных сил равнодействующую силу и ее точку приложения обычно определяют путем интегрирования и применения теоремы Вариньона. Величину равнодействующей в случае непараллельных распределенных сил находят так же, как и для параллельных, только суммируют (и, следовательно, интегрируют) не элементарные сосредоточенные силы , а их проекции на оси координат. По проекциям уже вычисляют равнодействующую силу и косинусы ее углов с осями координат.

Реакция заделки

Пусть имеем тело, например балку АВ, один конец которой АА' заделан в стену (рис. 41, а). Такое крепление конца балки АА' называют заделкой в точке А. Пусть на балку действует плоская система сил . Определим силы, которые надо приложить в точке (сечении) А балки, если часть балки АА' отбросить.

а) б)

Рис. 41

К части балки АА' при освобождении ее от заделки в стене приложены распределенные силы. Если эти силы заменить элементарными сосредоточенными силами и затем привести их к точке А, то в точке А получим силу (главный вектор элементарных сосредоточенных сил ) и пару сил с моментом (главный момент относительно точки А элементарных сил ). Момент называют моментом заделки.

Таким образом, заделка в отличие от шарнира создает не только не известную по величине и направлению реакцию , но еще и пару сил с не известным заранее моментом в заделке (рис. 41, б).

Очевидно, если рассмотреть любую часть балки, расчленив ее мысленно по сечению , то в месте расчленения надо приложить неизвестные силу и пару сил, заменяющие действие отброшенной части балки на рассматриваемую ее часть, причем сила и момент пары сил, действующие на различные части балки, будут иметь противоположные направления действия и вращения соответственно, как всякое действие и противодействие.

§7. Решение задач на равновесие плоской системы сил, приложенных к твердому телу и системе тел

Рассмотрим общие положения о решении задач на равновесие плоской системы сил, действующих на одно твердое тело и на систему тел. Весь процесс решения задачи на равновесие сил можно расчленить на ряд этапов, которые характерны для большинства задач.

К выбранному для рассмотрения телу или системе тел надо приложить все действующие силы, как активные, так и реакции связей; если нужно, расчленить систему тел на отдельные тела или группы тел. Если связью является абсолютно гладкая поверхность какого-либо тела, то реакция связи в этом случае направлена по нормали к общей касательной в точке соприкосновения в сторону, противоположную тому направлению, в котором связь препятствует перемещению рассматриваемого тела.

Если связью является цилиндрический шарнир, позволяющий телу вращаться вокруг его оси, то реакцию шарнира, лежащую в плоскости, перпендикулярной оси, следует разложить на две заранее не известные составляющие по положительным направлениям осей координат. Если эти составляющие после их определения из уравнений равновесия будут иметь знак минус, то составляющие реакции направлены противоположно положительному направлению осей координат.

Все гибкие связи (канаты, тросы, ремни и т.п.) создают реакции, направленные по касательной к гибкой связи в данной точке.

Если связью является заделка, которая в отличие от цилиндрического шарнира не позволяет телу поворачиваться, то кроме двух неизвестных составляющих реакций в этой точке надо еще приложить пару сил с не известным заранее моментом заделки.

Эти же случаи связей возможны и при расчленении систем тел.

Выявление всех сил, действующих на рассматриваемое тело или систему тел, особенно правильная замена различных видов связей их реакциями, является одним из главных этапов при решении задач на равновесие.

При расчленении системы тел надо следить, чтобы силы взаимодействия между телами или группами тел сочленной системы в точках сочленения были равны по модулю, но противоположны по направлению. При рассмотрении системы тел (или их группы) силы взаимодействия между телами системы (или их группы) прикладывать не нужно, так как эти силы являются внутренними и в уравнения равновесия для системы тел (или группы) не войдут.

После выявления всех сил надо выбрать оси координат и моментные точки, а затем, составив условия равновесия сил в одной из форм, решить полученные уравнения относительно неизвестных.

Решение уравнений будет более простым, если при их составлении в каждое из уравнений добавляется по одной новой неизвестной. Этого удается достичь, если за моментную точку брать такую, в которой пересекаются две искомые силы. Такой точкой обычно является цилиндрический шарнир. Оси координат надо брать так, чтобы одна или две неизвестные силы были перпендикулярны одной из осей координат и, следовательно, параллельны другой оси. В этом случае в соот­ветствующее условие равновесия для одного тела войдет только одна неизвестная сила.