1. Пользуясь координатами можно истолковать уравнения и неравенства геометрически и таким образом применять геометрию к алгебре и анализу. Графическое изображение функции первый пример такого применения метода координат.
2. Задавая фигуры уравнениями и выражая в координатах геометрические соотношения, мы применяем алгебру к геометрии. Например, можно выразить через координаты основную геометрическую величину - расстояние между точками.
В связи с усилением роли координатного метода в изучении геометрии особенно актуальной становиться проблема его формирования. Наиболее распространенными среди планиметрических задач, решаемых координатным методом, являются задачи следующих 2 видов: 1) на обоснование зависимостей между элементами фигур, особенно между длинами этих элементов; 2) на нахождение множества точек, удовлетворяющих определенным свойствам.
Примером задач первого вида может служить следующая:
«В треугольнике ABC, AB=c, AC=b, BC=a, BD - медиана.
Доказать, что »
Задача: «Найти множество точек, для каждой из которых разность квадратов расстояний от двух данных точек есть величина постоянная» - является примером задач второго вида.
Решения этих задач были разобраны выше.
Несмотря на недостатки метода координат такие как наличие большого количества дополнительных формул, требующих запоминания, и отсутствие предпосылок развития творческих способностей учащихся, некоторые виды задач трудно решить без применения данного метода. Поэтому изучение метода координат необходимо, однако более детальное знакомство с этим методом целесообразно проводить на факультативных занятиях. Далее приведем ряд задач для факультативов.
Пример 1. Докажите, что сумма квадратов расстояний от точки, взятой на диаметре окружности, до концов любой из параллельных ему хорд постоянна.
Решение:
Введем прямоугольную систему координат с началом в центре окружности. Пусть хорда МР параллельна оси Ох, а точка А принадлежит диаметру (рис. 28). Обозначим расстояние ОА через а, а расстояние от точки Р до оси Ох через b. Тогда точка А имеет координаты (а, 0). Точки Р и М принадлежат окружности с центром в начале координат и радиусом равным 1, следовательно их координаты удовлетворяют уравнению данной окружности . Используя это уравнение находим координаты точек Р() и М(). Необходимо доказать, что АМ2+АР2 не зависит от переменной b. Найдем АМ2 и АР2 используя формулу нахождения расстояния между двумя точками по их координатам: . Они соответственно равны и , а их сумма после приведения подобных равна 2а2+2. Это число не зависит от переменной b, что и требовалось доказать.
Пример 2. Доказать, что сумма квадратов длин сторон четырехугольника равна сумме квадратов длин его диагоналей, сложенной с учетверенным квадратом расстояния между серединами диагоналей. (Теорема Эйлера)
Решение:
Введем прямоугольную систему координат как показано на рисунке 29.
Пусть точки А, В, С и D имеют координаты (0,0), (d,0), (c,d) и (0,d) соответственно. Следовательно, координаты точек L и P есть () и (). Найдем квадраты длин отрезков, с помощью формулы нахождения расстояния между точками по их координатам.
AD2=; BC2=; DC2=; AB2=;
AC2=; BD2=; LP2=.
Запишем выражение, которое необходимо доказать, используя найденные нами значения.
AD2+BC2+DC2+AB2=AC2+BD2+4LP2
+++=++4
Раскроем скобки, приведем подобные и получим верное равенство 0=0. Значит, сумма квадратов длин сторон четырехугольника равна сумме квадратов длин его диагоналей, сложенной с учетверенным квадратом расстояния между серединами диагоналей.
Пример 3. Диаметры AB и CD окружности перпендикулярны. Хорда ЕА пересекает диаметр СD в точке К, хорда ЕС пересекает диаметр АВ в точке L. Докажите, что если СК:KD так же как 2:1, то AL:LB так же как 3:1.
Решение:
Введем прямоугольную систему координат, направив оси по данным диаметрам AB и CD (рис. 30).
Радиус окружности будем считать равным 1. Тогда точки А, В, С, D будут иметь координаты (-1,0), (1,0), (0,-1), (0,1) соответственно. Так как СК:KD=2:1, то точка К имеет координаты (0,). Найдем координаты точки Е как точки пересечения прямой АК, имеющей уравнение и окружности, заданной уравнением . Получаем, что точка Е имеет координаты (). Точка L - это точка пересечения прямых СЕ и оси абсцисс, значит ординаты точки L равна 0.
Найдем абсциссу точки L. Прямая СЕ задана уравнением . Она пересекает ось Ох в точке (,0). Отсюда координаты точки L(,0). Найдем отношение AL:LB. Оно равно трем, что и требовалось доказать.
Задачи
1. Доказать, что если в треугольнике две медианы конгруэнтны, то треугольник равнобедренный.
