Направим оси координат по меньшей диагонали и одному из оснований (рис. 8).
(умение оптимально выбирать систему координат).
Тогда точка А имеет координаты (0,0), точка В - (а,0), точка С - (0,c), точка D - (b,c).
(умение находить координаты заданных точек)
Пусть и острые углы в трапеции АВСD, тогда их сумма равна . Для вычисления длины большей диагонали BD надо найти значение с. Его можно вычислить 2 способами. Первый - из прямоугольного треугольника АВС по формуле находим . Второй способ из прямоугольного треугольника ACD: . Отсюда получили, что
(1)
Из равенства (1) находим отношение : оно равно -, так как . Выразим . Он равен , исходя из этого, пользуясь зависимостью (1), получаем .
(умение выразить недостающие координаты через уже известные величины)
Далее воспользовавшись координатной формулой расстояния между двумя точками, найдем длину BD.
(умение вычислять расстояние между точками, заданными координатами)
Она равна .
Итак, компонентами умения применять координатный метод в конкретных ситуациях являются следующие умения:
1. переводить геометрический язык на аналитический для одного типа задач и с аналитического на геометрический для другого;
2. стоить точку по заданным координатам;
3. находить координаты заданных точек;
4. вычислять расстояние между точками, заданными координатами;
5. оптимально выбирать систему координат;
6. составлять уравнения заданных фигур;
7. видеть за уравнением конкретный геометрический образ;
8. выполнять преобразование алгебраических соотношений.
Данные умения можно отработать на примере следующих задач, формирующих координатный метод:
1) задачи на построение точки по ее координатам;
2) задачи на нахождение координат заданных точек;
3) задачи на вычисление расстояния между точками, заданными координатами;
4) задачи на оптимальный выбор системы координат;
5) задачи на составление уравнения фигуры по ее характеристическому свойству;
6) задачи на определение фигуры по ее уравнению;
7) задачи на преобразование алгебраических равенств;
Приведу примеры таких задач.
С координатной прямой, а затем и с координатной плоскостью учащиеся знакомятся в 5-6 классах при изучении математического материала. При этом удобно использовать мультимедийные презентации, которые позволяют в динамике излагать необходимый материал, использовать всевозможные иллюстрации и звуковые эффекты, тем самым, заинтересовывая учащихся и являясь хорошим наглядным средством. Одним из примеров является презентация «Метод координат», опирающаяся на учебник [7]. (см. приложение). Приведем несколько примеров задач, которые можно использовать при изучении координатной плоскости. Эти задачи могут быть использованы:
§ для оттачивания навыков построения точек по их координатам со всем классом;
§ для дополнительных заданий отстающим ученикам;
§ для развития интереса к изучаемой теме.
1) На координатной плоскости постройте точки А(7,2), B(-2,1), C(0,2).
2) Отметьте на плоскости несколько точек. Начертите произвольную систему координат и найдите в ней координаты заданных точек.
3) Постройте фигуры по координатам их узловых точек. Указание: узловыми будем называть точки, служащие концами отрезков, образующих фигуры. Точки, координаты которых записаны подряд через запятую, соединяйте последовательно друг с другом. Если же координаты разделяются знаком «;», то соответствующие точки не следует соединять. Они нужны для изображения вспомогательных элементов.
А) Камбала (Рис. 9)
(3,7), (1,5), (2,4), (4,3),
(5,2), (6,2), (8,4), (8,-1),
(6,0), (0,-3),(2,-6),(-2,-3),
(-4,-2),(-5,-1),(-6,1),(-4,1);
(-6,1), (-6,2), (-3,5), (3,7);
(-4,-2),(-2,0),(-2,2),(-3,5);(-3,3).
Б) Найдите координаты выделенных на рисунке точек, двигаясь по часовой стрелке от самой жирной точки. (Рис. 10 и 11)
Выбор системы координат имеет очень важное значение при применении метода координат.
Для примера возьмем задачу, которая рассмотрена в учебнике [2] «Середина гипотенузы прямоугольного треугольника равноудалена от его вершин».
Первым шагом при применении метода координат является такой выбор осей и системы координат, при котором алгебраические выкладки становятся более простыми. Для данной задачи удачный выбор системы координат показан на рисунке 12. Таким образом, начало координат помещаем в точку А, а оси проводим через точки В и С так, чтобы эти точки лежали на положительных лучах осей. Следовательно, В(а,0) и С(0,b). Поэтому по формуле середины отрезка D(). Теперь,
Поэтому AD=BD. А так как по определению середины отрезка BC=CD, то теорема доказана.