2. Найти множество таких точек Р, что отношение расстояний от каждой из них до двух данных точек равно а.
3. Докажите, что уравнение окружности с центром в точке С (а,с) и радиусом r имеет вид: (х-а)2+(у-с)2=r2
4. Найти угол между прямыми Зх-4у+6=0 и 12х+5у+8=0
5. Определите расстояние от точки А(-3,4) до прямой у=х+2.
6. Вычислите площадь треугольника, вершины которого имеют следующие координаты: А (0,-2), В(6,2) и С(2,4).
7. На прямой с даны три точки А, В, С так, что точка В лежит между точками А и С. В одной полуплоскости с границей а построены равносторонние треугольники АМВ и ВРС. Доказать, что середина отрезка РА, середина отрезка МС и точка В являются вершинами равностороннего треугольника.
8. Доказать, что для любой точки Р лежащей между вершинами В и треугольника ABC, справедливо равенство:
АВ2*РС+АС*ВР-АР2*ВС=ВС*ВР*РС.
9. Дан прямоугольник. Докажите, что сумма квадратов расстояний от произвольной точки, принадлежащей плоскости этого прямоугольника до его вершин, в два раза больше суммы квадратов расстояний от этой точки до сторон прямоугольника.
10. Доказать, что если через некоторую точку М провести прямую, пересекающую окружность в точках А и В, то произведение МА*МВ постоянно и не зависит от положения прямой.
11. Дан прямоугольник ABCD. Найти множество точек М, для которых MA2+MC2=MB2+MD2. (ответ: множество точек М есть плоскость)
12. Дан прямоугольник ABCD. Найти множество точек М, для которых MA+MC=MB+MD. (Ответ: пара прямых)
13. Дан прямоугольный треугольник ABC (C=90°). Найти множество точек Р, для которых 2РС2=РА2+РВ2. (ответ: множество точек Р есть прямая, содержащая середину М гипотенузы АВ и перпендикулярная к медиане СМ).
Задачи, решаемые методом координат
Задача 1. Даны уравнения одной из сторон ромба х-3у + 10 = 0 и одной из его
диагоналей х + 4у - 4 = 0; диагонали ромба пересекаются в точке (0; 1). Найти уравнение остальных сторон ромба.
Решение:
Найдем т. пересечения и :
=> A(-4;2)
Т.к P - середина отрезка AC, то
=> C(4;0).
Через точку C направим прямую, параллельную (т.е. найдем ). => По свойству ромба:
=> ; =>
; ; ; =>
;
По формуле прямой, проходящей через две точки, найдем
;
Задача 2. Даны координаты вершин треугольника АВС. Найти длины медианы, высоты, биссектрисы, проведенных из вершины А. Вычислить внутренний угол при вершине В.
А (8;0), В(-4; -5); С(-8;-2).
Решение:
1) ={-12; -5}, ||=13
= {-4; 3}, ||=5
= {-16; -2}, ||==
2) =0.5(+)=0.5{-12-16;-5-2}={-28;-7}
|| =
3) Имеем уравнение прямой ВС:
3x + 4y + 32 = 0.
|
|| = с(A, BC) = |
|3•8+4•0+32| |
= |
|
4) Найдем уравнение прямой AL:
; ;
Значит,
.
Тогда, или
Найдем точку L - точку пересечения прямых AL и BC:
;
Тогда
и .
Итак,
и
5)
Ответ: ; ;;
Задача 3. Найти точки пересечения кривой второго порядка с прямой (а):
Решаем систему:
; ;
Подставляем в первое уравнение и получаем:
D<0 => нет точек пересечения
Ответ: нет точек пересечений
Задача 4. Полюс полярной системы координат совпадает с началом декартовых прямоугольных координат, а полярная ось направлена по биссектрисе первого координатного угла. Даны полярные координаты точек . Определить декартовы прямоугольные координаты этих точек.
M(xM; yM), где
xM=с1Cos (ц1+р/4) = Cos(25р/12) = Cos(р/12),
yM=с1Sin (ц1+р/4) = Sin(25р/12) = Sin(р/12).
N(xN; yN), где
xN=с2Cos (ц2+р/4) = 2Cos(р +р/4) =-2Cos(р/4)=,
yN=с2Sin (ц2+р/4) = 2Sin(р +р/2) = -2Sin(р/4)= .
Ответ:
Задача 5. Для векторов , заданных в ортонормированном базисе найдите:
направляющие косинусы вектора ;
площадь параллелограмма, построенного на векторах и , имеющих общее начало;
объем пирамиды, построенной на векторах , и , имеющих общее начало.
1) ; ;
2) ; ;
3)
Ответ: ; ; ;; 82.