Можно выбрать систему координат и по-другому (рис.13, рис.14). Если выбрать оси совсем случайно, то легкую задачу можно превратить в очень трудную. Чтобы начать доказательство исходя из рисунка 15, нужно найти способ, позволяющий выразить алгебраически, что треугольник ABC имеет при вершине А прямой угол. Сделать это можно, но будет это не очень просто.
Поэтому необходимо вырабатывать у учащихся, начиная с 6 класса, представления о возможности произвольного выбора системы координат. Эту работу целесообразно вести в процессе решения задач. В целях пропедевтической работы можно рекомендовать в 6 классе задачи из учебника на нахождение координат точек по рисунку, разнообразя их с помощью изменения направления осей и начала координат (см. приложение)
2.4 ОПЫТНОЕ ПРЕПОДАВАНИЕ
Ш Домашнее задание №945, 948(а)
II. Факультатив.
Для проведения факультатива предлагается ряд более сложных нестандартных задач, при решении которых используется метод координат.
Задача 1. Два предприятия А и В производят продукцию с одной и той же ценой m за одно изделие. Однако автопарк, обслуживающий предприятие А, оснащен более современными и более мощными грузовыми автомобилями. В результате транспортные расходы на перевозку одного изделия составляют для предприятия А 10 р. на 1 км, а для предприятия В 20 р. на 1 км. Расстояние между предприятиями 300 км. Как территориально должен быть расположен рынок сбыта между двумя предприятиями для того, чтобы расходы потребителей при покупке изделий были минимальными.
Решение:
Для решения данной задачи воспользуемся методом координат. Систему координат выберем так, чтобы ось Ох проходила через пункты А и В, а ось Оу через точку А. Пусть Р произвольная точка, s1 и s2 расстояния от точки до предприятий А и В (рис.17). Тогда А(0, 0), В(300, 0), Р(х, у).
При доставке груза из пункта А расходы равны m+10s1. При доставке груза из пункта В расходы равны m+20s2. Если для пункта Р выгоднее доставлять груз с предприятия А, то m+10s1< m+20s2, откуда s1<2s2, в обратном случае получим s1>2s2.
Таким образом, границей области для каждой точки, до которой расходы на перевозку груза из пунктов А и В равны, будет множество точек плоскости, удовлетворяющих уравнению
s1=2s2 (1)
Выразим s1 и 2s2 через координаты:
, .
Имея в виду (1), получим .
Это и есть уравнение окружности. Следовательно, для всех пунктов, попадающих во внутреннюю область круга, выгоднее привозить груз из пункта В, а для всех пунктов, попадающих во внешнюю часть круга, - из пункта А.
Задача 2. На плоскости даны точки А и В; найти геометрическое место точек М, удаленных от А в двое больше, чем от В.
Решение:
Выберем систему координат на плоскости так, чтобы начало координат попало в точку А, а положительная полуось абсцисс пошла по АВ. За единицу масштаба возьмем отрезок АВ. Точка А будет иметь координаты (0,0), точка В координаты (1,0). Координаты точки М обозначим через (х,у). Условие записывается в координатах так:
.
Мы получили уравнение искомого геометрического места точек. Чтобы понять, какое множество описывается этим уравнением, мы преобразуем его так, чтобы оно приняло знакомый нам вид. Возведя обе засти в квадрат, раскрывая скобки и приводя подобные члены, получаем равенство: Зх2-8х+4+Зу2=0.
Это равенство можно переписать так:
или так: . Это уравнение окружности с центром в точке (,0) и радиусом, равным . Это значит, что наше геометрическое место точек является окружностью.
Задача 3. Дан треугольник ABC; найти центр окружности, описанной около этого треугольника.
Решение:
Примем точку А за начало координат, ось абсцисс направим от А к В. Тогда точка В будет иметь координаты (с,0), где с - длинна отрезка АВ. Пусть точка С имеет координаты (q,h), а центр искомой окружности - (а,b). Радиус этой окружности обозначим через R. Запишем в координатах принадлежность точек А(0,0), В(с,0) и C(q,h) искомой окружности:
a2+b2=R2,
(c-a)2+b2=R2,
(q-a)2+(h-b)2=R2.
Каждое из этих условий выражает тот факт, что расстояние точек А(0,0), В(с,0), C(q,h) от центра окружности (а,b) равно радиусу. Эти условия легко получить, если записать уравнение искомой окружности (окружности с центром (а,b) и радиусом R), т. е. (x-a)2+(y-b)2=R2, а затем в это уравнение вместо х и у подставить координаты точек А, В и С, лежащих на этой окружности. Эта система трех уравнений с тремя неизвестными легко решается, и мы получаем:
, ,
.
Задача решена, так как мы нашли координаты центра и радиус. Причем следует заметить, что мы при решении задачи не прибегали к построению чертежа.
Домашнее задание:
1. Лестница, стоящая на гладком полу у стены соскальзывает вниз. По какой линии движется котенок, сидящий на середине лестницы?
2. В квадрат вписана окружность. Доказать, что сумма квадратов расстояний любой точки окружности до сторон квадрата постоянна.
Краткий анализ проведенных занятий: Учащиеся на уроках активно принимали участие, особенно на первом при выводе формул, так как материал не сложный и использует факты и понятия, которые были изучены не так давно и повторены на устном счете. Также на 1 уроке удалось прорешать все запланированные задачи на закрепление, особую трудность вызвала задача № 3, в которой учащиеся долго не могли сделать чертеж и путались в формулах нахождения длины и координат вектора. Проведенная на следующем уроке самостоятельная работа показала, что практически все ученики усвоили материал (с работой не справились 2 человека из 26 учеников этого класса). Наибольшее количество ошибок было сделано в задаче № 2, при использовании формулы нахождения расстояния между 2 точками. Таким образом, можно предположить, что тема «Простейшие задачи в координатах» была успешно усвоена большинством учеников данного класса.
3. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЭВМ ПРИ ИЗУЧЕНИИ ТЕМЫ: МЕТОД КООРДИНАТ И ЕГО ИЗУЧЕНИЕ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ ГЕОМЕТРИИ
3.1 РОЛЬ И МЕСТО КОМПЬЮТЕРА В УЧЕБНОМ ПРОЦЕССЕ
Появление компьютеров вызвало небывалый интерес к их применению в сфере обучения. Процесс компьютеризации необратим, остановить его ничто не может.
Во-первых, на возрастающей роли компьютеров в жизни современного общества. Сейчас трудно назвать какую-либо ее область - будь то производство, наука, техника, культура, сельское хозяйство, быт, развлечение, где бы применение компьютеров не приносило ощутимых результатов.
Во-вторых, на стремительном росте применения компьютеров всех регионов планеты.
В основе того и другого - впечатляющие (и даже более того - потрясающие ум и воображение, особенно если говорить о перспективах) успехи в развитии компьютерной техники. Возможности компьютеров растут столь стремительно, что прогнозы специалистов об их ближайшем будущем напоминают научную фантастику.
Практически все развитые страны широко разрабатывают компьютерные технологии обучения. Это вызвано тем, что компьютер стал средством повышения производительности труда во всех сферах деятельности человека. Резко возрос объем необходимых знаний, и с помощью традиционных способов и методик преподавания уже невозможно подготовить требуемое количество высокопрофессиональных специалистов.
Умелое использование вычислительной техники приобретает в наши дни общегосударственное значение, и одна из важнейших задач школы - вооружать учащихся знаниями и навыками использования современной вычислительной техники. С компьютеризацией обучения во всем мире связаны надежды повысить эффективность учебного процесса, уменьшить разрыв между требованиями, которые общество предъявляет подрастающему поколению, и тем, что действительно дает школа.
Функции компьютера в системе образования весьма разнообразны - от управления органами народного образования в целом и отдельной школы до средств развлечения учащихся во внеурочное время. Если же говорить об основных функциях компьютера в учебном процессе, то он выступает как объект изучения и средство обучения. Каждой из этих функций соответствует свое направление компьютеризации обучения. Первая из них предполагает усвоение знаний, умений и навыков, которые позволяют успешно использовать компьютер при решении разнообразных задач, или, другими словами, овладение компьютерной грамотностью, которую называют нередко «второй грамотностью». Второе направление видит в компьютере мощное средство обучения, которое способно значительно повысить его эффективность. Указанные два направления и составляют основу компьютеризации обучения.