Задача 6. С помощью преобразования поворота прямоугольной декартовой системы привести к каноническому виду уравнение кривой второго порядка
29x2 + 144xy + 71y2 - 40x + 30y - 50 = 0.
Написать формулы преобразования и изобразить данную кривую на чертеже.
Решение:
При повороте системы координат на угол ц наблюдается следующая зависимость между старыми и новыми координатами:
.
Тогда общее уравнение кривой второго порядка
Ax2 + 2Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0
преобразуется следующим образом:
+
+
Раскроем скобки. Получим
Или
, где
.
Для того, чтобы избавиться от перекрестного члена необходимо повернуть систему координат на такой угол ц, чтобы , т.е.
Найдем :
где .
Тогда
и ; .
Имеем:
.
Получили:
, где .
Канонический вид уравнения заданной кривой:
Это гипербола с вершинами в точках и ; асимптотами и фокусами
и
Ответ:
Задача 7. Привести уравнение кривой к каноническому виду и построить кривую на плоскости:
Решение:
Имеем: a11 = 4, a22 = 9, a12 = 0, a1 = ?16, a2 = 9, a0 = 37. Тогда
,
то есть уравнение задает кривую эллиптического типа. Так как , то выделяем "полный квадрат":
? ;
;
? ;
? .
Сделаем замену:
.
В системе координат уравнение имеет вид:
Таким образом, данное уравнение определяет эллипс с полуосями и , с центром в точке . Строим чертеж.
Ответ:
Ответ:
Задача 10. Привести уравнение кривой к каноническому виду и построить кривую на плоскости:
Решение:
Имеем:
a11 = 9, a12 = ?6, a22 = 0, a1 = ?21, a2 = 6, a0 = 81. Тогда
то есть уравнение (1) задает кривую гиперболического типа. Далее находим:
Найдем собственные значения:
.
Тогда угол поворота равен
Далее найдем координаты б, в нового центра О1 системы координат .
.
Уравнение (1) в системе примет вид:
.
Уравнение (2) задает гиперболу, у которой и , фокусы гиперболы лежат на оси О1х1.
Строим гиперболу на плоскости по плану:
T поворачиваем ось на угол против часовой стрелки, для этого строим прямую (так как ); в результате получаем систему координат ;
T
на плоскости отмечаем точку , через эту точку проводим две прямые, параллельные осям и ; получаем систему координат ;
T в системе строим гиперболу, согласно уравнению (2).
Задача 11. Уравнение прямой x + 3y - 4 = 0 привести к нормальному виду.
Решение.
Нормирующий множитель определяется по формуле
Здесь A = 1; B = 3. Перед корнем надо выбрать знак, противоположный знаку свободного члена в заданном уравнении, т. е. знак плюс. Тогда нормирующий множитель
после умножения обеих частей уравнения на N уравнение примет вид
Задача 12. Общее уравнение прямой 4x - 3y + 12 = 0 представить в виде: 1) с угловым коэффициентом; 2) в отрезках на осях и 3) в нормальном виде. Построить эту прямую.
Решение.
1) Уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид y = kx + b. Чтобы заданное уравнение преобразовать к этому виду, разрешим его относительно y: 3y = 4x + 12, .
Сравнивая с уравнением y = kx + b, видим, что здесь угловой коэффициент прямой , а величина отрезка, отсекаемого прямой на оси ординат, b = 4 (если уравнение прямой дано в общем виде Ax + By + C = 0, то ее угловой коэффициент легко получить, если разделить коэффициент при x на коэффициент при y и взять полученное частное с обратным знаком ).
2) В отрезках на осях уравнение прямой имеет вид (1)
Чтобы определить величины отрезков, отсекаемых заданной прямой 4x - 3y + 12 = 0, поступим так: в уравнении прямой положим y = 0. Получаем 4x + 12 = 0, а x = -3. Значит, наша прямая пересекает ось Ox в точке с координатами (-3, 0) и в уравнении (1) величина отрезка a = -3.
Полагая в нашем уравнении x = 0, определим ординату точки пересечения прямой с осью ординат. Будем иметь -3y + 12 = 0; y = 4.
Точка пересечения прямой с осью ординат имеет координаты (0, 4), и в уравнении (1) величина отрезка b = 4.
Таким образом, наше уравнение в отрезках на осях будет иметь вид
3) Чтобы привести уравнение к нормальному виду, обе его части следует умножить на нормирующий множитель , выбрав перед корнем знак, противоположный знаку свободного члена в общем уравнении прямой. В нашем случае свободный член в общем уравнении прямой равен +12, а поэтому перед корнем в нормирующем множителе должен быть выбран противоположный знак, т. е. знак минус, и так как A = 4, B = -3, то .